지난 번 보조세미나에서 나온 이야기를 참조하여 허수시간의 문제를 조금 더 상세하게 해명하고 저의 의견을 말씀드리려 합니다. 이전에 쓴 글 "속도의 덧셈 (상대속도)"을 보강하여 "사다리의 기울기와 상대속도: 세계선과 탄젠트"라는 글로 확장하면서, 그 글의 끝부분에 쓴 글 "복소수가 도입되는 것을 이해하기 위해 처음부터 시간 축을 허수축으로 놓고 이야기를 전개할 수도 있습니다. 이것이 장회익 선생님의 선택입니다. 시간 축을 허수축으로 놓는 것의 장단점에 대해 다른 글에서 더 논의해 보고자 합니다."에 따른 것입니다.

이것은 다음 본 세미나에서 이야기나누면 좋을 저의 질문이기도 합니다.

장회익 선생님의 접근에서 상대속도의 개념을 사다리의 기울기를 구하는 문제로 바꾸고 시간좌표와 공간좌표의 관계에서 허수시간 $x_4 = i c t$를 도입하는 것을 저는 논리적이거나 필연적인 과정이라기보다는 이미 답을 알고 있기 때문에 사후적으로 선택하는 것이라고 생각합니다.

"시간이 만일 복소수의 허수축에 해당한다면 $k$는 $i=\sqrt{-1}$에 비례할 것이고, 그 비례상수는 기왕에 설정된 공간단위와 시간단위에 따라 결정될 것이다. 따라서 우리는 $k$값을 $$k=ic \quad (i^2 = -1)$$으로 놓자. 여기서 $c$는 시간 공간을 연결하는 보편상수다." (<장회익의 자연철학 강의> 167쪽)

이 문장에서 "$p$라면 $q$"의 실질함축 명제가 여럿 사용되는데, 이 과정은 수학적으로나 물리학적으로 자연스러운 연결이 아니라는 것이 제 의견입니다. 이를 더 분석하면 다음과 같습니다.

(A) 시간은 복소평면에서 허수축에 해당한다.

(B) 시간좌표와 공간좌표를 대등하게 만들기 위해 도입한 새로운 시간 좌표 $\tau=k t$에서 비례상수 $k$는 $i=\sqrt{-1}$에 비례한다.

(C) 처음 설정된 공간단위와 시간단위에 따라 $k$는 시간과 공간을 연결하는 속도 단위의 보편상수 $c$에 비례한다. [만일 공간단위와 시간단위를 처음부터 똑같이 선택했더라면, $c=1$이었을 것이며, 빛과 관련된 상대속도를 고려하면 결과적으로 $c$는 광속이다.]

(D) 따라서 (B)와 (C)로부터 $$k=ic \quad (i^2 = -1)$$으로 놓을 수 있다.

이러한 접근에 심리적으로 저항감을 느끼면서 납득이 안 된다는 느낌을 받는 까닭은 무엇일까요? 저는 그 원인을 (A)에 두고 싶습니다. 또 (A)의 가정으로부터 (B)를 논리적으로 얻어내기가 어렵다는 점을 지적하고 싶습니다. 

장회익 선생님은 독특하게도 허수시간 $x_4 = ict$에 일종의 실재성을 부여하시는 것으로 보입니다.

"자연의 조화는 오직 수학적 기능만을 지녔다고 보이던 이 빈 공간을 상상의 세계로만 남겨두려 하지 않았다. ... 우리가 공간의 한 차원을 1차원 실수 공간에 대응시킨다면, 시간은 이것의 허수 공간에 대응됨으로써 공간-시간 2차원 구조가 되도록 해놓은 것이다. 실제로 공간은 서로 수직인 세 개의 실수축을 지닌 3차원 공간에 해당되므로 시간은 이들 모두에 수직인 허수 공간을 차지함으로써 결과적으로 4차원 시공간을 이루게 된다." (<장회익의 자연철학 강의> 162-163쪽)

표준적인 수학자들의 논의에서는 1830년대에 공식적으로 도입된 가우스 복소평면은 그 전까지 추상적으로만 다루어지던 복소수가 두 개의 실수와 일대일대응된다는 도구적인 개념입니다. 기호로 나타내면, 복소수의 집합을 $\mathbb{C}$로, 실수의 집합을 $\mathbb{R}$로 나타낼 때 $$\mathbb{C}\simeq\mathbb{R}^2$$가 됩니다. 아무 복소수 $z\in\mathbb{C}$가 하나 있다면, 이것에 대응하여 $(x , y)$ (단, $x, y \in \mathbb{R}$)과 같이 두 개의 실수가 존재하고 이 대응은 일대일입니다. 그렇게 되면 $z=x+iy$와 같이 써 놓고 제곱하면 $-1$이 되는 이상한 '허수 단위'인 $i=\sqrt{-1}$을 쓸 필요가 없게 됩니다.

