물리학의 관점에서 보면 뉴턴이 제시한 상태변화의 원리를 $$a = \frac{F}{m}$$이라고 말하는 것이나 $$\frac{dp}{dt}= F ;     \frac{d x}{dt}= \frac{p}{m}$$이라고 말하는 것이나 비슷해 보입니다. 하지만 그 자연철학적 함의는 상당한 차이가 있습니다.

흔히 물리학에서 고전역학의 형식체계를 (1) 뉴턴역학 (2) 라그랑주 역학 (3) 해밀턴 역학의 세 가지로 나누어 설명합니다. 이 밖에도 (4) 헤르츠 역학 (5) 남부 역학이 있지만, 주류는 아닙니다.

[남부 역학은 노벨물리학상 수상자이기도 한 일본의 물리학자 남부 요이치로(南部 陽一郎 1921-2015)가 만든 것인데, 기존의 형식체계를 모두 포괄하는 가장 일반적인 역학으로 평가됩니다. (https://en.wikipedia.org/wiki/Nambu_mechanics 참고)]

뉴턴역학에서 가장 근본적인 관계를 $a = \frac{F}{m}$라고 말할 수 있습니다. 이것의 손쉬운 해석은 운동의 원인인 '힘' $F$가 주어지면, 그 결과로 '가속도' $a$가 생겨난다는 것입니다. 거기에서 '질량' 또는 '물질의 양'은 같은 힘에 대해 다른 가속도가 생겨나게 만드는 일종의 '저항' 내지 '관성'으로 해석됩니다.

하지만 이런 해석은 당장 <장회익의 자연철학 강의>에서 다루고 있는 용수철 끝에 매달린 물체의 운도에서 어려움을 만납니다. 왜냐하면 그 '힘'이라는 것이 물체가 어디에 있는가에 따라 계속 달라지기 때문입니다. 관계식으로만 보자면 $m a = - k x$와 같이 쉽게 쓸 수 있지만, 이 식은 가령 수직방향의 중력을 받고 있는 물체의 경우인 $m a = - m g$와 근본적으로 다릅니다. 후자의 경우에는 중력이라는 '힘'을 받고 있으면 그에 따라 가속도가 생겨난다는 손쉬운 해석이 적용되지만, 후자의 경우에는 힘이 가속도를 만든다는 말이 어색합니다. 이것은 '가속도'라는 것이 위치의 변화의 변화이기 때문입니다. 변화를 두 번 쓴 건, 위치의 변화가 속도이고 속도의 변화가 가속도이기 때문입니다. 이러한 당혹스런 상황을 이해할 수 있는 거의 유일한 방법은 미분 개념을 도입하는 것입니다.]

위치의 변화가 속도라는 말을 더 정확히 하면 위치의 변화하는 비율이 속도라는 것입니다. 여기에서 변화의 기준이 되는 것은 시간입니다. 즉 시간이 변화할(흐를) 때 그에 따라 위치가 변화하는 비율입니다. 이것을 $$v(t)=\frac{dx(t)}{dt}$$로 나타냅니다. 가속도는 시간이 변화할(흐를) 때 그에 따라 속도가 변화하는 비율이므로 $$a(t)=\frac{dv(t)}{dt}$$입니다. 위의 속도 표현을 여기에 집어넣으면 $$a(t)=\frac{d^2 x(t)}{dt^2}$$가 됩니다.

따라서 용수철 끝에 매달린 물체의 운동은 $$\frac{d^2 x(t)}{dt^2} = - \frac{k}{m} x(t)$$가 되는 것인데, 이것을 하나의 방정식으로 생각하고 큰 고민 없이 풀어내면 용수철 끝에 매달린 물체의 운동을 완전히 알 수 있습니다. 수학을 가져오면 두 번 미분할 때 원래의 함수와 같은 꼴이 나오는 것은 삼각함수인 것을 기억해야 합니다. 그래서 수학을 물리학의 언어라 부르는 셈입니다.

