혹시 더 상세한 내용이 궁금한 분을 위해 유튜브의 유용한 사이트의 링크를 달아둡니다.

" target="_blank" rel="noopener"> Relativity 104e: Special Relativity - Spacetime Interval and Minkowski Metric

eingenchris라는 아이디를 쓰는 분이 만들어 놓은 상대성이론 강의인데, 여러 면에서 훌륭합니다. 한번 구경해 볼만합니다.

전체는 꽤 많은 강의 비디오로 이루어져 있는데, 맨 처음 것은

" target="_blank" rel="noopener"> Relativity 101a: Introduction to Galilean Relativity

입니다. 시간 여유가 좀 있다면 맨 처음부터 차근차근 비디오를 보는 것이 좋겠고, 민코프스키 시공간 개념만 보려면 위에 올려 놓은 링크로 바로 가도 좋겠습니다. 맨 위의 링크가 조금 따라가기 어렵다면 바로 전 단계에서 아래 비디오가 도움이 될 것입니다.

" target="_blank" rel="noopener">Relativity 104a: Special Relativity - Lorentz Transformation Geometry (no equations)

작년 말부터 네이버에 연재되고 있는 글 “모두를 위한, 특수상대론 101 (김찬주)“을 추천합니다. 아주 잘 쓰였고 이해하기가 무척 쉽습니다.

민코프스키 변환이라는 것은 따로 없습니다. 로렌츠 변환을 민코프스키 시공간에서 찌그러진 마름모 모양으로 나타낼 것인가, 아니면 허수단위를 곱하여 유클리드 공간으로 바꾼 뒤 찌그러지지 않고 직교성을 유지하는 회전으로 나타낼 것인가 하는 점만 다를 뿐입니다. 앞의 선택은 $$ ct’ = ct \cosh\varphi - x \sinh\varphi $$ $$ x’ =- ct \sinh\varphi + x \cosh\varphi$$로 표현되는 반면, 뒤의 선택은 $$ i ct’ = i ct \cos\theta + x \sin\theta $$ $$ x’ = - i ct \sin\theta + x \cos\theta$$로 표현됩니다.

저도 허수를 도입한 유클리드 공간에서는 광속 일정이 자연스럽게 도출되지 않는다고 보고 있습니다. 그래서 이를 추가적인 가정으로 덧붙여야 한다고 봅니다. 그러나 엄밀하게 따지면 애초에 민코프스키 도표를 만들 때 처음부터 광속일정을 하나의 지도원리로 도입하게 되어 있습니다. 자연스럽게 마름모 모양으로 찌그러지는 게 아니라 광속일정을 추가로 가정했기 때문에 그렇게 되는 것입니다.

제가 이전에 쓴 글 “고유시간, 인과구조…“에 상세하게 설명해 두었습니다.

시지프스님의 그림이 무척 큰 도움이 되는 것 같습니다. 그리고 핵심을 정확히 설명하고 계십니다. 광속일정을 허수단위를 곱한 유클리드 공간에서 구현하려면, 위의 그림에서 빨간색으로 된 세계선이 어느 좌표계에서나 빛의 세계선이라고 말해서는 안 됩니다. 공간축-타우축이 회전한 좌표계에서 빛의 세계선은 다시 45도가 되는 새로운 세계선으로 나타내야 합니다.

쌍곡탄젠트를 쓰는 민코프스키 도표에서는 빛의 세계선이 언제나 45도 기울기의 직선으로 나타난다는 장점이 있는 반면, 보통의 탄젠트를 쓰는 유사유클리드 공간에서는 빛의 세계선의 기울기가 회전각도(즉 좌표계 간의 상대속도)에 따라 달라집니다. 후자에서는 광속이 최대 속도라는 것도 도출되지 않습니다. 그래도 마름모 모양으로 오그라드는 변환보다는 좌표축들이 수직을 이루는 쪽을 선호하는 사람도 있을 것 같습니다.

축을 돌리는 것이 유클리드 회전, 찌그러지는 것이 민코프스키 변환, 이런 건가요?