심학2도는 고전역학을 통해 본 예측적 앎의 구도입니다. 물리학을 잘 아는 분은 '고전역학'이 무엇인지 바로 알 수 있지만, 대개 '고전역학'이란 용어 자체가 낯설 것 같습니다. 이 문제에 대해 간단한 보충자료를 올려 놓습니다.

'고전역학'이란 용어는 영어 classical mechanics의 번역어입니다. 많은 물리학 용어들이 그렇듯, 이 용어도 일본에서 처음 古典力学(こてんりきがく)이라고 번역되었는데, 일제강점기를 거치면서 일본어의 한자표기를 그대로 한국어식으로 음역하여 만든 용어입니다. '역학'은 한자표기에서 추측할 수 있듯이, 힘에 관한 연구를 가리키는데, 더 정확하게 말하면 힘이 주어질 때 어떤 운동이 생겨날 수 있는지 탐구하는 연구분야입니다. 물리학의 기초이론 중 가장 중요한 영역입니다. 역학은 다시 시간에 따라 변화하는가 여부에 따라 동역학(dynamics)과 정역학(statics)으로 구별합니다. 더 상세한 것은 이전에 살펴보고 함께 이야기 나눈 [과학과 메타과학] 6장 "이론과학의 유형과 성격"에 서술되어 있습니다.

'고전 古典 classic'이란 그 분야에서 오래 전부터 널리 읽혀져서 그 분야 사람들이라면 누구나 대체로 공유하고 있는 책들을 가리킵니다. 원래 영어 단어 classic 또는 프랑스어 classique은 16세기 무렵에 "고대 그리스-로마에 속한 문학, 예술, 건축"이란 의미로 처음 사용되었습니다. 그 어원인 라틴어 classicus는 로마의 상류층 시민을 가리키는는 말이었고, 여기에서 '계급 class'이라는 단어도 나왔습니다. 지금은 고대 그리스-로마뿐 아니라 표준적이거나 전통적이면서 그 영역을 대표한다는 의미로 확장되어 사용됩니다. 그래서 의미가 조금 다른 '고전적 classical'이라는 말이 더 많이 사용됩니다. (https://www.merriam-webster.com/dictionary/classical )

고전적(classical)이란 수식어가 붙은 역학이 있다면, 뭔가 새로운 역학이 나타났다는 생각을 쉽게 할 수 있습니다. 대개 20세기에 나타난 상대성이론이나 양자이론과 대비하여 그 전의 역학을 '고전적'이라 부릅니다. 심학3도와 심학4도는 바로 이런 변화를 잘 보여줍니다. 다만 '고전역학'이란 표현 속에 심학3도에서 다루는 상대성이론이 포함되는지 여부는 사람마다 조금 다릅니다. 또 심학5도에서 다루는 통계역학이 '고전역학'에 포함되는지 여부도 조금 다릅니다.

지난 10월에 제가 한국과학사학회에서 발표한 발표문의 일부가 이와 관련된 내용을 담고 있어서 여기에 가져왔습니다. 저는 그 발표문에서 고전역학을 다음과 같이 규정했습니다.

"고전물리학은 수학적 언어를 사용하는 이론적 정식화가 세계의 요소들과 대응하며, 실험을 통해 이러한 이론적 정식화의 옳고 그름을 판별하고 이론들의 우위를 판단할 수 있다고 가정한다. 그 기본적인 형식체계는 최소작용원리에 기반을 둔 라그랑주 역학이나 위상공간을 상태공간으로 삼는 해밀턴 역학으로 구성되며, 이 두 가지 역학의 체계는 수학적으로 동등하며 뉴턴의 세 운동 법칙에 기반을 둔 접근을 모두 포함한다. 전형적인 고전역학은 윌리엄 톰슨과 피터 거쓰리 타이트의 <자연철학론 Treatise on Natural Philosophy>(1867)을 모범으로 삼는다."

흔히 고전역학을 뉴턴역학과 동의어로 보고, 그 바탕에 뉴턴의 운동 법칙 세 개가 있다고 말합니다. 그러나 1687년 <자연철학의 수학적 원리>에서 뉴턴이 세 개의 공리로 도입한 운동의 법칙들만으로는 고전역학이 도출되지 않습니다. 무엇보다도 세 법칙들의 의미와 위상이 불분명합니다. 뉴턴의 책에 $F=ma$라는 악명높은 수식이 전혀 등장하지 않습니다. 