이렇게 어떤 함수와 그 도함수들 사이의 관계를 제시한 뒤에, 그런 함수를 구하는 문제를 수학에서는 미분방정식이라고 부릅니다. 대수방정식은 사칙연산이나 더 간단한 연산들과 미지수(unknown)의 관계를 제시한 뒤에 그 미지수를 구하는 문제입니다. 초등학교 산수에서부터 부지기수로 다루는 문제입니다. 여기에서 더 나아가 사칙연산과 같은 대수적 관계가 아니라 함수와 도함수 사이의 관계를 주고는 그 함수를 구하라는 것이 바로 미분방정식입니다.

용수철 끝에 매달린 물체의 운동을 서술하는 위의 뉴턴 방정식은 2계도함수가 원래의 함수에 비례하는 경우 원래의 함수를 구하라는 문제로서, 수학 분야에서는 미분방정식론이라는 이름 아래 방대한 연구가 이미 체계적으로 이루어져 있습니다. 수학과 교과과정뿐 아니라 물리학과나 공과대학 교과과정에서 가장 많이 다루어지는 수학이론이라 할 수 있습니다. 정확하게 풀 수 없다면 근사적으로 푼다거나 컴퓨터를 이용해서 풀어내는 온갖 다양한 기법들이 개발되어 있습니다.

심학3도에 잠시 나오는 아인슈타인 중력장 방정식도 미분방정식의 일종입니다. 다만 뉴턴 방정식과는 근본적으로 다릅니다. 10개의 함수에 대한 비선형 연립 편미분방정식이기 때문에, 그 풀이 방법이 대단히 복잡하고 난해합니다.

그런데 <장회익의 자연철학 강의>에 있는 내용을 여기에서 반복하려는 것은 아닙니다. 용수철 끝에 매달린 물체의 운동을 서술하려고 할 때에는 '힘'이라는 개념이 필요하지 않다는 것을 지적하려는 것입니다. 즉 $ma=F$라는 수식은 힘과 가속도의 관계가 아니라, 물체의 위치를 나타내는 시간의 함수 $x(t)$가 충족해야만 하는 미분방정식이라고 볼 수 있습니다.

뉴턴 방정식 $ma=F$의 해석에는 크게 네 가지가 있습니다.

첫째는 힘과 물질의 이원론입니다. 힘은 물질이 아니고 물질과 별개로 존재하는 하나의 실체이며, 거슬러 올라가면 신의 섭리와 연결될 수도 있고 자연의 통일성과 이어질 수도 있는 존재론적 개념으로 제기됩니다. 다름 아니라 뉴턴 자신의 관점입니다. 뉴턴은 이 '힘' 개념에 대해 자신은 아무 가설도 세우지 않는다고 말하기도 했고, 이 '힘'이 신비주의적인 은비의 질(occult quality)이라는 비판에 대해서도 아랑곳하지 않았습니다. 왜냐하면 왕당파이자 신정주의자였던 뉴턴에게 이 힘은 곧 "신의 섭리" 그 자체였기 때문입니다. 현대의 물리학자들에게는 이런 뉴턴 식의 '힘' 개념이 매우 불편합니다. 그래서 조작주의도 등장하고 '힘'이라는 물리량은 좋지 않은 물리량이며 정의하기가 곤란하다는 지적도 자주 나오게 됩니다.

둘째는 이 방정식을 물질들간의 관계로 이해하는 것입니다. 굳이 이름붙이면 '물질 일원론'입니다. 19세기 말에 뉴턴 식의 자연철학을 적극적으로 반대했던 오스트리아의 물리학자/철학자 에른스트 마흐가 이 해석에서 가장 두드러집니다. '힘'이라는 개념을 여러 가지 방식으로 정의하고 다듬어 보려 애를 쓰다 보니, 이 개념 없이 역학을 할 수 있다는 생각에 이르른 것입니다. 이것을 $$m a =\sum_i M_i A_i$$와 같은 수식으로 표현할 수 있습니다. 힘이라는 것이 별도로 존재하는 게 아니라 결국은 모든 것이 물질들 사이의 관계인데, 그 중에서 질량이 $m$인 특정의 물체의 운동을 서술하기 위해서는 그 물체에 작동하는 "질량 곱하기 가속도"들을 모두 더하면 된다는 겁니다.