애초에 이 이상한 개념은 16세기에 삼차방정식의 풀이를 나타내기 위해 도입되었고, 스위스의 수학자 레오나르트 오일러가 이 허수단위의 기호 $i$를 도입하여 표기를 편리하게 했지만, 그 개념은 너무 추상적이어서 종잡기 어려웠습니다. 가우스의 (더 정확하게는 베셀, 아르강, 가우스 등의) 기여는 추상적인 복소수 개념을 두 개의 실수로 바꾸어 다루기 편리하게 만든 점에 있습니다.

수학자들의 논의에서 복소평면은 복소수를 알기 쉽게 서술하기 위한 도구에 지나지 않습니다. 실수조차 실재성을 의심하는 수학자들로서는 복소수가 정말 실제로 자연에 존재하는 수라고 생각하지 않는 이가 많습니다. 데데킨트는 자연수만이 자연에 존재하며 나머지는 모두 사람이 만든 것이라고 말했지만, 실상 자연수조차 사람이 만든 것에 불과할 수도 있습니다. 이와 관련된 수학철학(또는 수리철학)의 문제는 또 다른 거대한 문제이므로 더 파고들지 않겠습니다.

제가 질문으로 삼는 것은 복소수의 실재성이 아니라 복소평면의 실재성 여부입니다.

이를 위해 1920년에 출판된 아인슈타인의 유명한 텍스트를 참조하는 것이 유용합니다.

Albert Einstein (1920). Über die spezielle und allgemeine Relativitätstheorie. Braunschweig : F. Vieweg.

(참고를 위해 독일어본과 영어 번역본을 링크로 연결합니다. 한국어 번역본은 "이주영 옮김 (2012) 상대성의 특수이론과 일반이론 (필맥)"와 "장헌영 옮김 (2012)상대성 이론 - 특수 상대성 이론과 일반 상대성 이론 (지만지)"이 있는데, 둘 다 영어판을 중역한 것입니다. 앞의 것은 아무래도 비전공자의 것이어서 오역이나 이해가 안 되는 문장들이 좀 있는 것 같고, 뒤의 것은 역자가 천문학자이어서 번역을 정확하지만 가독성이 조금 떨어지는 것 같기도 합니다. 아래 번역은 제가 한 것입니다.)

17장 민코프스키의 4차원 공간 (독일어 원문은 이 링크로)

"수학자가 아니라면 '4차원'이란 말을 들을 때 두려움에 사로잡힌다. 이는 주술을 떠올릴 때 놀라는 것과 별로 다르지 않은 느낌이다. 그러나 우리가 살고 있는 세계가 4차원 시공간 연속체라는 말만큰 상식적인 문자도 없다. 공간은 3차원 연속체이다. 이 말은 (정지해 있는) 한 점의 위치를 서술하기 위해 세 개의 숫자(좌표) $x, y, z$를 사용한다는 의미이다. ... 마찬가지로 민코프스키가 간단히 '세계'라고 불렀던 물리적 현상들의 세계는 시공간의 의미에서 자연스럽게 4차원이다. 왜냐하면 물리적 현상은 개별적인 사건들로 이루어지며, 개별 사건은 네 개의 숫자, 즉 세 개의 공간좌표 $x, y, z$와 시간 좌표 $t$로 서술되기 때문이다.

... 상대성이론이 출현하기 전에는 시간이 공간좌표와 비교하여 전혀 다른 독립적 역할을 했다. 그렇기 때문에 시간을 독립적인 연속변수로 여기는 데 익숙해져 왔다.

상대성이론에서는 '세계'의 4차원 형식을 고려하는 것이 자연스럽다. 이에 따르면 시간은 독립성을 상실한다. 이것은 로렌츠 변화의 네 번째 식 $$t'=\frac{t-\frac{v}{c^2}x}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$$에서 볼 수 있다.

그러나 민코프스키의 발견은 ...  4차원 시공간 연속체가 가장 본질적인 형식적 속성에서 유클리드 기하학의 공간의 3차원 연속체와 심오한 관계를 가짐을 보여준다는 데 있다. 이 관계를 분명하게 보기 위해서는 보통의 시간좌표 $t$를 거기에 비례하는 허수 크기 $\sqrt{-1}\cdot ct$로 바꾸어야 한다. 이 조건 아래 상대성이론의 요건츨 충족시키는 자연법칙이 보여주는 수학적 형식에서 시간좌표는 세 개의 공간 좌표와 정확히 똑같은 역할을 한다." (17장)

이 절의 내용은 다시 26장과 부록2장에서 더 다루어집니다.