뉴턴이 제안한 힘과 운동의 일반 이론을 체계적으로 정리한 것은 스위스의 수학자 레오나르트 오일러(Leonhard Euler 1707-1783)이었습니다. $F=ma$에 해당하는 방정식을 처음 적은 것도 오일러였습니다. 그러나 뉴턴은 물론이고 오일러나 그 당시의 수학자들은 이런 방정식이 왜 잘 작동하는지 그 이유를 밝히는 데 애를 먹고 있었습니다. 이 작업을 제대로 해 낸 사람은 프랑스의 수학자 조제프-루이 라그랑주(Joseph-Louis Lagrange 1736-1813)였습니다. 라그랑주는 오일러의 연구를 발전시켜 '최소작용의 원리'라는 형이상학적인 원리를 기반으로 뉴턴의 운동법칙들을 유도해 냈습니다. 이를 대개 "라그랑주 역학'이라 부릅니다.

장회익 선생님께서 심학2도에서 사용하시는 고전역학은 라그랑주 역학의 더 발전된 형태로서 대개 '해밀턴 역학'이라 부릅니다. 이를 체계화한 것은 아일랜드의 수학자 윌리엄 로원 해밀턴(William Rowan Hamilton 1805-1865)였습니다. 해밀턴은 최소작용의 원리를 최대로 일반화하면서, 동역학은 상태의 변화를 서술하는 것임을 명확하게 주장했습니다. 그리고 그 운동의 상태가 다름 아니라 특정 시각의 위치와 운동량으로 기술된다고 보았습니다. 

지금의 위치와 운동량을 알면, 운동방정식을 풀어서 나중의 위치와 운동량을 알 수 있다는 것입니다. 이 때의 운동방정식을 해밀턴 방정식이라 부릅니다. 해밀턴 방정식은 특수한 경우에 뉴턴 방정식 $F=ma$로 환원될 수 있습니다. 또 적당한 수학적 변환을 통해 오일러-라그랑주 방정식과 연결시킬 수 있습니다. 

요컨대 심학2도에 나오는 고전역학이란 다름 아니라 해밀턴 역학이라 말할 수 있습니다. 하지만 그 형식체계는 꽤 복잡하고 꼬여 있어서 이를 이해하기 위해서는 여러 준비가 필요합니다. 물리학 전공자의 경우에도 학부 수준에서는 거의 다루지 않고, 대학원 수준의 강의에서 비로소 다루어집니다.  그 핵심을 간추리면 다음과 같습니다.

1. 운동의 상태는 특정 시각의 위치와 운동량의 값으로 서술된다. $(q(t), p(t))$

2. 상태 변화는 해밀턴 방정식으로 계산할 수 있으며, 해밀턴 방정식은 특수한 경우에 뉴턴 방정식으로 환원된다. $$ \frac{d}{dt}q(t) = \frac{\partial H}{\partial p} $$ $$ \frac{d}{dt} p(t) = -\frac{\partial H}{\partial q}$$

3. 이 때 모든 대상에 해밀턴 범함수(해밀토니언 Hamiltonian)라는 특별한 수학적 장치가 일대일 대응하며, 해밀턴 범함수는 대상의 물성(질량 등)과 작용하는 힘에 대한 정보를 완전히 말해 준다. (장회익 선생의 용어로는 이를 '동역학적 특성'이라 부릅니다.)

4. 고전역학 문제를 풀어낸다는 것은 특정의 주어진 상황에 해당하는 해밀턴 범함수를 구하고, 이를 해밀턴 방정식에 넣어서 풀이를 구함으로써, 운동의 상태의 변화를 완전하게 추적한다는 뜻이다.

만일 해밀턴 범함수가 $$ H [q, p] = \frac{p^2}{2m}+V(q)$$의 꼴로 주어진다면, 위에서 제시한 해밀턴 방정식은 $$ \frac{d}{dt}q(t) = \frac{\partial H}{\partial p} = \frac{p}{m}$$ $$ \frac{d}{dt} p(t) = -\frac{\partial H}{\partial q}=-\frac{d V}{d q}=F$$가 되고, 이는 뉴턴 방정식과 같음을 쉽게 알 수 있습니다.

범함수(functional)는 보통의 함수와 달리 함수의 함수를 가리킵니다. 위치와 운동량이 시간의 함수인데, 해밀턴 범함수는 그 위치 함수와 운동량 함수의 함수입니다. 대개 함수는 $f(x)$와 같이 괄호를 써서 나타내고 범함수는 $H[q, p]$처럼 대괄호를 써서 나타냅니다.

