카카오톡 단체대화방에 "물리적으로 의미가 있는 것은 제곱이다. 측정을 하면 제곱이 나온다"는 말의 의미를 묻는 질문이 올라와서 간단하게 몇자 적어보려 합니다.

이 질문은 허수라는 개념이 자연에 존재하는 무엇인가 아닌가 하는 물음과 연결됩니다.

여기에서 수학적인 개념을 약간 명확히 할 필요가 있습니다. 실수(實數, real number)라는 말이 허수(虛數, Imaginary number)과 대비되기 때문에 직관적으로 실수는 정말 있는 수이고 허수는 상상의 수라고 오해하기 쉽습니다. 하지만 '실수'라는 이름과 달리 실수는 자연에 대해 어떤 측정 같은 것을 했을 때 나오는 수가 아닙니다. 예를 들어 $\sqrt{2}$는 실수인데 측정 결과로 그런 값이 나올 수는 없습니다. 실제 측정 결과는 가령 $1.4142$와 같은 유리수입니다. 컴퓨터를 써서 계산을 한다면 더 명확해지는데, 컴퓨터로 다룰 수 있는 모든 수는 유리수(有理數, rational number)입니다. 여기에서 rational이 '합리적'이란 의미가 아니라 ratio(비 比)가 있다는 뜻이라서, 두 정수의 비로 나타낼 수 있는 수를 가리킵니다. 그럴 수 없는 것이 무리수(無理數, irrational number)입니다. 무리수는 단지 '비'로 나타낼 수 없을 뿐이고 '비합리적인' 수가 아닙니다. 정수(整數, integer)는 자연수 개념을 음수로까지 확장한 것입니다. 즉 정수는 1, 2, 3, 4, ...이라는 양의 자연수들과 여기에 '없음'을 나타내는 0, 그리고 다시 '부족함'을 나타내는 음의 자연수 -1, -2, -3, -4, ...를 모두 모아 놓은 것입니다.

독일의 수학자 레오폴트 크로네커는 "정수는 신이 만들었지만, 다른 수는 모두 사람이 만든 것이다."라는 말로 유명합니다. 실수는 유리수들의 극한으로 이해됩니다. 예를 들어 변의 길이가 1인 정사각형의 대각선은 "2의 제곱근"이라고 부르고 $\sqrt{2}$라 쓰는데, 이것은 제곱하면 2가 되는 양수로 정의합니다. 실제로는

1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, ....

등과 같은 일련의 유리수들의 종착점으로 간주됩니다. 그래서 제곱하면 2가 되는 양수는 유리수가 될 수 없음을 증명할 수 있습니다. 유리수가 아니라서 무리수가 됩니다. 유리수들과 무리수들을 모두 모아 놓은 것이 실수입니다. 이런 의미에서 실수는 자연에 존재한다기보다는 사람이 만들어낸 개념일 뿐입니다.

마찬가지로 '허수'는 전혀 '가짜 수'나 '상상의 수'가 아닙니다. 제곱하면 음수가 나오는 수들이 모두 '허수'입니다. 가령 $\sqrt{-2}$는 제곱하면 -2가 되는 수로 정의됩니다. 실수보다 더 '상상적'이거나 더 '허상적'이지 않습니다.

실수들과 허수들을 모두 모아 놓은 더 상위의 집합은 복소수(複素數, complex number)의 집합입니다. 여기에서 영어 단어 complex는 뭔가 복잡하다는 의미가 아니라 두 성분으로 이루어진 복합적인 대상이란 의미입니다. 왜냐하면 모든 복소수는 항상 두 개의 실수를 써서 나타낼 수 있기 때문입니다. 즉 어떤 복소수를 $z$라 하면, $z=x+ i y$가 되는 실수 $x$와 $y$를 항상 찾아낼 수 있습니다. 두 개의 성분으로 이루어져 있기 때문에 '복소수'라 부릅니다.

