<물리 상수의 값이 고정된다는 말>

2019년 5월 20일부터 물리량의 단위 정의가 완전히 바뀌었습니다. 

그 중 몇 가지 중요한 것을 정리해 봅니다. 

(1) 1초 = 세슘133 원자의 바닥상태 초미세 전이의 고유 진동수 $\Delta \nu (\mbox{Cs})$의 91억 9263만 1770배

(2) 1미터 = 빛이 1/(2억 9979만 2458) 초 동안 가는 거리

(3) 1킬로그램은 플랑크 상수의 값이 정확하게 $h=6.626 070 15 \times 10^{-34} \mbox{kg}\cdot\mbox{m}^2\cdot\mbox{s}^{-1}$이 되도록 정의한다.

$$ 1 \mbox{kg}=\frac{ (299 792 458)^2}{(6.626 070 15 \times 10^{-34})(9 192 631 770)} \frac{h \Delta \nu (\mbox{Cs})}{c^2}$$

(4) 1켈빈은 볼츠만 상수의 값이 정확하게 $1.380 649 \times 10^{-23} \mbox{J/K}$이 되도록 정의한다.

$$ 1 \mbox{K}= \frac{1.380 649 \times 10^{-23}}{(6.626 070 15 \times 10^{-34})(9 192 631 770)} \frac{h \Delta \nu (\mbox{Cs})}{k}$$

이 말의 의미를 곱씹어보는 것이 장회익 선생님께서 전개하시는 자연철학적 사유와 관련하여 의미심장합니다.

먼저 1초는 어쩔 수 없이 지구의 평균태양일의 1/86400을 기준으로 합니다. 하루 즉 평균태양일을 24시간으로 나누고, 1시간을 60분으로 나누고, 1분을 60초로 나누면, 하루는 8만 6400초가 됩니다. 그러나 평균태양일 자체는 들쑥날쑥하고 복잡하기 때문에 이것을 기준으로 시간을 측정하는 것은 부정확합니다. 그래서 그 값에 정확하게 대응하는 것으로 세슘원자를 이용한 원자시계를 사용합니다. 세슘원자의 핵에서 가장 에너지가 낮은 두 상태 사이에서 전자가 전이하면, 보어의 공식에 따라 빛이 방출되거나 흡수됩니다. 이 빛의 진동수가 9.19263177 GHz 즉 91억 9263만 1770 헤르츠입니다. 1초 동안 91억 9263만 1770번 진동하는 셈입니다. 그 파장은 3.26센티미터 정도입니다. 

1초를 평균태양일의 8만 6400분의 1로 정의하면, 세슘원자의 고유진동수는 대략 91억 9263만 1770 헤르츠가 됩니다. 즉 정확히 9.19263177 GHz가 아니라 (9.19263177$\pm \alpha$) GHz와 같이 오차가 생길 수밖에 없습니다. 그런데 세슘원자의 고유진동수는 매우 안정되어 있어서 수백만년 이상 변화하지 않습니다. 그렇다면, 시간의 단위로서 1초를 정의할 때 들쭉날쭉한 평균태양일을 기준으로 삼을 것이 아니라 반대로 세슘원자의 고유진동수를 기준으로 삼는 것이 훨씬 더 정확할 것입니다. 그렇게 하면 이번에는 평균태양일이 (86400$\pm \alpha$)초와 같이 오차를 갖게 됩니다.

그러면 1미터를 빛이 2억 9949만 2458분의 1초 동안 가는 거리로 정의한다는 말은 무슨 뜻일까요? 만일 시간의 단위 1초를 확정한 뒤에, 그와 별개로 1미터를 가령 지구 자오선의 4천만분의 1로 정의하면 미터와 초는 따로 놀기 때문에, 광속의 값이 가령 초속 (2억 9949만 2458$\pm \alpha$) 미터가 될 겁니다. 대략 초속 30만 킬로미터죠. 

하지만 <장회익의 자연철학 강의> 3장에서 반복하여 강조된 것처럼, 시간과 공간은 따로 놀지 않고 4차원 시공간의 한 부분입니다. 그러므로 1미터를 1초와 무관하게 따로 정의하는 것은 상대성이론의 기본개념에 부합하지 않습니다. 

