앞 글에 넣은 그래프는 좀 문제가 있더라구요.

그래서 다시 그려 봤습니다. 

(요즘은 자주 그림을 그리네요. 어릴 때 이불에 지도는 안 그렸었는데요...)

3가지 그림입니다.

우선 상식적으로 속도를 더하는, 뉴턴식 그림. (좌표축은 가만히 있습니다.)

사다리로 설명된, 회전 변환일 때의 그림 (좌표축은 돌아가지만, 좌표축 끼리는 직각 입니다.)

민코프스키 방식으로, 가위처럼 양쪽 좌표축이 오그라 드는 그림 (좌표축도 돌아가고, 좌표축 끼리도 오그라 듭니다.)

전에 그려본 30도 일때의 그림에다가 추가해서 그려봤습니다. GeoGebra ('지오지브라' 라고 읽는다네요, 게오게브라는 아닌가 봐요.) 라고 학교 선생님들이 많이 쓰신다는, 쉽다고 알려진 프로그램, 웹 싸이트 입니다만, 제가 요즘 쓰기 시작해서 많이 어설픕니다. 속도별로 좌표축의 각도가 막 변하고, 그때마다 좌표값도 표시되고, 이렇게 하고 싶지만요 ... ㅠㅠ

상대 속도를 구하는 상황이 다 그렇지만, 한쪽에서 다른 쪽이 어떻게 보일까 하는 것입니다.

그러니까, 상대편의 한 점의 좌표값을 이쪽의 좌표로 알아내면 됩니다.

그림에서는 B ( 루트 3, -1 ) 이라는 것이 반대쪽 (A 를 지나는 ) 검정색-파란색 좌표 에선 어떻게 보일까?

그래서 두 좌표값의 비가 되는 속도가 어떻게 표시될까 하는 얘기가 됩니다. 

( 속도 = 거리 / 시간, 지금 좌표계는 x 축이 시간축이고, y축이 공간, 거리 축입니다. 그러니까, y/x 가 되면, 바로 속도가 됩니다 )

A 를 지나는 직선이 변환된 시간축입니다.

 (상식 그림) 

이러면 빛보다 빠르다는 얘기가 됩니다.

(사다리, 직교 좌표의 회전) 

A를 지나는 시간축에 수직되게 거리를 구합니다. 누런 직선을 봐주세요.

B 점을, A 에서가 아니라, 이때는 C 점에서 수직으로 올라가야 합니다.

A 와 C 점은 굉장히 차이가 나지요?

그러면 B ( 루트3, -1) 은, 회전좌표계에선, B (OC, CB) 가 됩니다. 

시간으로 OC, 거리로는 CB 가 됩니다.

그래서 속도는 CB / OC 가 되지요. 그리고 그게 바로, 원점에서 두 삼각형의 각도를 합친, 각 COB 의 tan 값이 됩니다 !

그런데, tan (각COB) 가 바로 tan 60도 가 되네요. (원점의 삼각형 두개의 각도는 30도 씩이었으니까요)  이러니, tan 60도 = 루트 3 = 1.732... 

회전 방식으로는 상식보다 훨씬 빨라진다고 계산이 됩니다 ! 

곤란해 졌네요.

(가위, 민코프스키 좌표계에 적용한 로렌츠 변환)

30도의 각도는 굉장히 큰 각도입니다. 

대략 빛의 속도의 2/3 나 되는 대단한 속도이지요. (초속 20만 km !!)

그래서 좌표계가 많이 쪼그라 들어야만 합니다.

이때는 직각으로 되지 않기에, 삼각함수를 간단히 사용할 수 없습니다 ㅠㅠ

우선 A 를 지나는 시간축은 보통의 x축 위치에서 30도 올라갔습니다. (파란 선)

그러니까 공간축은 보통의 y축 위치에서 30도 내려가야 합니다.(보라색 선)

원래 90도가 될 좌표축끼리의 각도가 아래에서 30도, 위에서 30도 줄어드니, 가운데 남은 건 30도 뿐입니다 ! 이렇게나 크게 오그라 들게 되네요.

이제 B 점이 어떻게 보이는지 찾아 봅시다.

좌표축을 평행이동하고 그 직선과 다른 좌표축이 만난 점이 찾는 좌표값이 됩니다.

보라색 선, 공간 축을 이동해 봅시다.

그래서 찾은 좌표값이 오른쪽 위의 D점이 됩니다.

파란색 선을 이동해서 찾은 점은 저 멀리, 왼쪽 밑의 E 점이 되네요.

즉, B (루트 3, -1) 이 B (D, E) 가 되었습니다.

저는 이걸 계산으로 찾지 못하고 (ㅠㅠ), GeoGebra 에서 제공하는 거리측정 기능을 이용했습니다.

그랬더니, OD = 4, DB = 3.4641016151378... 이라네요.

위에서 속도를 계산한 것처럼 하면,

상대속도 = OE / OD = DB / OD = 3.4641 / 4 = 0.8660...

책에서 나온 상대속도 계산 공식에 적용한다면?

역시 0.866 이 나온다네요.

빛의 2/3 (약 67%)의 속도로 멀어질 때의 상대속도는 대략 빛의 90% 가 된다는 것입니다.

이렇게해서, 3개의 상대속도를 생각하는 방식을 그래프로 비교해 보았습니다.

저는 아직은 마지막 상황에서 공식을 유도하는 방법을 찾지 못했습니다 ㅠㅠ

자연사랑 님의 글을 보면서 더 생각해 보겠습니다.

PS. 찾아보니, 이미 다른 분이 다 해 놓으셨네요.

Minkowski Diagramm 

(여기에서는 속도에 따라 좌표계가 얼마나 오그라 드는지 잘 보여줍니다. 슬라이드를 왔다 갔다 해 보세요. )