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(이 아래의 글은 제가 한국과학사학회에서 발표한 발표문 중에서 고전물리학의 정의 내지 기원과 관련된 내용을 그대로 가져온 것입니다.)

이 대목에서 ‘고전물리학’ 또는 ‘고전역학’의 의미가 정확히 무엇인지 곱씹어볼 필요가 있다. 리처드 스테일리는 현대물리학(modern physics)이 고전물리학(classical physics)과 동시에 생겨났다는 흥미롭고 중요한 주장을 내놓았다. 스테일리는 1900년 전후 40여년간의 문헌들을 상세하게 검토하면서 ‘고전적’이란 표현이 가지는 다의성과 다양성에 주목한다. 

R. Staley. “On the Co-Creation of Classical and Modern Physics”. Isis, 96(4), 530-558. (2005); Richard Staley. Einstein's Generation: The Origins of the Relativity Revolution. The University of Chicago Press (2008).

‘고전역학’이란 말이 처음 등장한 것은 1897년에 출간된 루트비히 볼츠만의 저서 Vorlesungen über die Principe der Mechanik (역학의 원리 강의)에서였다. 하지만 서문에 있는 “오래된 고전주의적 역학(alte classische Mechanik)”이라는 모호한 표현은 그냥 자신의 저서에 담겨 있는 내용을 가리키는 표현으로 볼 수 있었다. 이 용어를 상세하게 해명한 것은 1899년 볼츠만이 뮌헨 자연과학자 학술대회에서 한 강연에서였다. 볼츠만은 문학, 음악, 미술에서의 고전주의처럼 과학 특히 물리학에도 고전주의(das Alte, Klassische)가 있으며, 자신은 그러한 참된 고전주의적 과학(echte klassische Wissenschaft) 특히 고전주의적 이론 물리학(klassische theoretische Physik)을 믿고 그에 따라 연구를 하는 고전주의자라고 말했다. 여기에서 고전주의는 19세기 말 특히 빈을 중심으로 퍼져나가고 있던 문학, 건축, 미술, 음악에서의 새로운 접근방식과 사조에 대비하여 대략 18세기 말부터 19세기 초까지의 양식을 가리키는 용어로 널리 다양하게 사용되고 있었고, 볼츠만은 이러한 건축, 미술, 음악에서의 고전주의를 명시적으로 인용하고 있다. 볼츠만은 뉴턴의 역학을 더 발전시켜 새로운 방식으로 정식화한 해밀턴 역학을 고전주의적 역학, 즉 고전역학(alte klassische Mechanik)이라 하면서, 맥스웰 이후 점점 더 세력을 확장하고 있던 전자기이론 또는 전기역학과 구별되는 것으로 여겼다. 볼츠만은 고전적이지 않은 역학으로서 키르히호프와 헤르츠의 연구를 논의하면서 이들의 시도는 아직 완성되지 않은 시론에 그치고 있다고 평가했다.

L. Boltzmann. “Über die Entwicklung der Methoden der theoretischen Physik in neuerer Zeit”. Münchener Naturfoscherversammlung. 22. Sept. (1899). Miller A.I. (1984) “On the Origins, Methods, and Legacy of Ludwig Boltzmann’s Mechanics”. In: Imagery in Scientific Thought Creating 20th-Century Physics. Birkhäuser.

볼츠만은 당시 최신의 물리학에서 두드러지고 있는 세 가지 새로운 방법론을 비교했다. 첫째는 오스트발트를 주축으로 한 에너지학(Energetik)으로서 에너지 개념을 과학의 원초적 개념으로 삼으려는 프로젝트이다. 둘째는 수학적 현상론으로서 현상 뒤의 실재가 어떤 식으로 되어 있는가에 관심을 두지 않고 현상에 대한 서술로 만족하려는 입장이다. 셋째는 볼츠만 자신이 추구하는 기체분자운동론이다. 볼츠만은 과학 특히 물리학에서 세계 자체를 해명하기보다는 세계에 대한 그림(Bild)을 만들어내는 것으로 만족해야 한다는 키르히호프나 헤르츠의 접근을 빈 분리주의 건축이나 인상주의처럼 새로운 종류의 물리학으로 여기고, 자신은 전통적이면서 고전주의적인 역학을 수호하겠다고 말했다.

