오늘 세미나에서 이야기할 수 있다면 참 좋을 것 같습니다. 장회익 선생님의 자연철학의 관점에서 이 문제를 명쾌하게 설명할 수 있으리라 생각합니다.

시공간 도표를 이용하면, 랑주뱅의 시간여행 역설은 두 개의 관성계를 비교하는 것이 아니라 세 개의 관성계를 비교해야 하는 문제임을 알 수 있습니다.

아래 링크를 참고할 수 있습니다.

https://www.cpp.edu/~ajm/materials/twinparadox.html" target="_blank" rel="noopener">The so-called "Twin Paradox"

이 그림에서는 시간이 수직축이고 공간이 수평축입니다.

어제 온라인 세미나에서는 쌍둥이 사고실험까지 가지 못했지만, 다음 모임에서 이 이야기도 나눌 수 있으리라 생각합니다. 이 자연철학 세미나 게시판에 재작년에 제가 쓴 글이 참고가 될 수 있겠습니다.

쌍둥이 사고실험은 역설일까?

그 글에는 Langevin의 한글 음차표기를 ‘랑주벵’이라고 했는데, 표준 표기는 ‘랑주뱅’입니다.

위의 글의 논리 전개에서 옳지 않은 단계는 “ 우주선 속의 사람의 입장에서 보면 지구의 속도가 (√3/2)배 빠른 것이고, 이 말은 지구의 사람의 심장이 1번 뛸 동안 우주선 속의 사람의 심장이 2번 뛴다는 말이 된다.”입니다. 지구를 떠나 반환점까지 가는 동안에는 이 말이 맞습니다. 그러나 반환점에서 되돌아오는 여정은 원래 지구를 떠나 가던 여정과 비교하여 다른 좌표계(관성계)입니다.

지구에서 멀어져가는 우주선의 속도가 0인 관성계에서 지구는 $-\frac{\sqrt{3}}{2}c$로 움직이는 것이고, 되돌아오는 우주선의 속도가 0이 아니라 $-\frac{4\sqrt{3}}{7}c\approx 0.98974c$가 됩니다. 이 값은 속도의 덧셈공식을 이용하여 계산한 것입니다. $$ u’ = \frac{u+v}{1+\frac{u v}{c^2}} = \frac{-\frac{\sqrt{3}}{2}+ (-\frac{\sqrt{3}}{2})}{1+ \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}=-\frac{\sqrt{3}}{1+\frac{3}{4}}=-\frac{\sqrt{3}}{\frac{7}{4}}=-\frac{4\sqrt{3}}{7} $$

따라서 지구를 떠나 가는 우주선에 비해 돌아오는 우주선의 시간은 감마 인수 $\gamma = 7$이 곱해져서 결국 무려 7배나 ‘심장’이 느리게 뜁니다. 이 숫자는 $$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1- \left(\frac{4 \sqrt{3}}{7}\right)^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{48}{49}}}=\sqrt{49} = 7$$로 계산한 값입니다.

첨부그림을 참조할 수 있습니다. (그림 출처: https://www.cpp.edu/~ajm/materials/twinparadox.html" target="_blank" rel="noopener">https://www.cpp.edu/~ajm/materials/twinparadox.html)

(이어서) 즉 지구를 떠나가는 우주선의 관성계에서 보면 반환점에 도달할 때까지 지구의 시간이 더 느리게 흘러가지만, 반환점부터는 되돌아오는 우주선의 시간이 아주 많이 느려서 결국 되돌아와서 지구에 남아 있던 다른 쌍둥이를 만나면 지구 좌표계에서 본 것과 똑같이 우주선을 타고 다녀온 쌍둥이가 나이를 덜 먹게 됩니다. 이는 정교한 실험으로 확인된 물리적 사실이기도 합니다.

위의 그림을 조금 더 설명할 필요가 있겠습니다. 그림에서는 시간의 축이 세로축이고 공간의 축이 가로축입니다. 시간축의 단위는 ‘년(years)’이고 공간축의 단위는 ‘광년(lightyears, ly)’입니다. 따라서 빛의 세계선은 45도 각도로 그려집니다. 왼쪽의 그림은 지구가 정지해 있는 관성계에서 본 것입니다. 그러면 지구의 세계선은 세로축을 따라 수직으로 올라가는 것이 됩니다. 이와 달리 지구로부터 멀어져 가는 우주선의 세계선은 굵은 검은색 실선으로 약간 오른쪽으로 비스듬히 올라갑니다. 지구와 우주선은 매년 1회씩 신호를 보냅니다. 물론 이 신호는 빛이라서 광속으로 갑니다. 지구에서 우주선으로 쏜 신호는 빨간색으로 나타내고, 우주선에서 지구로 쏜 신호는 파란색으로 나타냈습니다. 흐린 검은색 선분은 지구와 우주선의 동시면입니다. 즉 이 선분으로 이어져 있는 곳은 이 관성계(지구가 정지해 있는 관성계)에서 동시를 나타냅니다.

우주선의 속력은 $v=3/5c$라서 감마 인수의 값은 $$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-(3/5)^2}}=\frac{5}{4}$$가 됩니다. 우주선에서 4년째가 될 때 우주선의 방향을 바꾸어 지구로 귀환합니다. 우주선의 부담을 줄이기 위해서는 반환점이 있는 곳에 우주선이 도착하자마자 그 때의 시간을 미리 준비하고 있던 두 번째 우주선으로 옮기면서 바로 지구를 향해 우주선을 발사한다고 해도 좋습니다.

위의 동시선을 고려하면, 우주선에서 4년째가 될 때 지구는 $\frac{4}{5/4}=3.2$년이 됩니다. 그 다음이 상식을 벗어나는 듯이 보이는데, 지구에서 6.8년이 될 때까지 지구의 시간과 반환점의 시간이 동시가 됩니다. 그래서 결국 두 번째 우주선이 지구에 도착하면 4년이 더 흘러가서 우주선에 탑승했던 쌍둥이에게는 8년이 지난 것이 되는 반면, 지구에 남아 있던 쌍둥이에게는 10년이 지난 것이 됩니다.

같은 상황을 이번에는 떠나가는 우주선이 정지해 있는 관성계에서 바라보는 것이 오른쪽의 그림입니다. 우주선의 세계선은 수직 방향으로 올라가지만, 지구의 세계선은 왼쪽 위로 비스듬히 올라가는 모양이 됩니다. 지구의 속도는 $v’=-(3/5)c$이고 이 때의 감마 인수는 앞의 경우와 마찬가지로 $\gamma = \frac{5}{4}$가 됩니다.

그런데 되돌아오는 우주선의 세계선은 애초에 지구를 떠나가던 우주선이 정지해 있는 관성계에서는 $u=-(15/17)c$가 됩니다. 이 때의 감마 인수는 $\gamma = 17/8$이 되고, 동시를 따지면 여전히 지구에서 3.2년이 지났을 때부터 6.8년이 될 때까지 계속 반환점이 동시가 됩니다. 그리고 최종적으로 지구로 되돌아온 우주선의 쌍둥이가 8살을 더 먹는 동안 지구에 남아 있던 쌍둥이는 10살을 더 먹게 됩니다.

자세한 설명 감사합니다. 프린트해서 다시 자세히 읽어봐야겠습니다. 제 속에 단단한 고정 관념이 여전히 남아 있어서 이해가 어렵나 싶기도 합니다. 즉 지구나 우주선이나 상대적으로 보면 똑 같은 입장이라는 근본적인 고정관념이 있는데 이것이 사실과 어긋나는 정확한 지점이 무엇인지를 파악해야 할 것 같습니다.