(1) 해밀턴 역학

여기에 제가 정리해 둔 것은 교과서에는 잘 나오지 않는 방식으로서, 해밀턴 방정식을 이용하는 것입니다. 장회익 선생님께서 고전역학의 핵심을 $\frac{dp}{dt}=F$,  $p=mv$ 즉 힘이 주어지면 상태를 나타나내는 ‘좌표’로서 운동량이 변화한다는 것으로 요약하셨는데, 조금 더 엄밀한 규정은 상태를 $(q, p)$ 즉 위치와 운동량이라는 ‘좌표’로 나타내고 이것이 어떻게 변화하는지 말해 주는 해밀턴 방정식을 풀어내는 것입니다. 

해밀턴 역학은 여하간 대상의 동역학적 특성을 해밀터니언 함수로 나타낸 뒤, 그 해밀터니언 함수로부터 상태의 변화규칙을 얻어내려는 것입니다.

해밀터니언 함수가 $H(q, p)$로 주어질 때 상태의 변화를 규정하는 식은 $$\frac{dq}{dt} = \frac{\partial H}{\partial p}, \quad \frac{dp}{dt}=-\frac{\partial H}{\partial q}$$입니다. 이 형식체계의 강점은 해밀터니언 함수만 찾아내면 뒤의 과정이 비교적 단순하게 진행된다는 데 있습니다.

만일 $$H (q, p) = \frac{p^2}{2m} + V(q)$$라면, 위의 해밀턴 방정식은 $$\frac{dq}{dt} = \frac{\partial H}{\partial p}=\frac{p}{m}, \quad \frac{dp}{dt}=-\frac{\partial H} {\partial q}  =-\frac{dV}{dq} \equiv F$$가 되어 더 간단한 모양 $$\frac{dp}{dt}=F , \quad p=mv$$와 일치합니다.

(2) 중심력 문제의 특수성

뉴턴의 보편중력은 뉴턴의 용어로 '구심력 centripetal force', 요즘 용어로 '중심력 central force'이라 부르는 것의 일종입니다. 두 물체를 연결하는 직선 방향으로만 작용하는 것으로 정의합니다. 따라서 원론적으로 1차원입니다. 하지만 물체의 운동 자체는 2차원이나 3차원으로 얼마든지 확장할 수 있습니다. 그런데 이렇게 3차원을 고려하게 되면, 위치 변수 3개와 운동량 변수 3개를 합하여 6개의 변수가 되고, 또 물체가 두 개이니 결국 12개의 함수에 대한 매우 복잡하고 지저분한 연립미분방정식을 풀어야 하므로 너무 잡다해집니다.

다행히 중심력에 대해 뉴턴이 처음 증명했고 지금은 대학 1학년 초급물리학 교과서에도 설명되어 있는 두 가지가 있습니다. (상세한 것은 가령 https://en.wikipedia.org/wiki/Two-body_problem 참조)

먼저, 중심력만 있다면, 두 물체의 운동을 움직이지 않는 고정점(중심)과 그 주위에서의 운동으로 바꿀 수 있습니다. 이를 2체 문제를 1체 문제로 환원한다고 합니다. 두 물체의 상호작용인데 마치 하나의 물체만 있는 것처럼 문제를 쉽게 바꾸는 겁니다. 풀어내야 할 함수의 수(흔히 자유도라고 합니다)가 절반으로 줄어듭니다. 자유도는 상태를 나타내는 좌표의 갯수와 직접 관련되기도 합니다.

또 중심력만 있는 경우에는 각운동량이라 부르는 특별한 물리량이 반드시 보존되는 것을 증명할 수 있습니다. 흔히 피겨스케이팅 선수를 예로 많이 들죠. 팔을 벌리고 있다가 좁히면 회전속도가 빨라지는 것이 바로 각운동량 보존의 전형적인 예입니다. 그런데 여기에서 각운동량이 크기만이 아니라 방향도 보존되기 때문에, 각운동량의 보존은 곧 운동이 어느 한 2차원 평면에 갇힌다는 것을 의미합니다. 

