2차원 공간에서 비스듬히 놓인 사다리의 기울기를 삼각함수의 탄젠트 함수, 즉 밑변과 높이의 비 $$\tan\alpha=\frac{y}{x}$$로 표현한다는 말은 곧 밑변과 높이를 대등한 것으로 보겠다는 선택입니다. '비(比 ratio)'라는 말이 대등한 두 '크기'를 분수 모양으로 나타낸다는 뜻이기 때문입니다. 이렇게 분수 모양으로 나타낼 수 있는 수를 '유리수(有理數, rational number)'라 부릅니다. 영어 표현 rational은 '합리적인'이란 뜻이 아니라 'ratio-nal' 즉 '비'로 나타낼 수 있다는 뜻입니다.

가령 밑변을 미터(m)로 재고 높이를 킬로미터(km)로 잰다면 그 '비'가 적절하지 않기 때문에 단위를 통일할 수 있도록 변환인수를 곱해주어야 합니다. 미터로 잰 밑변의 길이에 변환인수 $k$를 곱하여 $$X = k x , \quad Y = y$$로 놓으면, 사다리의 기울기는 $$\tan\alpha = \frac{Y}{X}=\frac{y}{kx}$$가 됩니다.

상대성이론이 문제로 삼는 것은 광속이든 상대속도이든 결국 시간과 공간의 연결입니다. 속도라는 것은 거리와 시간의 비입니다. 따라서 장회익 선생님의 서술대로 "자동차들의 속도를 시간변수 $\tau$를 기준으로 표현하고 시간 축을 수평 방향으로 잡으면, 이 문제는 앞에서 본 사다리의 기울기 문제와 완전히 동일해진다."(<장회익의 자연철학 강의 166쪽>)는 말은 비유가 결코 아닙니다. 정말로 두 문제는 완전히 동일한 문제입니다. 

이제 시간 축을 수평 방향으로 선택한 새로운 좌표계에서 기울기는 정확히 속도가 됩니다. 하지만 수직 방향으로 선택한 공간 축의 길이 단위와 수평 방향의 시간 축 길이 단위가 다르기 때문에 사다리 기울기에 단위의 변환인수를 고려해야 합니다. $$T = k t , \quad Y = y$$로 놓으면, 속도는는 $$v = \frac{y}{t} = k\frac{y}{kt} = k \frac{Y}{T}=k\tan\alpha$$가 됩니다. 이 때 <자연철학 강의 166쪽> 각주에 있는 것처럼, $$ V= \frac{Y}{T}=\frac{y}{k t}=\frac{1}{k}\frac{y}{t} = \frac{v}{k}$$임을 이용할 수도 있습니다.

이렇게 속도를 시간-공간 좌표계에서 세계선(비스듬한 직선)의 기울기로 둔다는 것은 시간과 공간을 대등하게 보겠다는 선택입니다.

이 문제는 1920년에 나온 아인슈타인의 책에서도 다시 확인할 수 있습니다. (이전의 글에서 이 내용을 인용했지만, 편리를 위해 여기에도 가져옵니다.)

Albert Einstein (1920). Über die spezielle und allgemeine Relativitätstheorie. Braunschweig : F. Vieweg. (독일어 원문은 이 링크로)

"수학자가 아니라면 '4차원'이란 말을 들을 때 두려움에 사로잡힌다. 이는 주술을 떠올릴 때 놀라는 것과 별로 다르지 않은 느낌이다. 그러나 우리가 살고 있는 세계가 4차원 시공간 연속체라는 말만큼 상식적인 이야기도 없다. 공간은 3차원 연속체이다. 이 말은 (정지해 있는) 한 점의 위치를 서술하기 위해 세 개의 숫자(좌표) $x, y, z$를 사용한다는 의미이다.

... 마찬가지로 민코프스키가 간단히 '세계'라고 불렀던 물리적 현상들의 세계는 시공간의 의미에서 자연스럽게 4차원이다. 왜냐하면 물리적 현상은 개별적인 사건들로 이루어지며, 개별 사건은 네 개의 숫자, 즉 세 개의 공간좌표 $x, y, z$와 시간 좌표 $t$로 서술되기 때문이다.

... 상대성이론이 출현하기 전에는 시간이 공간좌표와 비교하여 전혀 다른 독립적 역할을 했다. 그렇기 때문에 시간을 독립적인 연속변수로 여기는 데 익숙해져 왔다. 상대성이론에서는 '세계'의 4차원 형식을 고려하는 것이 자연스럽다. 이에 따르면 시간은 독립성을 상실한다. 이것은 로렌츠 변화의 네 번째 식 $$t'=\frac{t-\frac{v}{c^2}x}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$$에서 볼 수 있다.