이 관념을 더 확장하면 '힘'이라는 것이 실상 '상호작용'이라는 생각으로 연결됩니다. 물체가 하나만 있어서는 '힘'이 뭔지 도무지 종잡을 수 없습니다. 그러나 물체가 여러 개 있다면, 서로서로 영향을 줄 터이고, 그 작용들과 반작용들을 모아서 이해할 수 있다는 겁니다. 어떤 면에서는 현대 초급 물리학에서 가장 많이 따라가는 입장입니다.

셋째는 '힘 일원론'입니다. 이것은 오히려 마흐의 접근에 반대되는 것인데, 대개 이마누엘 칸트와 18세기 말의 독일 낭만주의 자연철학이 이런 입장입니다. 물질이라는 게 따로 있다고 하는 대신, 우리가 아는 물질은 강한 반발력(미는 힘/척력) 때문에 더 관통할 수 없는 영역이라고 보자는 겁니다. 세상의 모든 것은 힘들의 만남이고 그 힘들의 관계에서 운동과 변화를 모두 설명할 수 있다는 믿음입니다. 이 접근을 적극적으로 발전시킨 것이 보스코비치이고 이를 다시 영국의 물리학자 마이클 패러데이가 계승했습니다. 패러데이의 관념을 정교한 수학적 이론으로 발전시킨 것이 영국의 물리학자 제임스 클러크-맥스웰입니다.

알버트 아인슈타인은 대학 졸업 후 몇 사람과 함께 했던 "올림피아 아카데미"에서 에른스트 마흐의 <역학>과 보스코비치의 자연철학을 탐독하고, 이를 깊이 토론하면서 뉴턴 역학과 맥스웰의 전자기학이 근본적으로 충돌한다는 점에 주목합니다. 그 토론과 고찰의 결과로 결국 상대성이론의 아이디어를 얻어냈습니다.

넷째 해석은 '미분방정식 해석'입니다. 이것은 조작주의 이후 특히 미국의 실용적이고 실제적인 분위기에 맞추어진 해석이라 할 수 있습니다. 뉴턴 방정식의 의미가 '힘-물질 이원론'인지, '물질 일원론'인지 '힘 일원론'인지 따지지 말고, 그냥 위치의 시간함수 $x(t)$가 충족하는 미분방정식이라고 보자는 겁니다. 양자역학의 경우에 흔히 이야기되는 "입 다물고 계산이나 해라(SUC, Shut up and calculate!)"와 유사합니다. 활발하게 활동하는 물리학자들은 이 접근을 가장 편하게 생각합니다. 자연철학적 함의를 따지는 것은 번거롭고 복잡하고 난해할 뿐 아니라 실용적인 문제에 비추어 사변적이고 상아탑 속의 한가로운 탁상공론으로 보이기 때문입니다.

실제로 물리학과(특히 대학원)에서 진행되는 대부분의 교육과정은 이와 같은 미분방정식을 어떻게 효율적으로 빠르고 정확하게 풀어낼 수 있는가에 거의 모든 것이 집중되어 있습니다. $ma=F$에 대한 자연철학적 해석을 묻는 것은 권장되지 않거나 심지어 금지됩니다. 문제 풀이만으로도 시간이 모자라고 내용이 벅찬데, 그 자연철학적 해석을 묻는 것은 수업의 진행을 방해하는 행위로 간주됩니다. [제 개인적인 예외적 경험일 수도 있지만, 저는 그러한 질문을 수업시간에 했다가 항상 조롱을 당하곤 했습니다. 그 선생님은 저명한 수리물리학자였지만, 물리학의 해석은 물리학을 온전히 모두 배운 뒤에나 하라고 저에게 조언하곤 하셨죠.] 물리학 교과서(특히 역학 교과서)의 99퍼센트는 이와 같이 다양한 경우의 문제풀이 기법으로 가득 차 있고, 그 함의와 해석은 거의 다루어지지 않습니다.