따라서 중심력만 있다면 3차원 운동을 고려할 필요가 없고 어느 평면에 갇힌 것만 고려하면 됩니다. 맨 처음에 두 물체가 서로 당기고 있지 않고 다른 방향으로 움직이고 있다면, 서로에 대해 회전하는 것이 가능합니다. 위에서 말한 것처럼 1체 문제로 환원했다면, 움직이는 물체(행성)가 일정한 평면 안에서 돌고 있다고 말해도 됩니다.

(그림 출처: https://www.nationalgeographic.org/media/orbital-plane/ )

(3) 극좌표계의 도입

중심력 문제에서는 $(x, y)$와 같은 데카르트 직교좌표계가 불편합니다. 대신 중심으로부터의 거리와 일정한 방향으로부터 시계방향으로 잰 각 $(r, \theta)$으로 이루어진 극좌표계가 편리합니다.

(그림 출처: https://mathworld.wolfram.com/PolarCoordinates.html )

두 좌표계의 관계는 $$ x = r \cos\theta , \quad y=r\sin\theta$$ $$ r=\sqrt{x^2+y^2} , \quad \theta = \tan^{-1}\frac{y}{x}$$로 주어집니다.

(4) 상태변화의 방정식

케플러 문제는 그 중심력이 거리의 제곱에 반비례하는 힘일 때 운동을 결정하여 케플러의 법칙 세 가지를 유도하는 것입니다.

해밀터니언 함수를 이용하여 케플러 문제를 풀어보겠습니다.

해밀터니언 함수의 의미와 케플러 문제의 경우에 이를 구하는 과정이 "해밀터니언 특성함수의 소개"라는 제목의 글에 어느 정도 상세하게 설명되어 있습니다.

케플러 문제는 해밀터니언 함수가
$$H = \frac{1}{2m}\left(p_r ^2 + \frac{p_\theta ^2 }{r^2}\right) - \frac{GMm}{r}$$로 주어지는 문제입니다. 여기에서 상태는 $(r, \theta, p_r, p_\theta)$ 이렇게 네 개의 좌표로 서술됩니다. 상태 변화의 규칙으로서 해밀턴 방정식을 그대로 쓰면
$$\frac{dr}{dt}=\frac{\partial H}{\partial p_r}=\frac{p_r}{m}$$ $$\frac{d\theta}{dt}=\frac{\partial H}{\partial p_\theta} = \frac{p_\theta}{mr^2}$$ $$\frac{d p_r}{dt}=-\frac{\partial H}{\partial r}=\frac{p_\theta ^2}{m}\frac{1}{r^3} - \frac{GMm}{r^2}$$ $$\frac{d p_\theta}{dt}= - \frac{\partial H}{\partial \theta} = 0$$을 얻습니다. 이 중 마지막 식은 $p_\theta = \mathrm{const.}$를 의미하므로 $$p_\theta =: m h$$라 놓을 수 있습니다. 보기 좋게 정리하면 $$p_r = m \dot{r}$$ $$p_\theta=mr^2 \dot{\theta} = mh$$ $$m\ddot{r}=\frac{p_\theta ^2}{m}\frac{1}{r^3} - \frac{GMm}{r^2}$$

여기에서 $$\dot{r}=\frac{dr}{dt}, \quad \dot{\theta}=\frac{d\theta}{dt} , \quad \ddot{r}=\frac{d^2 r}{dt^2}$$입니다. 분수 모양의 도함수가 자주 나오면 너무 복잡해 보여서 시간 미분은 흔히 이렇게 문자 위에 점을 찍어서 나타냅니다. 점 하나는 한번 미분한 일계도함수이고 점 둘은 두번 미분한 이계도함수입니다. 점을 찍는 것은 시간에 대한 미분으로 거의 통일되어 있습니다. 위치나 다른 변수로 미분한 것은 가령 $u’(\theta)=\frac{du}{d\theta}$와 같이 프라임 기호로 나타내곤 합니다.

두 번째 식으로부터 $$h=r^2 \dot{\theta}$$이고 이를 셋째 식에 넣어 정리하면 $$m \ddot{r}=\frac{mh^2}{r^3}- \frac{GMm}{r^2}$$를 얻습니다. 이 식을 잘 들여다보면 왼쪽은 질량과 가속도의 곱이라서 상태의 변화를 나타냅니다. 오른쪽은 두 번째 항이 보편중력(만유인력)인데, 맨 처음에 행성이 어찌어찌 공전하기 시작한 것이 첫 번째 항에 녹아들어서 일종의 힘처럼 작용하는 것을 볼 수 있습니다.

