(1) 해밀턴 역학

여기에서 제가 정리해 둔 것은 교과서에는 잘 나오지 않는 방식으로서, 해밀턴 방정식을 이용하는 것입니다. 장회익 선생님께서 고전역학의  핵심을 $$\frac{dp}{dt}=F$$ 즉 힘이 주어지면 상태를 나타나내는 ‘좌표’로서 운동량이 변화한다는 것으로 요약하셨는데, 조금 더 엄밀한 규정은 상태를 $(q, p)$ 즉 위치와 운동량이라는 ‘좌표’로 나타내고 이것이 어떻게 변화하는지 말해 주는 해밀턴 방정식을 풀어내는 것입니다. 

해밀턴 역학은 여하간 대상의 동역학적 특성을 해밀터니언 함수로 나타낸 뒤, 그 해밀터니언 함수로부터 상태의 변화규칙을 얻어내려는 것입니다.

동역학적 특성이 해밀터니언 함수 $H(q, p)$로 주어질 때 상태의 변화를 규정하는 식은 $$\frac{dq}{dt} = \frac{\partial H}{\partial p}, \quad \frac{dp}{dt}=-\frac{\partial H}{\partial q}$$입니다.
이 형식체계의 강점은 해밀터니언 함수만 찾아내면 뒤의 과정이 비교적 단순하게 진행된다는 데 있습니다.

만일 $$H (q, p) = \frac{p^2}{2m} + V(q)$$라면, 위의 해밀턴 방정식은 $$\frac{dq}{dt}
= \frac{\partial H}{\partial p}=\frac{p}{m}, \quad \frac{dp}{dt}=-\frac{\partial H} {\partial q}  =-\frac{dV}{dq} \equiv F$$가 되어 더 간단한 모양 $$\frac{dp}{dt}=F$$와 일치합니다.

장회익 선생님의 서술에서는 $$p=mv$$가 '정의'로 되어 있습니다(112쪽). 해밀턴의 서술에서는 이 관계도 상태변화 법칙의 일부입니다. 위에서 $$\frac{dq}{dt}=v$$이기 때문입니다.

(2) 해밀터니언 함수의 정체

아일랜드의 수학자 윌리엄 로원 해밀턴이 뉴턴 역학을 새로운 형식체계로 일반화하여 발표한 것은 1834년입니다. 이미 알려져 있던 라그랑주의 형식체계보다 더 세련된 형식체계를 제시하려던 것이었습니다.

William Rowan Hamilton (1834). On a General Method in Dynamics; by which the Study of the Motions of all free Systems of attracting or repelling Points is reduced to the Search and Differentiation of one central Relation, or characteristic Function. [Philosophical  Transactions of the Royal Society, part II for 1834, pp. 247–308.] 

William Rowan Hamilton (1835). Second Essay on a General Method in Dynamics. [Philosophical Transactions of the Royal Society, part I for 1835, pp. 95–144.]

해밀턴이 발표한 논문의 제목을 꼼꼼하게 보는 것이 유익합니다.

"서로 당기거나 밀치는 점들의 모든 자유로운 계의 운동의 탐구를 하나의 중심 관계 또는 특성함수를 구하고 미분하는 것으로 환원할 수 있는 동역학의 일반적 방법에 관하여"

기존의 동역학 서술을 특별한 성질을 지니는 '특성함수(characteristic function)'를 구하고 이를 '미분'하는 것으로 바꿔치기할 수 있다는 겁니다. 바로 이 함수를 지금은 '해밀터니언 함수'라고 부릅니다.

아직 열역학의 첫째 법칙에 해당하는 에너지 보존법칙도 발표되기 전이었습니다. 독일의 의사 율리우스 로베르트 폰마이어(Julius Robert von Mayer 1814-1878)가 <무생물 자연의 힘에 관한 고찰 (Bemerkungen über die Kräfte der unbelebten Natur)>에서 자연에 존재하는 힘들은 서로 형태를 바꿀 수 있으나 그 총량은 일정하다는 주장을 담은 것이 1842년이었고, 헤르만 헬름홀츠(Hermann Helmholtz 1822-1888)는 “힘의 보존에 관하여”(Über die Erhaltung der Kraft)에서 ‘힘’(즉 에너지)의 보존법칙을 확립한 것이 1847년이었습니다.

그러나 이후 해밀턴이 제안한 '특성함수'가 역학적 에너지와 같은 형태임이 드러납니다. 물론 이 논문에서도 '활력(living force)' 즉 라이프니츠의 '비스 비바(vis viva)'가 나오고 해밀턴이 '힘 함수(force function)'라 부르는 것이 나옵니다. '활력'을 $T$라 쓰고 힘 함수를 $U$라고 쓴 뒤, $H=T-U$가 자신이 찾는 특성함수라고 말합니다.