1미터를 빛이 2억 9949만 2458분의 1초 동안 가는 거리로 정의하면, 그 때 광속, 즉 빛의 속력은 얼마가 될까요? 맞습니다. 정확히 초속 2억 9949만 2458미터가 됩니다. $\pm \alpha$ 같은 것이 없습니다. 그런 점에서 1미터의 재정의는 시간과 공간이 별개가 아니라는 상대성이론의 기본 개념을 충실하게 반영합니다.

2018년 이전까지는 1킬로그램을 프랑스 파리에 보관된 킬로그램 원기를 기준으로 삼았습니다. 그런데 킬로그램 원기라는 게 아주 불편합니다. 그 자체의 질량이 오랜 기간에 걸쳐 변하지 않는다는 보장도 없고, 매번 킬로그램을 확인하기 위해 프랑스 파리까지 갈 수도 없습니다. 대전에 있는 국립표준연구원에는 파리의 킬로그램 원기를 똑같이 복제하여 아주 정교한 상태로 보관하고 있습니다. 온도나 압력이나 기타의 상황에 따른 변화가 없도록, 그리고 그 값이 달라지지 않도록 백금-이리듐 합금을 써서 만든 것입니다. 하지만 이렇게 킬로그램 원기로 정의한 킬로그램은 양자역학의 기본정신에 부합하지 않습니다.

<장회익의 자연철학 강의> 제4장에서 상세하게 설명되고 우리 세미나에서도 여러 차례 언급된 것처럼, 위치와 운동량은 별개로 있는 것이 아닙니다. 위치의 단위는 '미터'입니다. 운동량의 단위는 '킬로그램 미터 / 초 ($\mbox{kg}\cdot \mbox{m} \cdot \mbox{s}^{-1}$)"입니다. 상태함수의 의미를 푸리에 변환을 기반으로 곱씹어 보면 $$ p = \hbar k = \frac{h}{\lambda}$$라는 식을 얻게 됩니다. 즉 운동량은 다름 아니라 '파장' 즉 길이의 역수에다가 플랑크 상수를 곱한 값과 같다는 것입니다. 이것은 소위 하이젠베르크의 불확정성 관계식에도 드러납니다. 

$$ \Delta x \Delta p \ge \frac{h}{4\pi}$$에서 보면, 길이와 운동량을 곱한 값이 플랑크 상수와 같은 단위가 됩니다. 

<장회익의 자연철학 강의> 제5장에서도 다루어졌고, 대담에서도 상세하게 나온 것처럼, 고전역학의 상태를 타나내는 위치와 운동량을 그래프의 두 축으로 삼아서 그림을 그릴 수 있습니다. 위치와 운동량을 그래프의 두 축으로 하는 추상적인 수학적 공간을 '위상공간 (phase space)'이라 부릅니다. 

하이젠베르크 불확정성(미결정성) 관계식은 그 위상공간에 최소단위가 있음을 말해 줍니다. 그것이 다름 아니라 플랑크 상수 $h$입니다. 그래서 흔히 플랑크 상수의 값을 '작용량의 양자단위 (quantum of action)'이라 부릅니다. 작용량이라는 말은 좀 어렵습니다만, 대략 위치와 운동량을 곱한 것과 같습니다. 플랑크가 1918년에 노벨물리학상을 받은 공로 중에는 이 작용량 단위의 발견도 언급됩니다. 

만일 질량의 단위를 프랑스 파리에 있는 킬로그램 원기를 기준으로 정하면, 위치와 운동량(즉 질량과 속도의 곱)을 곱한 것에 버금가는 플랑크 상수의 값도 거기에 따라 달라집니다.

그래서 2018년 이전에는 플랑크 상수의 값이 가령 $$h (2018)= (6.62606957 \pm \alpha) \times 10^{−34} \mbox{kg}\cdot\mbox{m}^2 \cdot\mbox{s}^{-1}$$와 같이 오차를 갖는 값으로 주어졌습니다. 유효숫자도 6.626은 대략 맞는데 그보다 소수점 아래 자리의 숫자들은 계속 변해왔습니다.

양자역학의 기본 개념에 부합하려 한다면, 플랑크 상수의 값이 달라진다는 것은 옳지 않습니다.

