표준적인 상대성이론에서 시간 늦어짐이나 길이 줄어듬의 문제는 멈춰 있는 좌표계와 움직이는 좌표계에서 시간과 공간 좌표들 사이에 어떤 관계가 성립하는가 하는 문제로부터 시작됩니다. 운동은 전혀 등장하지 않습니다.

한 좌표계 $ (ct, x, y, z)$와 움직이는 좌표계 $ (ct’, x’, y’, z’)$가 있을 뿐이고, 그 두 좌표계 안에서 어떤 식으로든 움직이는 것을 염두에 두지 않습니다. 식을 간단하게 쓰기 위해 거리를 '광초'나 '광년'으로 재기로 선택하고, 거기에 맞추어 시간을 '초'나 '년'으로 재기로 선택하면, $c=1$이 되어 수식에 전혀 나타나지 않습니다. 그러면 문제가 되는 것은 두 좌표계 $ (t, x, y, z)$와 움직이는 좌표계 $ (t’, x’, y’, z’)$의 관계입니다.

대개 한 쪽이 강변/기차역/지구라면 다른 쪽은 배 안(갈릴레오)/기차 안(아인슈타인)/우주선으로 설정합니다. 이 두 좌표계 사이의 관계를 말해 주는 것이 '변환'인데, 크게 두 가지가 있습니다. 하나는 갈릴레오 변환이고 다른 하나는 로렌츠 변환입니다.

갈릴레오 변환은 $$ t ' = t $$ $$ x' = x - Vt$$이고, 로렌츠 변환은 $$ t' = \frac{t - V x}{\sqrt{1-V^2}} $$ $$ x' = \frac{x - V t}{\sqrt{1-V^2}}$$가 됩니다.

로렌츠 변환을 이해할 수 있는 방법은 매우 다양합니다. 아래 그림이 이를 아주 잘 보여줍니다.

(그림 출처: J.R. Lucas and P.E. Hodgson (1990). Spacetime and Electromagnetism: An Essay on the Philosophy of the Special Theory of Relativity. Clarendon. p. 152)

<장회익의 자연철학 강의>에서 선택한 길은 위의 그림에서 붉은색으로 표시한 경로입니다. 출발점은 시간과 공간이 유사하다는 점에 주목하는 것입니다. 그러면 속도(속력)가 4차원 시공간에서 일종의 각도와 같다고 볼 수 있습니다. 2차원 공간에서 회전변환을 살펴본 뒤, 시간에허수를 도입함으로써 유사각도(pseudoangle)이 된다고 봅니다. 그러면 아주 자연스럽고 빠르게 로렌츠 변환에 도달합니다. 즉 2차원 평면에서의 회전 변환으로부터 2차원 시공간 평면에서의 로렌츠 변환을 얻는 것입니다.

앞의 글에서 박용국님이 상세하게 소개해 주신 아인슈타인의 유도는 위의 그림에서 Einstein 1905라는 형광색 동그라미가 있는 경로입니다. 아인슈타인은 자신의 유도가 만족스럽지 않아서 1922년에 새로운 유도방법을 발표하기도 했습니다. 그것이 Einstein 1922입니다.

로렌츠 변환을 처음 유도한 것은 당연히 아인슈타인이 아니라 이름이 말해 주듯이 로렌츠입니다. 또 그런 변환을 '로렌츠 변환'이라고 이름 붙인 푸앵카레도 나름의 유도와 증명을 보였습니다. 중앙에 있는 [로렌츠 변환]이라 쓰인 큰 네모 바로 밑에 Lorentz라는 형광색 동그라미가 그 경로를 말해 줍니다.

교과서적인 상대성이론에서는 좌표를 먼저 설정하고, 그 사이의 변환 관계 (즉 로렌츠 변환)를 정립하는 것을 출발점으로 삼습니다. 어느 쪽을 선택하더라도 장단점이 있습니다. 그러나 그린의 접근, 즉 속력을 시간 방향과 공간 방향으로 나누어 개념화하는 것은 오해의 여지가 큽니다. 왜냐하면 시간 방향으로 움직이거나 공간 방향으로 움직이는 것은 아무 것도 없기 때문입니다. 

그린이 왜 그런 무리수를 두었는가 하는 점에는 심증이 가는 게 좀 있습니다. 이 점에 대해서는 나중에 더 써보겠습니다.