지금의 용어와 개념을 쓰면, '힘 함수'는 '위치 에너지' $V$에 마이너스를 붙인 것에 해당하기 때문에, 결국 $$H = T+ V$$가 됩니다. 여기에서 운동에너지는 라이프니츠 이래 질량과 속도제곱을 곱한 것으로 정의해 왔지만, 해밀턴은 상태를 나타내기 위해 위치와 속도가 아니라 위치와 운동량이 더 적합함을 주장합니다.

운동에너지는 $T= \frac{1}{2}m v^2$인데, 운동량은 $p=mv$이므로 결국 $T= \frac{p^2}{2m}$이 되고, 따라서 해밀터니안 (특성)함수는 $$H = \frac{p^2}{2m} + V$$가 됩니다. 위치 에너지는 위치에 따라 달라지는 에너지로서 그 독립변수를 흔히 $q$로 씁니다. 공간 위치 좌표 $(x, y, z)$를 쓸 수도 있지만, 데카르트 직각좌표계를 쓰지 않아도 되고, 사실상 아무 좌표나 쓸 수 있기 때문입니다. 예를 들어 구면좌표계에서는 $(r, \theta, \varphi)$와 같은 좌표를 쓸 수도 있는데, 이런 것이 모두 $q$입니다.  대개 해밀터니언 함수는 운동에너지와 위치에너지의 합으로 주어지며, 그 변수는 $(q, p)$ 즉 위치와 운동량입니다. 이 해밀터니언 함수의 모양에는 언제나 반드시 상태를 나타내는 '변수' 또는 '좌표' $(q, p)$가 들어가야 합니다. 

요약하면 해밀터니언은 대개 $$H(q, p) = \frac{p^2}{2m} + V(q)$$로 주어집니다. 만일 공간의 차원이 늘어난다거나 '자유도'가 늘어나면 거기에 따라 새로 번호를 붙여준 뒤 모두 더하면 됩니다. 가령 공간 차원이 2차원이라면 $$H(q_1 , q_1 , p_1 , p_2 )=  \frac{p_1 ^2}{2m} + \frac{p_2 ^2}{2m} + V(q_1 , q_2)$$가 됩니다. 물체가 두 개가 될 수도 있습니다. $$H(q_1 , q_1 , p_1 , p_2 )=  \frac{p_1 ^2}{2m_1} + \frac{p_2 ^2}{2m_2} + V(q_1 , q_2)$$

앞의 경우는 $q_1 = x$, $q_2=y$와 같이 공간 방향의 두 좌표를 가리키지만, 뒤의 경우은 각각 첫 번째 물체의 위치와 두 번째 물체의 위치가 되어 그 의미가 다릅니다. 그러나 수학적 형식체계로 보면 물체가 두 개가 되는 것이나 공간 차원이 2차원이 되는 것이나 마찬가지로 쓸 수 있습니다. 이와 같이 '자유도'가 늘어나면 그 때의 해밀터니언 함수는 부분적인 것을 모두 더해주면 됩니다.  $$H(q_1 , \cdots, q_N , p_1 , \cdots, p_N )=  \frac{p_1 ^2}{2m_1} + \cdots + \frac{p_N ^2}{2m_N} + V(q_1 , \cdots, q_N) $$ 합의 기호로 표현하면 $$H(q_1 , \cdots, q_N , p_1 , \cdots, p_N )= \sum_{i=1}^{N} \frac{p_i ^2}{2m_i} + V(q_1 , \cdots, q_N) $$가 됩니다.

고전역학의 경우에는 앞부분에 해당하는 운동에너지가 모두 $$T=\frac{p^2}{2m}$$의 꼴이 됩니다. 상대성이론으로 가면 이 모양이 $$T=\sqrt{p^2 c^2 + m^2 c^4} - m c^2$$로 달라집니다.

(3) 상태공간과 위상공간

상태의 변화는 특정 시간의 위치와 운동량이 시간이 흐름에 따라 어떻게 달라지는가 하는 것입니다. 위치와 운동량으로 이루어진 추상화된 수학적 공간을 생각하면, 상태의 변화는 이 수학적 공간에서 일종의 곡선을 그리며 움직입니다. 이 수학적 공간을 위상공간(phase space)이라 부릅니다. 이 개념 자체는 해밀턴이 도입한 것은 아닙니다. 해밀턴의 이론을 더 발전시킨 독일의 수학자 야코비가 이것을 더 다듬었고 19세기 말에 오스트리아의 물리학자 루트비히 볼츠만과 미국의 물리학자 조사이어 윌러드 깁즈가 통계역학을 위해 관련된 논의를 도입했지만, 문헌상으로 ‘위상공간’이란 용어가 처음 등장한 것은 파울 에렌페스트와 타챠나 에렌페스트가 1911년에 쓴 통계역학에 관한 백과사전 항목에서였습니다. 지금은 널리 사용되는 기본 용어가 되었습니다.