그러나 민코프스키의 발견은 ...  4차원 시공간 연속체가 가장 본질적인 형식적 속성에서 유클리드 기하학의 공간의 3차원 연속체와 심오한 관계를 가짐을 보여준다는 데 있다. 이 관계를 분명하게 보기 위해서는 보통의 시간좌표 $t$를 거기에 비례하는 허수 크기 $\sqrt{-1}\cdot ct$로 바꾸어야 한다. 이 조건 아래 상대성이론의 요건츨 충족시키는 자연법칙이 보여주는 수학적 형식에서 시간좌표는 세 개의 공간 좌표와 정확히 똑같은 역할을 한다." (17장)

"따라서 시간변수를 실수 양 $t$가 아니라 허수변수 $\sqrt{-1}\cdot ct$로 선택한다면, 특수상대성이론에 따르는 시공간 연속체는 '유클리드' 4차원 연속체로 여길 수 있게 된다." (26장)

"시간변수를 $t$ 대신 허수 $\sqrt{-1}\cdot ct$로 도입하면, 로렌츠 변환의 특성이 더 간단해진다.
$$x_1 = x , \quad x_2 = y , \quad x_3=z , \quad x_4 = \sqrt{-1}ct$$를 대입하면 로렌츠 변환이 충족시키는 조건은 다음과 같이 표현할 수 있다. $$(x'_1 )^2 + (x'_2 )^2 +(x'_3 )^2 +(x'_4 )^2 =(x_1 )^2 + (x_2 )^2 +(x_3 )^2 +(x_4 )^2$$ ... 민코프스키의 '세계'는 형식적으로 (허수 시간 좌표가 있는) 4차원 유클리드 공간으로 여길 수 있으며, 로렌츠 변환은 4차원 '세계'의 좌표계에서 '회전'에 대응한다." (부록 A.2)

그런데 두 개의 사다리가 있을 때 상대 기울기를 구하는 방법은 두 가지입니다. 하나는 수평 방향이 모든 사람에게 똑같이 주어진다고 가정하고 그것을 기준으로 삼는 것이고, 다른 하나는 각 사다리마다 독자적으로 새로운 수평 방향이 될 수 있다고 선택한 뒤 사다리가 이루는 각을 더하거나 빼는 것입니다. 혼동을 주지 않기 위해서는 중력에 대한 고려는 하지 않아야 합니다. 사다리의 기울기를 구한다는 것은 그냥 밑변과 높이의 비를 구하겠다는 것일 뿐이고, 중력이 등장하면 안 됩니다. 중력이란 게 있으니까 수평 방향은 항상 중력 방향과 수직한 것으로 선택해야 한다고 믿으면 보편적인 수평 방향을 가정하는 것이 됩니다.

마찬가지로 속도를 세계선의 기울기로 선택할 때, 높이의 합이나 차에 주목할 것인가 아니면 세계선이 수평 방향(시간 축)과 이루는 각의 합이나 차에 주목할 것인가 선택할 수 있습니다. 앞의 선택지가 고전역학적 시공간 개념이고, 뒤의 선택지가 상대론적 시공간 개념입니다.

혼동을 일으키는 것은 시간-공간을 온전하게 대등한 것으로 보기 위해서는 허수단위 $i=\sqrt{-1}$을 도입해야 한다는 점에 있습니다. 저는 쌍곡삼각함수를 도입하고 거리함수의 부호가 (+,+,+,-)인 요즘의 표준적인 형식이론에 익숙하고 상대성이론을 그에 맞추어 배우고 또 가르쳐 왔지만, 이전에는 $x_4=i c t$를 도입하는 형식이론이 더 많았음을 알고 있습니다. 이를 확인하기 위해 제가 대학원 시절 무척 아끼며 빼곡하게 공부했던 전자기학 교과서를 꺼내 보았습니다. 그 책은 다음과 같습니다.

Roland H. Good, Jr. & Terrence J. Nelson (1971). Classical Theory of Electric and Magnetic Fields. Academic Press.

이 책에 다음과 같은 내용이 나옵니다.

(출처: R.H. Good & T.J. Nelson (1971). Classical Theory of Electric and Magnetic Fields. Academic Press. p. 411)

여기에서 $x_4=i c t$는 앞 페이지에 정의되어 있습니다.

(출처: R.H. Good & T.J. Nelson (1971). Classical Theory of Electric and Magnetic Fields. Academic Press. p. 406)

이렇게 $x_4=ict$를 도입함으로써, 멈춰 있는 좌표계와 이에 대해 움직이고 있는 좌표계 사이의 관계를 4차원 시공간에서 회전변환으로 표현할 수 있게 됩니다.

다만 위의 그림 Fig. 27.3의 밑에 나오는 설명처럼, 이 회전변환의 회전각 $\theta$는 순허수가 됩니다. 왜냐하면 $$\cos\theta=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \ge 1$$이기 때문입니다.