"따라서 시간변수를 실수 양 $t$가 아니라 허수변수 $\sqrt{-1}\cdot ct$로 선택한다면, 특수상대성이론에 따르는 시공간 연속체는 '유클리드' 4차원 연속체로 여길 수 있게 된다." (26장)

"시간변수를 $t$ 대신 허수 $\sqrt{-1}\cdot ct$로 도입하면, 로렌츠 변환의 특성이 더 간단해진다. $$x_1 = x , \quad x_2 = y , \quad x_3=z , \quad x_4 = \sqrt{-1}ct$$를 대입하면 로렌츠 변환이 충족시키는 조건은 다음과 같이 표현할 수 있다. $$(x'_1 )^2 + (x'_2 )^2 +(x'_3 )^2 +(x'_4 )^2 =(x_1 )^2 + (x_2 )^2 +(x_3 )^2 +(x_4 )^2$$ ... 민코프스키의 '세계'는 형식적으로 (허수 시간 좌표가 있는) 4차원 유클리드 공간으로 여길 수 있으며, 로렌츠 변환은 4차원 '세계'의 좌표계에서 '회전'에 대응한다." (부록 A.2)

위에 인용한 아인슈타인의 텍스트에서 $x_4 = i c t$라는 허수 시간 좌표의 도입은 시간좌표를 공간좌표와 대등한 수학적 표현으로 나타내기 위한 것이어서, 허수 시간 좌표를 실질적이거나 실재적인 것으로 여기지 않습니다. 실상 민코프스키는 4차원 시공간 연속체의 실재성을 강하게 믿었던 반면, 아인슈타인은 4차원 공간의 기하학을 줄곧 편리한 수학적 기법으로 여겼습니다. 수학자 민코프스키가 4차원 공간이 3차원 공간보다 덜 실재적이지 않다고 믿은 반면, 물리학자 아인슈타인은 시간과 공간을 원칙적으로 늘 분리하여 사고했습니다. 1905년의 초보적인 논문뿐 아니라 일반상대성이론으로 나아가는 과정에서도 공간을 재는 '자'와 시간을 재는 '시계'를 늘 분리하여 논의했습니다.

민코프스키도 1908년 논문에서 $x_4 = i c t$에 대해 언급하고 있긴 하지만, 민코프스키는 줄곧 시간을 $c t$로 다루고 있습니다. 즉 시간과 공간을 합한 4차원 시공간 연속체를 실재로 보면서도 허수시간이 아니라 실수시간을 실재라고 보는 것입니다.

(Vortrag, gehalten auf der 80. Versammlung Deutscher Naturforscher und Ärzte zu Cöln am 21. September 1908.)

"맨처음부터 길이 단위와 시간 단위의 비를 자연스러운 제한속도가 $c=1$이 되도록 미리 선택할 수 있다. $t$ 대신 $\sqrt{-1}\cdot t=\tau$를 도입하면 이차미분형식은 $$ ds^2 = dx^2 + dy^2 + dz^2 + d\tau^2$$와 같이 $x, y, z, \tau$에 대하여 완전히 대칭적이게 된다. 이 대칭성은 앞에서 다룬 세계가설과 충돌하지 않고 모든 법칙으로 전해진다. 따라서 이 가설의 본질은 $$3\times 10^5 \ \mathrm{km}=\sqrt{-1}\ \mathrm{sec}$$이라는 신비한 공식을 통해 수학적으로 매우 생산적인 옷을 입을 수 있다." (원문은 조금 다른데, 수식을 <자연철학 강의>의 수식과 혼동하지 않도록 민코프스키의 $s$를 $\tau$로 고치고, 민코프스키의 $\tau$를 $s$로 고쳤습니다.) 

요약하면, 아인슈타인이나 민코프스키 모두 $x_4 = ict$의 실재성을 받아들이지 않고 유용한 수학적 도구로 보았으며, 1830년대의 가우스가 복소평면을 도입할 때에도 이는 유용한 수학적 개념일 뿐이었는데, 장회익 선생님께서는 "시간이 복소수의 허수축에 해당한다"라는 것을 일종의 실재론적 관념으로 받아들이시는 게 아닌가 하는 것이 저의 질문입니다.