$GM=k$라 놓고 정리하면 $$\ddot{r} = \frac{h^2}{r^3} - \frac{k}{r^2}$$가 됩니다. 이것이 우리가 풀어내야 할 상태변화의 규칙이자 운동방정식입니다.

(5) 행성의 궤적 구하기: 케플러 첫째 법칙

궤적을 구하기 위해서는 $r (\theta)$의 함수 모양을 알아내야 합니다. 분수가 많아서 불편하니까 $\frac{1}{r}=u$라 정의한 새로운 변수를 도입합니다.

미분의 연쇄규칙을 이용하면 $$ \dot{u}=\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{r}\right)=\frac{dr}{dt}\frac{d}{dr}\left(\frac{1}{r}\right) = \dot{r}\frac{d}{dr} r^{-1} = \dot{r} (-1)r^{-2} =-\frac{1}{r^2} \dot{r}$$ 또는$$ \dot{r}=-r^2 \dot{u} = - h \frac{\dot{u}}{\dot{\theta}} = - h \frac{\frac{du}{dt}}{\frac{d\theta}{dt}}= - h\frac{du}{d\theta}$$를 얻습니다. 두 번째 등호에서 $h= r^2 \dot{\theta}$임을 이용했습니다.

그리고 이 식을 $t$로 미분하면 $$\ddot{r}=-h \frac{d}{dt}\frac{du}{d\theta} = -h\left(h u^2 \frac{d}{d\theta}\right) \frac{du}{d\theta}=-h^2 u^2 \frac{d^2 u}{d \theta^2}$$를 얻습니다. 이 과정에서 $$\frac{d}{dt}=\frac{d\theta}{dt}\frac{d}{d\theta}=\dot{\theta}\frac{d}{d\theta}=\frac{h}{r^2}\frac{d}{d\theta}=hu^2\frac{d}{d\theta}$$임을 이용했습니다.

이제 필요한 식을 모두 모으면 $$-h^2 u^2 u''(\theta) = h^2 u^3 - k u^2$$ 또는 $$ u''(\theta) + u = \frac{k}{h^2}$$가 됩니다. 이 마지막 식은 용수철 끝에 매달린 물체의 운동에서도 비슷한 모양이 나왔던 미분방정식입니다. 두 번 미분한 것이 원래의 함수에 마이너스를 붙인 것과 같은 것은 삼각함수이고, 오른쪽에 있는 항은 상수이므로, 이 미분방정식은 쉽게 풀 수 있습니다.
$$ u = \frac{1}{r} = \frac{k}{h^2}\left(1+\varepsilon \cos(\theta - \theta_0)\right)$$ 여기에서 $\varepsilon$와 $\theta_0$는 아직 정해지지 않은 적분상수입니다. 미분방정식을 풀기는 쉽지 않은 일이지만, 풀이가 맞는 풀이인지 확인하는 것은 쉽습니다. $$u'(\theta) = -\varepsilon\sin(\theta - \theta_0) , \quad u''(\theta) =-\varepsilon\cos(\theta - \theta_0)$$이므로, 위의 미분방정식에 넣으면 정확히 맞아떨어지는 것을 확인할 수 있습니다.

$r$이 최소일 때를 $\theta=0$이 되게 선택하면 $\theta_0=0$가 되고, 최종의 식은 $$ r = \frac{p}{1+ \varepsilon\cos\theta}$$(단, $p= \frac{h^2}{k}=\frac{h^2}{GM}$) 이 됩니다. 이 식은 원뿔곡선의 극좌표계 표현입니다.

(6) 원뿔곡선(특히 타원)의 극좌표계 표현

원뿔곡선은 타원, 포물선, 쌍곡선을 가리킵니다. 원뿔곡선을 극좌표계에서 나타내는 방법은 여기에도 설명이 되어 있습니다.

간단하게 말하면 다음과 같습니다.

원뿔곡선은 영어로 conic section인데 원뿔절단선이라고 해야 더 정확하겠습니다. 아래 그림을 보면 이런 이름이 왜 나왔는지 금방 알아챌 수 있을 것입니다.

