짧은 응답입니다. 제가 올린 글에 대해 굳이 '반박'을 하실 필요는 없습니다. 브라이언 그린이 도입한 '시간 방향으로의 속력'이란 개념의 타당성에 대해 각자의 의견을 제시하면 충분하리라 생각합니다. 

1. 운동이 "일정한 시간 변화 동안 공간상의 위치 변화"로 정의된다는 것이 상대성이론 이전에만 적용되는 것인지 아니면 4차원이나 10차원이나 26차원이 되더라도 여하간에 별도의 시간 개념이 필요한 것인지의 문제는 더 깊이 이야기해 볼만한 주제입니다. 이 문제는 오래 전 장회익 선생님과 제가 견해가 달랐던 부분이기도 합니다. 저는 여하간에 운동을 말하기 위해서는 '시간' 개념이 반드시 필요하다고 주장했습니다. 다만 상대성이론으로 가면 시간과 공간이 섞이기 때문에 좌표시간이 아닌 확장된 시간을 선택해야 합니다. 저는 이것을 '메타시간'이라 불렀습니다. 실제로는 4차원 시공간 또는 더 고차원 시공간에서 특정 방향으로 메타시간을 골라내는 과정이 꼭 필요합니다. 이것을 미분기하학에서는 나누어꿰매기(foliation)라 부릅니다.

2. 아주 작은 양의 비가 도함수와 언제나 같은가 하는 문제, 즉$$ \frac{dy^2}{dx^2} = \left( \frac{dy}{dx} \right)^2$$이 성립하는가 여부는 별도의 글에서 더 다루는 게 좋겠습니다. 이 식에서 왼쪽 항은 아주 작은 양들(즉 $dy$와 $dx$)의 제곱의 비입니다. 이것은 말 그대로 두 숫자를 가지고 나눗셈을 한 것입니다. (당연히 이계미분과 혼동하지는 않죠. ^^ ) 이와 달리 오른쪽 항에서 $\frac{dy}{dx}$라 쓴 것은 두 양의 비가 아니라 $y(x)$라는 함수의 도함수입니다. 초급 물리학 교과서에서는 이렇게 기호를 적당히 잘 배열하여 발견법적으로 이야기를 풀어나가는 일이 흔히 있습니다. 그 자체는 실상 별로 문제가 되지 않고, 제가 올린 #296 "4차원 불변 간격과 4차원 시공간"에서도 표준적인 방식으로 비슷한 논리 전개를 적어 놓았습니다. 

문제가 되는 것은 이런 발견법적 도구를 조심스럽게 쓰지 않는 경우입니다. 두 미분량의 비와 도함수가 같은가 여부입니다. 특히 문제가 되는 것은 일반상대성이론을 염두에 두고 좌표변환에 대해 다른 좌표계에서도 통일된 의미를 갖는가 여부입니다. 

 $\frac{dt}{d\tau}$인지 $\frac{d\tau}{dt}$인지 수학에서는 자유롭게 미분을 할 수 있는 경우가 많습니다. 하지만 4차원 시공간 좌표 중 하나로서 $t$를 그 세계선에 대해 정의된 고유시간 $\tau$로 미분할 것인가, 아니면 그 반대로 할 것인가 하는 문제는 더 조심해야 할 문제입니다. 왜냐하면 독립변수인 고유시간 $\tau$는 하나이지만, 종속변수는 $(t, x, y, z)$로서 네 개이기 떄문입니다. 이런 문제는 다변수해석학이라는 분야에서 상세하게 다루는데, 틈이 나면 조금 더 설명해 보도록 하겠습니다. 

3. 수학에서 3차원 공간 좌표를 좌표시간으로 미분하거나 하는 것은 언제나 가능하고 별로 문제를 일으키지 않습니다. 제가 써 놓은 것은 "위치를 좌표시간으로 미분하는 것이 모든 좌표계에서 의미를 갖지 않는다"는 매우 당연한 설명입니다. 이 점은 박용국님의 훌륭한 발제문에도 상세하게 나와 있는 내용입니다. 모든 좌표계에서 의미를 갖도록 하려면  4차원 시공간의 좌표 중 하나인 좌표시간 $t$가 아니라 스칼라 양인 고유시간 $\tau$에 대해 미분해야 합니다. 

#297 "4차원 속도의 의미"에 상세하게 써 놓은 것처럼, 4차원 속도의 크기는 언제나 -1이 됩니다. $$ U\cdot U = -1$$ 이 말을 더 풀어 설명하는 게 좋겠습니다. 시간을 초나 년으로 재기로 하고 공간을 광초나 광년으로 재기로 하면 언제나 $c=1$이라서 수식에서 아예 $c$가 나타나지 않게 할 수 있습니다. 그래서 상대성이론을 다룬 문헌들에서는 대체로 $c$가 나오지 않습니다. $c$를 다시 노출시키면 

$$ X = (ct , \vec x)$$ 일 때 $$ U = (\gamma c, \gamma \vec V)$$가 되고, 그 4차원 크기를 계산하면

$$ U \cdot U = - \gamma^2 c^2 + \gamma^2 V^2 = - c^2 \gamma^2 (1- (V/c)^2 ) = -c^2$$가 되어 언제나 상수(스칼라)가 됩니다. 

이 표준적인 접근에서 4차원 속도 벡터를 구하는 과정은 (1) 먼저 4차원 시공간 좌표를 먼저 설정하고, (2) 그 네 좌표로부터 고유시간이라는 스칼라 값을 얻은 뒤 (3) 시공간 좌표를 고유시간으로 미분한 양으로 4차원 속도를 정의하는 것으로 이루어집니다. 그 뒤에 (4) 4차원 속도의 (4차원) 크기는 언제나 스칼라 값이 된다는 것을 일종의 따름정리로 유도할 수 있습니다. 

이와 정확히 같은 방식으로 (이 말이 '벡터'라는 말의 의미이기도 합니다) 4차원 에너지-운동량 벡터를 구할 수 있습니다.  운동량을 공간 성분으로 하고 에너지를 시간 성분으로 하는 양을 만들면, $$ E^2 - \vec p ^2 = m^2 $$이라는 식을 증명할 수 있습니다. $c$를 포함시키면 $$ E^2 - (c \vec p)^2 = (m c^2)^2$$가 됩니다.