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새 자연철학 세미나

삼각함수의 덧셈 공식 증명

자료
상대성이론
작성자
자연사랑
작성일
2022-01-04 03:16
조회
6165

예를 들어 삼각함수의 덧셈공식 $$\tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan \alpha +\tan\beta}{1-\tan\alpha \tan\beta}$$은 아래의 그림을 이용하여 쉽게 유도할 수 있습니다.

(그림 출처: https://commons.wikimedia.org )

위의 그림을 이용하여 삼각함수의 공식을 증명하는 것을 짧게 설명드릴까 합니다. 먼저 아래 쪽의 파란색 삼각형을 보면 왼쪽 아래 각이 '알파'이고 밑변의 길이가 1입니다. 탄젠트라는 삼각비는 (높이 / 밑변)입니다. 따라서 $$\tan \alpha = \frac{\mbox{높이}}{1}$$이므로, $$\mbox{높이} = \mbox{밑변} \times \tan\alpha = \tan\alpha$$가 됩니다. 비슷하게 코사인이라는 삼각비는 (밑변 / 빗변)이므로 $$\cos\alpha = \frac{1}{\mbox{빗변}}$$이고, 따라서 $$\mbox{빗변} = \frac{1}{\cos\alpha}$$가 됩니다. 

이번에는 가운데 있는 살구색 삼각형을 생각하면 왼쪽 아래 각이 베타이고 밑변이 (1 / cos 알파)이므로, 높이는 거기에 (tan 베타)를 곱한 값, 즉 $$\frac{\tan \beta}{\cos \alpha}$$가 됩니다. 

이번에는 오늘쪽 위 귀퉁이의 흰색 삼각형을 생각합니다. 약간 숨어 있긴 하지만 그 아래쪽 각이 알파임을 알아낼 수 있습니다. 파란색 삼각형의 직각을 고려하면, 오른쪽 아래 파란색 삼각형의 윗쪽 각은 (90도 - 알파)임을 알 수 있습니다. 따라서 오른쪽 위 흰색 삼각형의 아랫쪽 각은 {90도 - (90도 - 알파)} = 알파입니다. 그러고 나면 빗변의 길이가 (tan 베타 / cos 알파)이고 각이 알파이므로 $$\mbox{밑변} = \mbox{빗변} \times \cos \alpha = \frac{\tan\beta}{\cos\alpha}\cdot \cos\alpha = \tan\beta$$를 얻습니다. 또 그 흰색 삼각형의 높이는 $$\mbox{밑변} \times \tan\alpha = \tan\alpha \times \tan \beta$$임을 알 수 있습니다.

이제 사각형 전체를 보면 파란색 삼각형과 오른쪽 흰색 삼각형으로부터 왼쪽 흰색 삼각형의 왼쪽 변의 길이가 $$\tan \alpha + \tan \beta$$임을 알 수 있습니다. 아랫쪽 파란색 삼각형의 밑변의 길이가 1이고 오른쪽 위 흰색 삼각형의 밑변의 길이가 $\tan\alpha \times \tan \beta$이므로, 왼쪽 흰색 삼각형의 윗변의 길이는 $$1 - \tan \alpha\times \tan \beta$$가 됩니다. 

그런데 이번에는 윗쪽 흰색 삼각형을 보면 그림에 있듯이 꼭지각이 (알파 + 베타)이므로 [평행선 두 개를 지나는 제3의 직선이 있을 때 소위 '엇각'은 항상 같음을 증명할 수 있습니다.]

$$\tan(\alpha+\beta)=\frac{\mbox{큰 햐얀 삼각형의 높이}}{\mbox{큰 하얀 삼각형의 밑변}}=\frac{\tan \alpha +\tan\beta}{1-\tan\alpha \tan\beta}$$가 증명됩니다.

뺄셈공식 $$\tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan \alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha \tan\beta}$$은 아래의 그림을 이용하여 쉽게 유도할 수 있습니다.

삼각함수의 덧셈공식 $$\sin (\alpha +\beta)=\sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta$$ $$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta -\sin\alpha\sin\beta$$ $$\sin (\alpha -\beta)=\sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta$$ $$\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta +\sin\alpha\sin\beta$$는 아래 그림을 이용하면 간단하게 증명할 수 있습니다.  