원뿔의 절단선은 절단하는 각도에 따라, 원(circle), 타원(ellipse), 포물선(parabola), 쌍곡선(hyperbola)로 구별됩니다.

(그림 출처: D.A. Brannan et al. (2012) Geometry. Cambridge University Press. 2ed. p. 19)

위의 그림에서 원점 O로부터의 거리와 기준선(directrix) d로부터의 거리가 일정한 점들의 궤적(자취)을 원뿔곡선이라고 정의합니다. 이 궤적의 어느 한 점 P를 잡고 이 점에서 기준선으로 내린 수선의 발을 M, 원점 O로부터 기준선으로 내린 수선의 발을 N이라 하면, 원뿔곡선의 정의로부터 $$\frac{OP}{PM}=\varepsilon=\mathrm{const}$$이어야 합니다. 그림에서 보듯이 $PM=QN$이고 $QN=ON-OQ$입니다. 원점 O로부터의 점 P까지의 거리를 $r$이라 하고 위의 그림처럼 각 $\theta$를 정의하면, $$OP=r , \quad PM= QN= (ON-OQ) =  (ON - r \cos\theta)$$이고 $$OP=\varepsilon PM= \varepsilon (ON - r \cos\theta)$$이므로 $$r= \varepsilon (ON - r \cos\theta)$$가 됩니다. 이를 정리하면 $$r (1+\varepsilon \cos\theta) = \varepsilon ON \equiv p$$를 얻을 수 있습니다. 정리하면 $$r = \frac{p}{1+\varepsilon \cos\theta}$$를 얻습니다. 이 식의 $p$를 semilatus rectum이라 부르는데 $\theta=\pi/2$일 때 즉 기준선과 평행하게 OP를 이었을 때 O를 지나는 직선이 곡선과 만나는 두 점 사이의 거리의 1/2이라서 그렇게 이름이 붙었습니다. 한국어 용어는 없는 것 같습니다.

여기에서 $\varepsilon$은 독특한 역할을 합니다.

     (i) $\varepsilon =0 $이면 이 궤적은 원
     (ii) $0<\varepsilon<1$이면 이 궤적은 타원
     (iii) $\varepsilon=1$이면 이 궤적은 포물선
     (iv) $\varepsilon>1$이면 이 궤적은 쌍곡선

이 됩니다. 이 맺음변수를 이심률(離心率 eccentricity)이라 부릅니다.

(7) 면적법칙: 케플러 둘째 법칙

$h$가 면적속도임을 보이기 위해서는 아래 그림을 이용합니다.

(그림 출처: J. Peraire, S. Widnall (2008) Central Force Motion: Kepler’s Laws. MIT Open Course)

곡선은 행성의 궤적을 나타내고 부채꼴 모양의 꼭지점에 태양이 있다고 생각합니다. 태양으로부터 행성까지의 거리가 $r$이고 아주 짧은 시간 $dt$ 동안 행성이 $d\theta$라는 아주 작은 각도만큼 움직였다고 하죠. 이 때 태양과 행성을 잇는 직선이 훑고 지나가는 넓이는 위의 그림에서 회색으로 표시된 부분입니다.  각 $d\theta$가 아주 작기 때문에 이 부채꼴 대신 삼각형으로 보아도 됩니다. 삼각형의 넓이는 밑변과 높이를 곱한 뒤 절반을 택하면 되는데 이 삼각형의 밑변은 $r d\theta$이므로 $$dA = \frac{1}{2} r \cdot r d\theta = \frac{1}{2} r^2 d\theta$$가 됩니다.

이로부터 $$\frac{dA}{dt} = \frac{1}{2} r^2 \frac{d\theta}{dt} = \frac{1}{2} r^2 \dot{\theta} = \frac{1}{2} h$$이므로, 위에서 증명한 것처럼 $h=\mathrm{const}$라는 것은 곧 $h$가 시간이 흘러도 일정하다는 것이며, 이는 $\frac{dA}{dt}=\mathrm{const}$ 즉 시간당 면적의 변화율(면적속도)이 일정하다는 뜻입니다. 일상어로 풀어 쓰면 태양과 행성을 잇는 직선이 훑고 지나가는 넓이는 같은 시간 동안 항상 일정하다는 것이 됩니다. 이렇게 해서 케플러의 둘째 법칙이 증명됩니다.

