약간 전문적인 논의이긴 하지만, 전형적인 물리학 교과서에서 특수상대성이론에서 본 시공간의 기하학적 구조에 대해 요약해 놓은 것을 공유하면 좋으리라는 생각이 들어 옮겨옵니다. 여기에 사용된 용어나 개념을 더 설명할 필요가 있겠습니다만, 문장 자체는 어느 정도 이해될 것 같습니다.

--------------------------------

특수상대성이론에서 본 시공간의 기하학적 구조

Michael Tsamparlis (2010). Special Relativity. Springer. pp. 94-96.

(1) 시공간은 4차원 실수 선형 공간(real linear space)이다.

(2) 시공간은 균질하다(homogeneous). 기하학적 관점에서 이것은 시공간의 모든 점이 좌표계의 원정과 동등하게 사용될 수 있다는 뜻이다. 물리학에서 보자면, 이것은 어떤 실험(즉 사건)이 언제 그리고 어디에서 일어나는지가 그 사건을서술하는 동역학적 변수의 값과 질에 영향을 주지 않는다는 뜻이다.

(3) 시공간에는 직선이 존재한다. 직선은 기하학적으로 $$\mathbf{r} = \mathbf{a}t + \mathbf{b}, \quad t \in \mathbb{R}, \mathbf{a}, \mathbf{b} \in \mathbb{R}^4$$
로 서술되는 유한하지 않은 곡선이다. 물리학의 관점에보면, 이 곡선들은 상대론적 관성운동이라 부르는 물리계의 특수한 운동의 궤적을 나타낸다. 관성운동이 아닌 것은 가속운동이라 부른다.

(4) 시공간은 등방(isotropic)이다. 즉 어느 점에서든 모든 방향이 동등하다. 균질성과 등방성의 가정은 특수상대성이론의 시공간이 평평하다는 것을 의미하며, 이는 곡률이 0이란 말고 동등하다. 실제상의 의미는 어느 하나의 좌표계로 모든시공간을 다 포괄할 수 있다는 것이며, 이는 시공간이 선형공간 $\mathbb{R}^4$과 미분동형임이라는 의미이다.

(5) 시공간은 아핀 공간(affine space)이다. 다시 말해 시공간 안에 어떤 직선이 주어지거나 곡률이 0인 3차원 초곡면이 주어지면, 이 초곡면에 평행한 초곡면이 적어도 하나 존재한다. 여기에서 평행하다는 말은 초곡면이 그 직선이나 초곡면과 무한대에서만 만난다는 뜻이다.

(6) 시공간 안의 직선 하나를 생각하면 이 직선과 단 한번만 만나는 평행한 초곡면들이 연속적으로 존재하며 이 초곡면들은 시공간 전체를 채운다. 이 때 이 초곡면은 시공간을 나누어 꿰맨다(foliate)고 말한다. 시공간 안에 절대적인 직선이있는 것이 아니므로 시공간 나누어 꿰매기는 무한히 많다. 뉴턴 공간에는 절대적인 시간의 직선이 존재하며, 이 나누어꿰매기가 특별하고, 이를 우주적 시간이라 부른다.

(7) 시공간은 거리함수 벡터공간(metric vector space)이다. 

(8) 시공간의 거리함수는 로렌츠 거리함수다. 즉 4차원 실수 공간의 거리함수의 표준 형태는 (−1, 1, 1, 1)이다.