예를 들어 삼각함수의 덧셈공식 $$\tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan \alpha +\tan\beta}{1-\tan\alpha \tan\beta}$$은 아래의 그림을 이용하여 쉽게 유도할 수 있습니다.

(그림 출처: https://commons.wikimedia.org )

위의 그림을 이용하여 삼각함수의 공식을 증명하는 것을 짧게 설명드릴까 합니다. 먼저 아래 쪽의 파란색 삼각형을 보면 왼쪽 아래 각이 '알파'이고 밑변의 길이가 1입니다. 탄젠트라는 삼각비는 (높이 / 밑변)입니다. 따라서 $$\tan \alpha = \frac{\mbox{높이}}{1}$$이므로, $$\mbox{높이} = \mbox{밑변} \times \tan\alpha = \tan\alpha$$가 됩니다. 비슷하게 코사인이라는 삼각비는 (밑변 / 빗변)이므로 $$\cos\alpha = \frac{1}{\mbox{빗변}}$$이고, 따라서 $$\mbox{빗변} = \frac{1}{\cos\alpha}$$가 됩니다. 

이번에는 가운데 있는 살구색 삼각형을 생각하면 왼쪽 아래 각이 베타이고 밑변이 (1 / cos 알파)이므로, 높이는 거기에 (tan 베타)를 곱한 값, 즉 $$\frac{\tan \beta}{\cos \alpha}$$가 됩니다. 

이번에는 오늘쪽 위 귀퉁이의 흰색 삼각형을 생각합니다. 약간 숨어 있긴 하지만 그 아래쪽 각이 알파임을 알아낼 수 있습니다. 파란색 삼각형의 직각을 고려하면, 오른쪽 아래 파란색 삼각형의 윗쪽 각은 (90도 - 알파)임을 알 수 있습니다. 따라서 오른쪽 위 흰색 삼각형의 아랫쪽 각은 {90도 - (90도 - 알파)} = 알파입니다. 그러고 나면 빗변의 길이가 (tan 베타 / cos 알파)이고 각이 알파이므로 $$\mbox{밑변} = \mbox{빗변} \times \cos \alpha = \frac{\tan\beta}{\cos\alpha}\cdot \cos\alpha = \tan\beta$$를 얻습니다. 또 그 흰색 삼각형의 높이는 $$\mbox{밑변} \times \tan\alpha = \tan\alpha \times \tan \beta$$임을 알 수 있습니다.

이제 사각형 전체를 보면 파란색 삼각형과 오른쪽 흰색 삼각형으로부터 왼쪽 흰색 삼각형의 왼쪽 변의 길이가 $$\tan \alpha + \tan \beta$$임을 알 수 있습니다. 아랫쪽 파란색 삼각형의 밑변의 길이가 1이고 오른쪽 위 흰색 삼각형의 밑변의 길이가 $\tan\alpha \times \tan \beta$이므로, 왼쪽 흰색 삼각형의 윗변의 길이는 $$1 - \tan \alpha\times \tan \beta$$가 됩니다. 

그런데 이번에는 윗쪽 흰색 삼각형을 보면 그림에 있듯이 꼭지각이 (알파 + 베타)이므로 [평행선 두 개를 지나는 제3의 직선이 있을 때 소위 '엇각'은 항상 같음을 증명할 수 있습니다.]

$$\tan(\alpha+\beta)=\frac{\mbox{큰 햐얀 삼각형의 높이}}{\mbox{큰 하얀 삼각형의 밑변}}=\frac{\tan \alpha +\tan\beta}{1-\tan\alpha \tan\beta}$$가 증명됩니다.

뺄셈공식 $$\tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan \alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha \tan\beta}$$은 아래의 그림을 이용하여 쉽게 유도할 수 있습니다.

삼각함수의 덧셈공식 $$\sin (\alpha +\beta)=\sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta$$ $$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta -\sin\alpha\sin\beta$$ $$\sin (\alpha -\beta)=\sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta$$ $$\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta +\sin\alpha\sin\beta$$는 아래 그림을 이용하면 간단하게 증명할 수 있습니다.  

(그림 출처: https://commons.wikimedia.org )

덧셈공식과 뺄셈공식은 사실 내용이 같습니다. 뺄샘공식은 삼각함수의 각에 마이너스가 붙을 때 어떻게 되는가만 알면, 덧셈공식에서 바로 얻을 수 있습니다.

예를 들어 $\tan(-\beta)=-\tan\beta$이므로 \begin{align}\tan(\alpha - \beta) &= \tan (\alpha + (-\beta))\\&=\frac{\tan \alpha+\tan(-\beta)}{1- \tan\alpha \tan(-\beta)}\\&=\frac{\tan \alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha \tan\beta}\end{align}입니다. 마찬가지로 $\sin(-\beta)=-\sin\beta$, $\cos(-\beta)=\cos\beta$이므로 \begin{align}\sin (\alpha -\beta)&=\sin (\alpha +(-\beta))\\&=\sin\alpha \cos(-\beta) + \cos\alpha \sin(-\beta)\\&=\sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta\end{align}임을 쉽게 알 수 있습니다.