자연철학 책 p.163~165, "두 사다리의 상대 기울기" 는 장회익 선생님의 독창적인 설명 방식으로, 사다리를 통한 쉬운 이해로 상대속도를 구할 수 있다는 것입니다.

(요 밑에 있는 neomay33 님의 모임정리 글에 사다리 설명 그림이 잘 나와 있습니다.  [모임 정리] 새자연철학세미나 11회 - 상대성이론 3  )

그런데, 이 설명을 좋은 비유로 봐야지, 진짜 설명으로 보면 곤란한 점도 생각해 봐야 겠습니다. 

사다리 설명은 직교좌표계에서의 회전변환으로 볼 수 있지만, 

민코프스키 공간에선 회전이 아니라, 한 쪽 축이 올라간 각도 만큼 다른 쪽 축이 같은 각도로 쪼그라 듭니다.    (그래서인지 책의 그림에는 수직인 벽은 그냥 남아  있고, 기울어진 사다리에 수직인 축은 아예 표시가 안되어 있습니다)

(그림 참조, 위키의 그림을 가져다가 짤랐습니다. 점 P, Q, R 은 잊어주세요.)

속도가 빠를수록 기울기가 급해지고, 좌표축은 마치 가위처럼 점점 쪼그라 듭니다.

이 그림을 보면 빛의 속도보다 더 빠른 운동이 왜 불가능하다고들 하는지 바로 이해할 수 있습니다.

가위 날이 서로 엇갈려버리거든요. 그러면 그 가위는 못쓰게 되지요. (이것은 엿장수 가위 비유일까요? ^^;; ) 

그리고, 사다리 설명을 잘 보시면,  같은 방향의 두 속도의 상대속도를 설명하고 있습니다.

반대방향의 속도에도 사다리 설명을 적용하면, ... 난리가 납니다 !

학교에서 배우는 쉬운 각도로 예를 들어 보겠습니다.

(학교 수학 수업에서는 0도, 30도, 45도, 60도, 90도의 삼각함수 값을 특수각이라고 해서 외우게 합니다. 수학을 배우려면 이밖에도 많이 외워야 하지요.) 

직각 삼각형의 각도가 90도, 60도, 30도 라면, 세 변은 2, root 3, 1 이 됩니다.

그래서 tan 30도 = 1/root 3 , tan 60도 = root 3 이 됩니다.

서로 반대방향으로 가는 두 속도의 상대속도는? 

빛의 속도의 대략 2/3 인 속도의 경우를 생각해 봅시다 

(계산의 편의를 위해서 2/3 대신 tan 30도 상황을 보겠습니다.)

(그림 참조, 이건 제가 몇 날을 고생하면서 그렸습니다 ㅠㅠ)

우리네 상식 (뉴턴역학)으로는 두 속도를 더해야 하니까,  1/root 3 끼리 더해야 합니다.

그러면 1.1547... 이 됩니다. 빛보다 꽤 빠르게 보인다는 얘기지요. 

그러면 사다리 설명처럼, 기울기로, tan 값의 덧셈으로 보면 빛 보다 느리게 될까요?

그러면, root 3, 즉 1.732... 로, 우리네 상식보다 더욱 빨라집니다 !!

(그림의 녹색과 하늘색 선이 빛의 속도로 공간의 +방향으로, - 방향으로 멀어지는 선이며, 빨간색 선은 빛의 속도의 2/3 일때 입니다. 30도 기울기는 2/3보단 조금 작지요.)

그런데 책에선 상대속도 공식을 도입하고는, 같은 방향이건 반대방향이건 모두 공식에 넣고 계산만 합니다. 

( p.168,    4차원으로 시공간을 본다는 것 (p.168쪽 내용 풀이)   )

이래서 상대성 이론이 틀렸다는 얘기가 아닙니다. 사다리 비유의 쉽게 다가오는 이해는, 처음 출발을 쉽게 해주는 좋은 방식이지만, 구체적인 전개에 들어가서도 그걸 고집하면 안된다는 것입니다.

자세한 상황은 물리학 교과서에 실려 있지만, 아이디어는 이것이다, 이것이 본뜻이다, 정도면 충분하다는 것입니다.  그리고 구체적인 전개에선 이미 정립된 공식이나 결과를 그냥 가져다가 써도 되며, 그래야만 한다는 것이지요.

사다리 비유가 좋은 비유지만, 사다리 위에서 사람이 선다면, 꼭 사다리 바닥면에 수직되게만 서지는 않기에, (엘리베이터나 계단이나 경사면을 떠올려보세요, 경사도와 사람이 서는 방향이 꼭 수직인가요? 수직인 경우는 아예 없지요.), 수직이나 직교의 개념이 들어가야만, 그리고 회전의 개념도 가지고 있어야만 사다리 비유에 제대로 공감할 수 있습니다. (수학 수업에서 행렬과 회전변환을 배우시지 않으셨다면 잘 와닿지 않으실 겁니다. 행렬과 회전변환은 제가 학교다닐 때는 고등학교 이과수학에서만 있었고, 행렬자체가 교육과정에 들어갔다가 빠졌다가 했지요.)  이러다보니, 고등학교 이과 수학을 배운 사람만 알게되는 악순환 같은 상황이 또 생기는군요 ㅠㅠ