1902년에 출간된 앙리 푸앵카레의 저서 <과학과 가설 (La science et l'hypothèse)>의 6장 제목은 La mécanique classique 즉 ‘고전적인 역학’이다. 이 장에는 “수리물리학의 오래된 이론들 (Les anciennes théories de la physique mathématique)”라는 표현이 나오는데, 1905년에 출간된 영어번역판에서 이 ‘오래된 이론’이 classical theories로 번역되었다. 그러나 푸앵카레가 말한 고전적인 역학 또는 고전적인 이론은 사실상 뉴턴의 역학, 즉 운동의 세 법칙에 기반을 둔 전통적인 역학을 가리키는 것이었다. 새로운 천체역학의 방법을 제시하고 삼체문제의 풀이를 위한 새로운 체계를 정립한 푸앵카레에게는 더 정교하고 엄밀한 해밀턴 역학이나 라그랑주 역학은 ‘고전적인 역학’이 아니라 새로운 역학에 더 가까웠다.

볼츠만에게 클라우지우스의 열역학은 ‘고전열역학’이지만 에너지 개념을 근본개념으로 삼는 에너지학(Energetik)은 뉴턴역학에서처럼 분자와 기본입자를 부정한다는 점에서 일종의 분리주의(Secession)이며 새로운 조류였다. 이와 같이 ‘고전주의적’ 물리학이나 ‘고전주의적’ 역학은 지금 확립되어 있는 ‘고전물리학’이나 ‘고전역학’과는 내포적 의미가 다르다.

스테일리는 1911년 1차 솔베이 회의를 주된 분기점으로 삼아 ‘고전물리학’이란 개념과 ‘현대물리학(modern physics)’이란 개념이 사실상 함께 등장했음을 주장한다. 새로운 물리학, 새로운 과학, 새로운 이론을 내세우던 사람들이 자신의 주장과 구별되는 이전의 주장을 ‘고전적인’ 것으로 재구성했다는 것이다. 다시 말해서 ‘고전물리학’이라 부르는 어떤 실체적인 것이 있다기보다는 ‘현대물리학’을 말하기 위해 기존의 접근을 ‘고전적’ 또는 ‘고전주의적’이라고 구성적으로 또는 상대적으로 불렀다는 주장인 셈이다. 그렇기 때문에 20세기 초의 논의에서 상대성이론은 고전역학 또는 고전물리학과 대비되거나 구별되는 새로운 역학으로 자주 이야기되었고, 이와 달리 양자물리학 또는 양자역학을 고전물리학과 구분하려는 노력에 반대하는 주장도 찾아볼 수 있다.

스테일리의 논의는 방대한 사료를 상세하게 검토함으로써 흔히 ‘고전물리학’이 무엇인지 알고 있다고 너무 쉽게 믿는 사람들에게 성찰의 기회를 주었으며 이런 개념이 성립하는 과정을 탐구하는 것이 얼마나 유익하고 중요한지 잘 보여주었다. 그러나 스테일리의 논의에서 ‘고전물리학’의 대립항으로 제시된 ‘현대물리학’ 대신 ‘양자물리학’을 고려하면 문제가 어려워진다. 가령 1911년을 기점으로 양자물리학이 정립되었다고 말하려 한다면, 정확히 어떤 것이 양자물리학이고 어떤 것이 고전물리학인지, 무엇보다도 그 존재론적 전제와 인식론적 가정을 명확히 해야 한다. 상대성이론이나 통계역학을 현대물리학에 넣을 것인가, 아니면 고전물리학에 넣을 것인가 하는 선택도 복잡한 면이 있지만, 양자물리학을 고전양자론, 양자역학, 양자마당이론, 게이지마당이론 등으로 넓게 생각하면 이것이 고전물리학과 동시에 생겨났다는 독특하고 창의적인 주장에 대해 고개를 갸웃거리게 된다.

따라서 고전물리학을 상대성이론, 양자이론, 통계역학 등의 ‘현대물리학’에 상대적인 개념으로 놓는 대신에 다음과 같은 특징을 갖는 이론적 노력으로 규정하는 것이 더 유익하다. 고전물리학은 수학적 언어를 사용하는 이론적 정식화가 세계의 요소들과 대응하며, 실험을 통해 이러한 이론적 정식화의 옳고 그름을 판별하고 이론들의 우위를 판단할 수 있다고 가정한다. 그 기본적인 형식체계는 최소작용원리에 기반을 둔 라그랑주 역학이나 위상공간을 상태공간으로 삼는 해밀턴 역학으로 구성되며, 이 두 가지 역학의 체계는 수학적으로 동등하며 뉴턴의 세 운동 법칙에 기반을 둔 접근을 모두 포함한다. 전형적인 고전역학은 윌리엄 톰슨과 피터 거쓰리 타이트의 <자연철학론 Treatise on Natural Philosophy>(1867)을 모범으로 삼는다.