로렌츠 변환을 수식으로 표현할 때 두 가지 선택지가 있습니다. 하나는 시간축을 실수로 선택하는 민코프스키 시공간에서 찌그러진 마름모 모양으로 나타내는 것이고, 다른 하나는 허수단위를 곱하여 유클리드 공간으로 바꾼 뒤 찌그러지지 않고 직교성을 유지하는 회전으로 나타내는 것입니다. 앞의 선택은 $$ ct’ = ct \cosh\varphi - x \sinh\varphi $$ $$ x’ =- ct \sinh\varphi + x \cosh\varphi$$로 표현되는 반면, 뒤의 선택은 $$ i ct’ = i ct \cos\theta + x \sin\theta $$ $$ x’ = - i ct \sin\theta + x \cos\theta$$로 표현됩니다.

삼각함수와 쌍곡삼각함수는 $$\sinh i\theta = i \sin \theta , \quad \cosh i\theta = \cos\theta , \quad \tanh i\theta = i \tan\theta$$와 같은 관계식을 충족시키기 때문에 $$\varphi=-i\theta$$ 또는 $$\theta=i\varphi$$가 된다면, 이 두 수학적 표현은 완전히 똑같습니다. 마름모 모양으로 찌그러지는 변환과 회전변환이 완전히 같은 것입니다. 비유가 아닙니다.

위에 인용한 페이지의 (27.35)식에 있는 것처럼, 그림 Fig. 27.3의 비스듬한 세계선 $X'_3$축, 즉 $Z'$축의 기울기는 $\frac{x_4}{x_3}$의 값을 $x'_4 = 0$을 넣어 계산한 것과 같기 때문에 $$\left[\frac{x_4}{x_3} \right]_{x'_4 = 0}=i\frac{v}{c}$$가 되므로 회전각은 45도를 넘을 수 없습니다. 즉 속도가 광속을 넘어갈 수 없음을 추가적으로 주장함으로써 회전각이 45도 이하임을 요건으로 포함시키게 됩니다.

이 책은 전자기학 책이라서 상대성이론을 본격적으로 다루는 것은 아니고 오히려 전자기학에 관심이 있는 독자들을 겨냥하여 쓴 것이기 때문에 허수단위를 곱한 것으로 전체적인 설명을 훨씬 더 직관적으로 하고 있습니다.

이와 대조하기 위해 1973년에 출간된 일반상대성이론 교과서를 보는 것이 유익합니다.

Misner, Charles W.; Thorne, Kip S.; Wheeler, John Archibald (1973), Gravitation, W. H. Freeman.

이 책은 1300쪽 가까운 매우 뚱뚱한 책입니다.

제가 이 책으로 상대성이론을 배울 때에는 다들 '베개'라고 불렀는데, 엎드려 잘 때 베고 자기에 딱 맞는 두께이거든요. 어떤 사람들은 '전화번호부'라고도 불렀습니다. 이 책을 들고 다니면 중력을 몸으로 느낄 수 있다고 재미없는 농담을 하곤 합니다.

이 책 67쪽에 아래와 같은 Box 2.4가 있습니다.

(출처: Misner, Charles W.; Thorne, Kip S.; Wheeler, John Archibald (1973), Gravitation, W. H. Freeman. pp. 67-68.)

2차원 공간($x-y$평면)에서 회전 변환이 나오고, 사선의 기울기가 $$s=\tan\theta$$로 주어진다는 것이 명확하게 나옵니다. 그 밑에는 두 변환을 결합할 때 사선의 기울기가 $$s=\tan(\theta_1 + \theta_2 )=\frac{\tan\theta_1 +\tan\theta_2}{1-\tan\theta_1\tan\theta_2}=\frac{s_1 + s_2}{1- s_1 s_2}$$가 된다는 식이 보입니다.

2차원 시공간($z-t$ 평면)에서 부스트, 즉 멈춰 있는 좌표계와 움직이는 좌표계 사이의 관계가 기울기 대신 속도 $$\beta = \tanh\alpha$$로 주어진다는 것이 설명되어 있습니다. 여기에서 $\beta=\frac{v}{c}$입니다.

맨 밑에 두 변환을 결합하면 $$\beta=\tanh(\alpha_1 + \alpha_2 )=\frac{\tanh\alpha_1 + \tanh\alpha_2}{1+\tanh\alpha_1 \tanh\alpha_2}=\frac{\beta_1 + \beta_2}{1+\beta_1 \beta_2}$$가 됨을 말하고 있습니다.

상대성이론 연구자들은 $x_4 = ict$를 쓰지 않고 있습니다. 이와 관련된 Misner-Thorne-Wheeler의 책에 있는 박스기사를 "ict여, 안녕"에서 간단하게 소개했습니다.