<장회익의 자연철학 강의> 161-163쪽을 보면, 가우스가 복소수를 나타내기 위해 소위 복소평면이란 것을 도입한 이야기가 나옵니다. 평면은 두 개의 실수로 이루어져 있습니다. 즉 $(x, y)$라고 두 개의 실수를 도입하면 평면의 한 점을 나타낼 수 있습니다. 독일의 수학자 가우스는 모든 복소수를 항상 평면의 한 점으로 나타낼 수 있음을 밝히고, 이렇게 흥미로운 '복소평면'이란 아이디어를 제안한 것입니다.

(그림 출처: https://en.wikipedia.org/wiki/Complex_number )

그런데 복소수는 재미있는 성질이 있습니다. 복소평면 위의 한 점을 두 개의 실수로 표현할 수도 있지만, $(0, 0)$이라는 원점으로부터 거리와 실수축으로부터 각으로 표현할 수도 있습니다.

(그림 출처: https://en.wikipedia.org/wiki/Complex_number )

여기에서 원점으로부터 거리는

$$ r =\sqrt{x^2 + y^2}$$

으로 주어집니다. 이것을 복소수의 '크기'라 부릅니다. 즉 $z = x + i y$일 때

$$ |z| =\sqrt{x^2 + y^2}$$

입니다. 복소수는 언제나 두 개의 실수를 함께 다루어야 하기 때문에 번거롭지만, 복소수의 크기는 양의 실수값 하나가 되어서 다루기가 편리합니다. 복소수의 크기를 제곱하면

$$ |z|^2 =x^2 + y^2$$

이 되기 때문에, 복소수의 크기라는 말 대신 복소수의 제곱이란 말을 쓸 때도 많습니다.

이를 이용하면 복소수는 언제나 $$ z = |z| e^{i\theta}$$와 같은 형태로 쓸 수 있고, 이 때 $\theta$를 이 복수수의 위상이라 부릅니다.

수학자들은 수학적 상상력을 펼쳐서 여러 개념들을 만들고 정리해 두는데, 물리학자들은 이를 가져다가 자연현상을 이해하기 위해 사용합니다. 물리학자들이 복소수 개념을 쓴다는 것은 두 개의 실수를 쓰는 것과 사실상 같습니다. 그런데 실제로는 두 개의 실수를 각각 쓰는 것이 아니라 복소수의 크기를 씁니다.

그래서 흔히 물리학에서도 실수만큼이나 얼마든지 복소수를 사용하지만, 여하간 측정을 하거나 자연현상과 맞닥뜨리는 것은 복소수의 크기이므로 '제곱'을 사용하게 됩니다.

이것이 "물리적으로 의미가 있는 것은 제곱이다. 측정을 하면 제곱이 나온다"라는 말의 직접적인 의미입니다.

그런데 조금 더 들어가 볼 필요가 있습니다. 위에서 자연수 --> 정수 --> 유리수 --> 실수 --> 복소수 등으로 수 개념을 확장해 가는 과정을 아주 간단하게 언급했지만, 허수나 복소수가 실수보다 더 '허상적'이거나 '상상적'인 것이 아니고, 실수조차도 수학자들이 개념으로 만들어낸 것임을 기억할 필요가 있습니다. 더 나아가면 유리수나 음수도 모두 개념으로 만든 것입니다.

그래서 크로네커는 자연수만이 신이 만든 것이고, 나머지 수들은 모두 인간이 만든 것이라고 말했던 셈입니다. 하지만 조금 더 들어가 보면 과연 자연수를 신이 만든 것인지도 의심됩니다. 즉 자연수라는 개념 자체가 이미 사람이 만든 것이고 자연에 내재하는 것은 아닐 수도 있지 않을까 하는 겁니다.

<장회익의 자연철학 강의>는 다른 책들과 달리 수학적 사유를 최소화하여 상세하게 다루고 있습니다. 실상 자연철학 자체를 이해하기 위해서는 이렇게 수학적 사유를 피해서는 안 된다는 주장이 들어있는 셈입니다.