만일 1킬로그램을 킬로그램 원기가 아니라 다른 방식으로 규정해 버려서, 결과적으로 플랑크 상수의 값이 $$ h = 6.626070 15 \times 10^{−34} \mbox{kg}\cdot\mbox{m}^2 \cdot\mbox{s}^{-1}$$와 같이 오차가 없는 확정된 값이 되도록 만들 수 있습니다.

2019년에 발효된 새로운 킬로그램 정의는 바로 그렇게 만든 질량의 단위입니다. 구체적으로 말하면 1킬로그램을 규정하기 위해서는 키블 저울(https://en.wikipedia.org/wiki/Kibble_balance) 같은 것을 이용해야 합니다. 

끝으로 온도의 단위가 되는 1켈빈을 새로 정의한다는 말을 살펴보겠습니다. 2018년 이전까지 1켈빈은 순수한 물의 삼중점 온도의 1/273.16으로 정의했습니다. 삼중점(triple point)이라는 것은 아주 특이한데, 물이 액체상태(물), 고체상태(얼음), 기체상태(수증기) 모두 가능한 온도와 압력입니다. 이렇게 세 상이 모두 가능한 온도와 압력은 유일하기 때문에, 이것을 기준으로 온도의 단위를 정한 것입니다. 조금 어려운 점은 0켈빈 즉 절대영도가 실상 실험실에서 구현할 수 없는 것이라는 데 있습니다. 여하간 절대영도라는 온도가 있고, 또 삼중점이 있다면, 그 둘을 이어서 273.16 등분하면, 그 짧은 간격이 바로 온도의 기본단위인 1켈빈이 되는 것입니다. 그렇게 하면, 반대로 삼중점의 온도는 언제나 정확히 (오차 없이) 273.16 K (kelvin 켈빈)이 됩니다. 이전에는 섭씨 도(degree Celcius °C)나 화씨 도(degree Fahrenheit °F)와 유사하게 °K를 쓰기도 했는데, 지금은 '도(度 degree)에 대응하는 °를 빼고 그냥 K만 쓰고 읽는 것도 '켈빈(kelvin)'이라고 읽습니다. 물리량의 단위일 때에는 소문자로 시작합니다.

온도의 단위를 물의 삼중점을 기준으로 재기로 한다면, 에너지와 온도 사이의 관계($ E = k T$)를 나타내는 볼츠만 상수 $k$의 값은 가령 $k (2018) = (1.380 649 \pm \alpha) \times 10^{-23}$ kg⋅m²⋅s⁻²⋅K⁻¹ 와 같이 오차가 있도록 정해집니다. 그런데 2019년부터는 새로운 정의가 시작되어서 볼츠만 상수의 값은 언제나 $$k = 1.380 649 \times 10^{-23} \mbox{kg}\cdot \mbox{m}^2\cdot\mbox{s}^{-2}\cdot \mbox{K}^{-1}$$와 같이 오차가 없는 정확한 값으로 남게 됩니다. 그렇게 되면, 온도와 에너지는 사실상 같은 것으로 볼 수 있게 됩니다. 에너지와 온도의 관계 $ E = k T$에서 앞의 상수 $k$가 보편적인 숫자가 되기 때문에, 가령 온도의 단위를 에너지처럼 '줄(joule)'로 할 수도 있고, 반대로 에너지의 단위를 온도의 단위인 켈빈으로 나타낼 수도 있습니다. 우주론에서는 이런 서술을 흔히 만날 수 있습니다. 

고체 물리학 실험실에서는 흔히 상온(섭씨 25도)을 1/40 eV라고들 합니다. eV는 전자볼트(electron volt)의 약자인데, 에너지의 단위 중 하나입니다. 1 전자볼트는 1 eV = 1.602176634×10⁻¹⁹ J입니다.

볼츠만 상수의 값을 이용하면 흔히 상온이라 부르는 300 켈빈(섭씨 27도 쯤)의 온도는 에너지 단위로 0.026 eV 즉 1/40 eV 정도가 됩니다.

SI 기본단위의 재정의

https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Unit_relations_in_the_new_SI.svg#/media/File:Unit_relations_in_the_new_SI.svg

https://en.wikipedia.org/wiki/Boltzmann_constant