이렇게 시간축을 세 개의 공간축들와 함께 있는 허수축으로 보는 관점은 4차원 피타고라스 공식을 통해 상대속도를 벽에 걸친 사다리의 기울기와 연결시킬 수 있을 뿐 아니라 시간과 공간이 근본적으로 완전히 대등함을 잘 말해 줍니다. 그러나 그렇게 하기 위해 시간축이 허수축이며 복소공간이 실재성을 지닌다고 전제할 필요가 있습니다. 이것이 직관적으로 금방 납득되지 않는 것은 4차원 시공간 개념을 수용하는 것과는 조금 결이 다른 것 같습니다.

저의 대안은 다음과 같습니다. [상세한 내용은 "사다리의 기울기와 상대속도: 세계선과 탄젠트"에 있습니다.]

(1) 시간-거리 그래프를 시간-공간 도표로 개념을 바꾼다. (즉 거리가 아니라 공간의 위치로 보는 관점을 선택한다.)

(2) 시간-거리 그래프에서 운동을 표현하는 직선을 세계선으로 해석한다.

(3) 세계선에 대하여 기울기는 정확히 속도임을 밝힌 뒤, 이를 통해 속도를 탄젠트 삼각함수로 표현한다.

(4) 시간단위와 공간단위를 맞추기 위해 $$ v = k \tan\alpha$$와 같이 속도의 단위가 되는 보편상수 $k$를 도입한다.

(5) 세계선들 사이의 관계를 이용하여 상대속도를 탄젠트 함수의 각도의 차이로 재해석함으로써 $$v_A ' =\frac{v_A - v_B}{1+ \frac{v_A v_B}{k^2}}$$를 유도한다.

(6) $v_A=c$일 때 $v_A ' =c$가 되어야 한다는 조건을 추가로 부과함으로써 $$k^2 = -c^2$$를 유도한다.

(7) 따라서 $$v_A ' =\frac{v_A - v_B}{1- \frac{v_A v_B}{c^2}}$$이다.

제 대안적 접근의 장점은 복소수를 전혀 도입하지 않는다는 것에 있습니다. 이 과정에서 마이컬슨-몰리의 실험 결과 즉 광속이 광원이나 관찰자의 운동속도와 무관하게 언제나 일정한 값이 된다는 실험상의 결과를 조건으로 덧붙여야 합니다. 그렇게 되면 장회익 선생님께서 "아인슈타인의 두 가지 기본명제"에서 상세하게 서술하신 내용과 충돌할 수 있습니다. 장회익 선생님은 "4차원 시공간을 이룬다는 말 속에는 이미 '모든 자연법칙은 관측자의 속도에 무관하게 일정하다"는 내용이 담겨 있다. 그렇기에 아인슈타인의 두 가지 기본명제 대신 '4차원 시공간'이라는 한 가지 기본명제만으로 충분하며, 이것이 훨씬 더 단순하면서도 직관적이어서 우주의 심층 구조에 더 맞닿아 있음을 실감케 해 준다."(172쪽)라고 쓰셨는데, 저는 시공간의 구조를 말해 주는 보편상수 $c$가 존재한다는 가정(기본명제)은 시간과 공간이 4차원 시공간을 이룬다는 가정(기본명제)과 별개로 따로 전제해야 한다고 생각합니다.

가령 Lucas, J.R. & Hodgson, P.E. (1990) Spacetime and Electromagnetism: An Essay on the Philosophy of the Special Theory of Relativity. Clarendon Press.에서 전개하는 논리와 비교해 볼 수 있습니다.

상대속도의 덧셈을 $\oplus$로 표기할 때, 다음의 조건을 가정합니다.

(1) 임의의 속도 $u$에 대하여 $$u \oplus 0 = u, \quad 0 \oplus u = u$$ (2) 어떤 보편값 $c$가 있어서 $$u \oplus c = c, \quad c \oplus u = c$$ (3) 결합규칙: $$u \oplus (v \oplus w) = (u \oplus v) \oplus w$$ (4) $u \oplus v$가 연속이고 미분가능할 것
(5) $u \oplus v$가 $u$와 $v$의 증가함수일 것

이 조건들로부터 $$u \oplus v = \frac{ u + v }{1 + \frac{u v}{c^2 }}$$임을 유도할 수 있습니다. 이 유도과정에서 (2)의 가정이 필수적입니다.

시간을 허수축으로 놓는 접근과 광속일정을 기본명제로 선택하는 것 중 어느 것이 더 직관적이고 더 납득이 되는가 하는 문제일 수도 있을 것 같습니다.