가령 용수철 끝에 매달린 물체의 운동은 위상공간에서 타원 모양을 그립니다.

(그림 출처: Hamiltonian Flow Fields )

조금 더 복잡한 경우는 아래와 같은 모양이 될 수도 있습니다.

 (그림출처: https://blog.oup.com/2018/09/the-flow-of-physics/ )

카오스 이론에서 유명한 로렌즈 끌개도 위상공간에서 상태의 변화를 나타낸 그림입니다.

(그림 출처: pinterest.com )

(4) 수직 방향의 자유낙하 (사과는 어떻게 떨어지는가?)

동역학적 특성(해밀터니언 함수)이 $$H(x, p)= \frac{p^2}{2m}+mgx$$로 주어진다면, 상태를 나타내는 '좌표' $(x, p)$ 이외의 맺음변수(파라미터 parameter)인 $m$, $g$가 동역학적 특성이 됩니다. 맺음변수 또는 파라미터는 매개변수라고도 합니다.

해밀터니언 함수를 '특성 함수(characteristic function)'이라 부른다면, 기본적인 형태에서 $m$의 값이나 $V(q)$가 달라질 수 있으므로, 이것이 대상에 대한 '특성'이 됩니다. 위치 에너지 $V(q)$를 알면 $F=-\frac{dV(q)}{dq}$와 같이 힘을 구할 수 있습니다.

수직 방향의 자유낙하에서는 위치에너지가 $V(x) = mgx$가 되는데, 이 때 힘은 $$F = -\frac{d}{dx} mgx = -mg$$가 됩니다.

이제 해밀터니언 함수를 곧이곧대로 해밀턴 방정식에 넣으면 $$\frac{dx}{dt}=\frac{\partial H}{\partial p} = \frac{p}{m} , \quad \frac{dp}{dt} = -\frac{\partial H}{\partial x} = - mg$$입니다.

결국 풀어야 할 미분방정식이 $$ \frac{dx}{dt}=\frac{p}{m} , \quad \frac{dp}{dt}=-mg$$가 됩니다. 이것을 푼다는 말의 의미는 이 수식을 충족시키는 두 개의 함수 $x(t)$와 $p(t)$를 함수의 표현이나 그래프 등으로 찾아낸다는 말입니다. 다행히 함수의 표현을 찾을 수 있으면 좋겠지만, 그렇지 않더라도 컴퓨터를 이용하면 구하려는 함수의 모양을 그릴 수도 있습니다. 후자의 방식을 '수치해석'이라 부릅니다.

이 경우는 단순해서 뒤의 방정식을 적분하여 풀어서 $p(t)$를 구할 수 있으면, 앞의 식을 적분하여 $x(t)$를 구할 수 있음을 알 수 있습니다. 적분은 도함수가 주어질 때 원래의 함수를 찾는 방법이고, 이것은 다소 기계적인 과정입니다. 요즘은 Wolfram Alpha (https://www.wolframalpha.com/)와 같은 곳에서 매우 손쉽게 적분을 할 수 있습니다.

그런데 적분을 하면 항상 적분상수가 따라 나옵니다. 모르는 함수가 두 개 있고 미분이 한번만 나오므로, 적분상수는 두 개가 됩니다. 이를 각각 처음 위치 $x_0$, 처음 운동량 $p_0$라 부릅니다. <장회익의 자연철학 강의> 113쪽의 (2-2)식이 그것입니다. 이 값은 풀고자 하는 문제 즉 상황에 따라 얼마든지 다르게 선택할 수 있습니다. 

(5) 용수철 끝에 매달린 물체의 운동

용수철 끝에 매달린 물체의 동역학적 특성(해밀터니언 함수)이 $$H(x, p)= \frac{p^2}{2m}+\frac{1}{2}k x^2$$로 주어집니다. 맺음변수(파라미터)가 $m$과 $k$인데, 각각 용수철 끝에 매달린 물체의 질량과 용수철 계수를 의미합니다. 이 수식 표현만으로 용수철의 질량이나 길이나 색깔이나 모양을 고려하지 않는다는 것을 알 수 있습니다. 하지만 굳이 원한다면 그런 것도 이 해밀터니언 함수 안에 넣을 수 있습니다.

이제 이 해밀터니언 함수를 해밀턴 방정식에 넣으면, $$\frac{dx}{dt}=\frac{\partial H}{\partial p} = \frac{p}{m} , \quad \frac{dp}{dt} = -\frac{\partial H}{\partial x} = - kx$$를 얻습니다.

<장회익의 자연철학 강의> 115-117쪽에서는 이 두 미분방정식으로부터 이계도함수(미분을 두 번 한 것)의 관계를 찾은 뒤, 그 풀이로서 삼각함수를 이용하고 있습니다. 해밀턴 방정식과 같이 두 개의 함수로 나누어 살피는 것도 결국은 그 풀이방법을 약간 변화시킨 것에 불과합니다.