고전역학에서 "힘의 정의"를 따지는 문제는 여러 면에서 심학십도에서 핵심적인 주제가 아닙니다. 오히려 그렇게 "힘의 정의와 개념과 해석"을 일일이 따지는 것은 예측적 앎을 가장 중요한 핵심어로 놓고 전개되는 장회익 선생님의 심학십도의 구도에서 흐름을 잃고 지엽적인 논제로 빠질 우려가 있는 선택입니다. 오히려 심학2도는 그렇게 '힘' 개념을 거의 건드리지 않고, 단지 상태의 변화라는 관념에 집중함으로써 고전역학이 말해 주는 예측적 앎의 구도를 선명하게 드러냅니다.

이것을 명확하게 성취한 것은 19세기 아일랜드의 수학자 윌리엄 로원 해밀턴(William Rowan Hamilton 1805-1865)이었습니다. [https://en.wikipedia.org/wiki/William_Rowan_Hamilton]

해밀턴은 그보다 앞서 뉴턴 방정식을 변분법이라는 특별한 수학적 기법을 써서 유도해 낸 레온하르트 오일러와 조제프 라그랑주의 접근을 체계적으로 정리하여 이른바 작용량 최소의 원리(Principle of Least Action) 또는 '해밀턴의 원리'라 부르는 원리로 요약했습니다. 이를 흔히 '라그랑주 역학(Lagrangian mechanics)라 부릅니다. 해밀턴은 라그랑주 역학을 정리한 뒤에 그보다 더 깔끔한 형식체계를 제안했습니다. 그 과정에서 독특한 함수 하나의 역할을 찾아냅니다.

그 함수는 해밀터니언 함수라 부르는데, 특별한 경우에는 $$H(x, p) = \frac{p^2}{2m} + V(x)$$라는 꼴로 쓸 수 있습니다. 해밀턴은 뉴턴 역학의 핵심을 상태의 변화라고 봅니다. 그리고 그 상태라는 것이 근본적으로 특정 시간에 위치와 운동량의 값과 같다고 놓습니다. 수식으로 쓰면 $(x(t), p(t))$가 바로 특정 시각 $t$일 때의 상태입니다. 이 상태가 어떻게 변화하는지 말해 주는 방정식이 해밀턴 방정식입니다. $$\frac{dx}{dt}= \frac{\partial H}{\partial x} ; \frac{dp}{dt}= -\frac{\partial H}{\partial x} $$ 여기에서 $\partial$이라는 기호는 편미분인데, 흔히 볼 수 있는 미분 기호 $d$와 달리 독립변수가 여럿 있을 때 다른 독립변수들을 변수가 아닌 것처럼 간주하는 미분 기호입니다. 만일 해밀터니언 함수가 $$H(x, p) = \frac{p^2}{2m} + V(x)$$로 주어진다면, 위의 해밀턴 방정식에 넣어서 $$\frac{dx}{dt}= \frac{p}{m} ; \frac{dp}{dt}= - \frac{V(x)}{dx}$$를 얻을 수 있습니다. $- \frac{V(x)}{dx}$를 $F$라 부르면, $$\frac{dx}{dt}= \frac{p}{m} ; \frac{dp}{dt}= F$$가 됩니다.

요약하면, 윌리엄 로원 해밀턴은 뉴턴 방정식을 상태의 변화로 완전히 재해석하고, 그 상태의 변화를 좌우하는 것이 바로 해밀터니언 함수라고 제안했습니다. 도식화하면

          처음 상태 $(x(0), p(0))$ ---> 해밀턴 방정식 ---> 나중 상태 $(x(t), p(t))$

와 같이 쓸 수 있습니다. 장회익 선생님의 서술은 이 해밀턴 역학의 복잡한 형식체계에서 가장 핵심적인 것만을 추려서 심학2도로 요약한 것이라 할 수 있겠습니다.