(그림 출처: https://commons.wikimedia.org )
덧셈공식과 뺄셈공식은 사실 내용이 같습니다. 뺄샘공식은 삼각함수의 각에 마이너스가 붙을 때 어떻게 되는가만 알면, 덧셈공식에서 바로 얻을 수 있습니다.
예를 들어 $\tan(-\beta)=-\tan\beta$이므로 \begin{align}\tan(\alpha - \beta) &= \tan (\alpha + (-\beta))\\&=\frac{\tan \alpha+\tan(-\beta)}{1- \tan\alpha \tan(-\beta)}\\&=\frac{\tan \alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha \tan\beta}\end{align}입니다. 마찬가지로 $\sin(-\beta)=-\sin\beta$, $\cos(-\beta)=\cos\beta$이므로 \begin{align}\sin (\alpha -\beta)&=\sin (\alpha +(-\beta))\\&=\sin\alpha \cos(-\beta) + \cos\alpha \sin(-\beta)\\&=\sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta\end{align}임을 쉽게 알 수 있습니다.

전체 1

  • 자연사랑 자연사랑
    2024-11-13 09:35

    지난 번 세미나(11월 11일)의 발제자료 중에 삼각함수의 덧셈공식을 유도/증명하는 슬라이드가 포함되어 있었습니다. 이 글에 있는 그림을 이용하면 조금 더 직관적으로(?) 덧셈공식을 증명할 수 있습니다. 위의 그림 중 탄젠트 함수의 뺄셈공식 유도에 사용되는 그림은 neomay33님이 그려주셨습니다.


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[질문] 언어 상대성, 문학에서의 상대성, 생물학적 상대성이론 »
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삼각함수의 미분을 더 쉽게 직관적으로 이해할 수 있도록 도와주는 영상이 https://youtu.be/ S0_qX4VJhMQ?t=757 에 있습니다.
2025.06.16
케플러의 법칙([양자역학을 어떻게 이해할까?] 75쪽)에 대한 더 상세한 이야기가 "케플러의 법칙과 뉴턴의 증명"에 있습니다. 또 같은 페이지에 케플러의 법칙을 고전역학에서 유도하는 과정에 대해 언급하고 있는데, 이와 관련한 내용을 "케플러 문제의 간단한 풀이"에 상세하게 해설해 두었습니다. 약간 성격이 다르긴 하지만, 미국의 물리학자 리처드 파인만의 1964년 강의가 연관됩니다. 그 내용을 "태양 주변의 행성의 운동 (리처드 파인만의 강의)"에서 소개했습니다.
2025.06.16
'낙하의 문제'([양자역학을 어떻게 이해할까?] 62-64쪽)와 관련하여 이전에 쓴 글 "천원지방, 갈릴레오, 뉴턴, 여헌 장현광"이 참고가 될 수 있겠습니다. 특히 70쪽에 소개 되어 있는, 물체를 수평으로 던질 때 그리는 궤적을 구하는 문제는 갈릴레오가 1638년의 저서 [새로운 두 과학](Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze)에서 처음으로 상세하게 해명하여 과학사에서 매우 중요한 성취로 여겨지고 있습니다. https://en.wikipedia.org/wiki/Two_New_Sciences
2025.06.15
우와! 자세한 자료, 설명들 감사드립니다! 열심히 읽어보겠습니다.
2025.06.09
1. 변별체의 존재 양상에 대해서는 앞으로도 공부할 거리가 많은 것 같습니다. 어쩌면 제가 바로 위의 답글에 쓴 물의 온도를 재는 상황이 도움이 될 수도 있겠습니다. 저는 장회익 선생님의 '변별체' 개념이 물리학에서 말하는 측정장치 개념에서 군더더기를 걷어내고 가장 핵심적인 부분을 요약하여 추상화한 것이라고 생각합니다. 직관적으로는 모종의 측정장치를 염두에 두면 이해가 더 쉬웠던 것 같습니다. 입자물리학에서는 매우 다양한 측정장치 또는 검출장치를 사용합니다. 장회익 선생님께서 세미나에서 인용하신 안개상자(cloud chamber)나 거품상자(bubble chamber)가 전형적인 예입니다. 겹실틈 실험에서 사용하는 사진건판도 변별체입니다. https://en.wikipedia.org/wiki/Cloud_chamber https://en.wikipedia.org/wiki/Bubble_chamber 하지만 변별체가 측정장치/검출장치와 동의어는 아닙니다. 변별체는 물리적 작용을 통해 뭔가 흔적을 남길 수 있어야 하지만, 또 동시에 그것을 읽어내서 인식주체의 경험표상영역에 기록되어야 합니다. 그래서 변별체는 대상과 인식주체 사이에 놓인 가교 내지 창문의 역할을 합니다. (제가 장회익 선생님의 제안을 온전히 이해하고 있는 것은 아닙니다.) 아래 사진은 거품상자에서 기본입자가 만들어내는 궤적을 사진으로 찍은 것입니다. [사진 출처: pinterest]
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