조금 더 일반적인 방식을 소개하면, 여하간 두 함수 $x(t)$, $p(t)$를 구하는 것이 목표이니까, 이를 특별한 지수함수 $e^{b t}$ ($b$는 아직 정해지지 않은 계수)를 이용해서 표현합니다. 이 함수는 매우 특이한 성질을 지녔는데, 미분하면 자기 자신이 됩니다. $$ \frac{d}{dt} e^{b t} = b e^{b t}$$ 여기에서 $b$는 $t$와 무관한 계수입니다. 이 특이한 지수함수를 다항식으로 나타내면 다음과 같습니다. $$e^t = 1 + t + \frac{1}{2}t^2 + \frac{1}{1\cdot 2\cdot 3} t^3 + \frac{1}{1\cdot 2\cdot 3 \cdot 4} t^4 + \cdots + \frac{1}{1\cdot 2 \cdot 3 \cdots n} t^n + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}t^n $$

위의 계수 $b$가 허수가 되면 유명한 오일러의 공식을 써서 삼각함수로 바꿀 수 있습니다.  $$e^{i t} = \cos t + i \sin t$$ (더 상세한 것은 <장회익의 자연철학 강의> 582-583쪽 참조)

우리가 풀어야 할 미분방정식은 $$ \frac{dx}{dt}= \frac{p}{m} , \quad \frac{dp}{dt} = - kx$$입니다. 이제 $$x(t) = A e^{b t}$$라 놓으면, 앞의 식으로부터 $$ b A e^{b t} = \frac{p(t)}{m}$$이므로 $$p(t)= m b A e^{b t}$$가 되며, 이를 다시 미분방정식의 두 번째에 넣으면 $$\frac{d p(t)}{d t} = m b A \frac{d}{dt} e^{b t} = m b^2 A e^{b t} = - k A e^{b t}$$가 되므로, $$m b^2 = - k$$를 얻습니다.

물체의 질량과 용수철 계수가 음수가 될 수는 없기 때문에 $b$ 대신 $b=i b'$이라고 놓으면, $$ {b' }^2 = \frac{k}{m}$$을 얻습니다. 따라서 $$b' = \pm\sqrt{\frac{k}{m}}$$가 됩니다. 식을 간단하게 하기 위해 $$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$$이라 하면 $b' = \pm \omega$가 되고, 결국 $$b = \pm i \omega$$를 얻습니다.

이제까지 계산한 것을 모으면 $$ x(t) = A e^{i \omega t} + B e^{ -i \omega t} = A' \cos\omega t + B' \sin\omega t$$입니다. 이 식에서 $t=0$일 때 $x(t)$가 최대가 된다고 하면, $B'=0$이라 해도 됩니다. 이 최대값을 $x_0$라 부르면, $$x(t) = x_0 \cos\omega t , \quad p(t) = -m \omega x_0 \sin\omega t$$를 얻습니다.

$\cos^2 \theta + \sin^2 \theta =1$이므로, 이 표현으로부터 $$\frac{x^2}{x_0 ^2} + \frac{p^2}{(m\omega x_0)^2}=1$$을 얻을 수 있는데, 이것은 위상공간에서 상태의 변화가 타원 모양이 됨을 말해 줍니다.

(6) 케플러 문제

케플러 문제는 동역학적 특성 즉 해밀터니안이 $$H (r, \theta, p_r, p_\theta) = \frac{p_r ^2}{2m} + \frac{p_\theta^2}{2mr^2} - \frac{GMm}{r}$$인 경우입니다.

케플러 문제는 앞에서 상세하게 설명했기 때문에, 여기에서는 운동에너지가 왜 그런 모양이 되는가만 밝히면 됩니다.

극좌표계에서는 속도의 성분이 $$(\dot r , r \dot \theta)$$로 주어짐을 보이고, 이에 따라 운동량이 $$p_r = m \dot{r}, \quad p_\theta= m r^2 \dot{\theta}$$임을 보일 수 있습니다.  그러면 $$ T = \frac{1}{2}m\left( \dot{r}^2 + (r \dot{\theta})^2 \right) = \frac{p_r ^2}{2m} + \frac{p_\theta^2}{2mr^2} $$임을 알 수 있습니다.

극좌표계는 $$x = r \cos\theta , \quad y=r\sin\theta$$로 정의되므로,
 $$\dot{x}^2 + \dot{y}^2 = (\dot r \cos\theta - r \dot{\theta} \sin\theta )^2 + (\dot{r} \sin\theta + r\dot{\theta}\cos\theta)^2 =\dot{r}^2+ r^2 \dot{\theta}^2$$임을 이용할 수도 있습니다.