(8) 조화의 법칙: 케플러 셋째 법칙

셋째 법칙을 유도하려면 타원의 기하학적 성질을 더 사용해야 합니다. 셋째 법칙이 공전주기의 제곱과 긴반지름(장축반지름)의 세제곱이 비례한다는 것이므로 위의 수식 표현을 바꾸어야 합니다.

(그림 출처: J. Peraire, S. Widnall (2008) Central Force Motion: Kepler’s Laws. MIT Open Course)

먼저 타원의 식 $$r = \frac{p}{1+\varepsilon \cos\theta}$$에서 $p$(semilatus rectum)를 장축반지름 $a$로 나타내야 합니다. 타원의 장축반지름(긴반지름 semi-major asix)을 $a$, 단축반지름(짧은반지름 semi-minor axis)을 $b$라 쓰는 것이 표준적인 관례입니다.

$\theta=0$일 때를 근일점(近日點 perihelion), $\theta=\pi$일 때를 원일점(遠日點 aphelion)이라 합니다. 근일점과 원일점에서 태양으로부터의 거리를 각각 $r_1$, $r_2$라 부르면 $$r_1 = \frac{p}{1+\varepsilon}, \quad r_2 = \frac{p}{1-\varepsilon}$$이며, 타원은 두 촛점으로부터의 거리의 합이 일정하므로 $$r_1 + r_2 = 2a = \frac{p}{1+\varepsilon} + \frac{p}{1-\varepsilon} = \frac{2p}{1-\varepsilon^2}$$가 되어, 정리하면 $$a=\frac{p}{1-\varepsilon^2}, \quad p = a (1-\varepsilon^2)$$를 얻습니다.

위의 그림에서 타원의 중심을 C라 하면 OC의 길이는 $$r_2 - a = a(1+\varepsilon) - a = a \varepsilon$$임을 볼 수 있습니다. 또 D에서 두 촛점을 잇는 선분의 합이 $2a$이므로 OD의 길이는 그 절반인 $a$임을 알 수 있습니다. 피타고라스 정리를 쓰면 $a^2 = b^2 + (a \varepsilon)^2$이므로 $$b^2 = a^2 (1-\varepsilon^2) , \quad b = a \sqrt{1-\varepsilon^2}$$입니다.

앞에서 $h$가 면적속도의 절반이므로 행성이 한 바퀴 도는 데 걸리는 시간, 즉 공전주기를 $T$라 하면 타원 전체의 넓이는 $A = \frac{1}{2} h T$가 됩니다. 그런데 원래 타원의 넓이는 $$ A = \pi a b = \pi a^2 \sqrt{1-\varepsilon^2}$$이므로 이 둘을 같다고 놓을 수 있습니다. 즉 $$\pi a^2 \sqrt{1-\varepsilon^2} = \frac{1}{2} h T$$ 이 식을 제곱하면 $$\pi^2 a^4 (1-\varepsilon^2) = \frac{1}{4} h^2 T^2$$이 됩니다.

한편 위에서 유도한 최종의 식으로부터 $$p= \frac{h^2}{k} = \frac{h^2}{GM}$$입니다.

$p= a(1-\varepsilon^2)$이므로, $$h^2 = GM p = GM a (1-\varepsilon^2)$$이며, 이를 이용하면 $$\pi^2 a^4 (1-\varepsilon^2) = \frac{1}{4} h^2 T^2 = \frac{1}{4} GM a (1-\varepsilon^2) T^2$$가 되고, $$\pi^2 a^4 \cancel{(1-\varepsilon^2)} =\frac{1}{4} GM a \cancel{(1-\varepsilon^2)} T^2$$과 같이 동일한 인수를 약분하여 간단하게 만들면 $$a^3 =\frac{GM}{4\pi^2} T^2 =  GM \left(\frac{T}{2\pi}\right)^2$$가 됩니다.

다시 말해 행성의 타원궤적의 장축반지름의 세제곱은 공전주기의 제곱에 비례합니다. 이것이 케플러 셋째 법칙입니다.