시지프스님의 질문에 답하는 과정에서 아무래도 이 이야기는 짚고 가야 한다는 생각이 들어서 간단하게 글을 올립니다.

뉴턴은 1687년에 <자연철학의 수학적 원리>라는 책을 내서 기존의 자연철학과는 근본적으로 다른 새로운 자연철학을 시작했습니다.

그 책에서 뉴턴의 자신의 새로운 자연철학의 출발점 즉 공리로 세 개의 법칙을 제시합니다.



널리 알려진 운동의 세 법칙입니다.

그 중 첫 번째 법칙은 다음과 같습니다.

외부에서 힘이 주어지지 않는다면, 정지해 있거나 일정한 속도로 반듯하게 움직이고 있는 물체는 그 운동 상태를 바꾸지 않는다.

이 법칙의 의미를 이해하는 것은 그리 쉬운 일이 아닙니다.

초급 물리학 책에서는 이 법칙을 둘째 법칙, 즉 외부에서 힘이 주어지면 거기에 비례하여 운동의 양 또는 운동량이 바뀐다는 법칙의 특수한 경우로 설명합니다.$$\frac{dp}{dt} = F$$에서 만일 $F=0$이면 $$\frac{dp}{dt} = 0$$이 되기 때문에, 이를 적분하면$$ p = p_0 $$ 즉 운동량이 일정한 상수가 됩니다. 운동량이 $$p=mv$$로 주어진다면, 이 말은 곧 $$ v = v_0 $$ 다시 말해서 속도가 일정하다는 말이 됩니다. 맨 처음에 속도가 0이었다면, 계속 속도가 0이 될 터이고, 처음에 0이 아닌 어떤 값이었다면, 계속 그 값을 유지한다는 뜻이 됩니다.

이런 해석은 뉴턴의 첫째 운동 법칙을 잘못 이해한 것입니다. 만일 첫째 법칙이 둘째 법칙의 특수한 경우에 불과한 것이라면, 굳이 이를 별개의 법칙으로 내세우지 않았을 것입니다. 게다가 둘째 법칙보다 먼저 말하지도 않았을 겁니다. 왜냐하면 그런 해석은 둘째 법칙의 특수한 경우로 자연스럽게 따라 나오는 '따름정리(corollary)'에 지나지 않을 터이기 때문입니다.

뉴턴의 첫째 법칙은 훨씬 더 심오하고 중요한 의미를 지닙니다. 이는 둘째 법칙이 성립하게 만드는 기본 전제이며 요건입니다.

수많은 다양한 운동 형태중에서 하필 정지해 있는 것과 일정한 속도로 반듯하게 나아가는 것만을 콕 집어서, 그 경우에는 별도로 변화의 원인(즉 힘)이 주어지지 않는 한, 원래의 상태를 그대로 유지한다고 아예 가정해 버리는 것입니다.

원래의 상태를 그대로 유지한다고 해서 이를 "관성(慣性)의 법칙"이라고 부릅니다. 영어로는 Law of Inertia가 됩니다. 사전에는 inertia를 다음과 같이 주석하고 있습니다.

1. a tendency to do nothing or to remain unchanged.
2. a property of matter by which it continues in its existing state of rest or uniform motion in a straight line, unless that state is changed by an external force.

뉴턴의 첫째 법칙이 충족되는 좌표계를 '관성계 inertial frame'라고 부릅니다.뉴턴의 자연철학 체계 안에서 관성계는 멈춰 있는 좌표계나 일정한 속도로 반듯하게 나아가는 좌표계입니다. 이것은 특수상대성이론에서도 마찬가지입니다.

갈릴레오나 아인슈타인이 배 안과 배 밖, 기차역과 기차 안, 지구와 우주선을 말하면서 여러 상황을 설명하는 이유는 바로 이 첫째 법칙, 관성의 법칙 때문입니다.

그런데 1915년에 발표된 일반상대성이론에서는 이 관성의 법칙을 수정해야 한다고 주장합니다. 멈춰 있는 좌표계나 일정한 속도로 반듯하게 나아가는 좌표계뿐 아니라 중력만 받는 좌표계도 관성계에 포함시켜야 한다는 겁니다.

물론 중력만 받는 좌표계를 언제나 관성계로 보아야 한다고 말하는 것은 아닙니다. 다른 힘을 받지 않고 떨어지고 있는 좌표계, 줄여서 자유낙하하는 좌표계는 순간적으로 또는 특정한 위치의 작은 영역에서 관성계로 보아도 좋다는 겁니다. 그래서 이것을 '국소 관성계 local inertial frame'이라 부릅니다. '국소 local'라는 말은 바로 그 위치, 바로 그 시각 주변의 아주 작은 영역이란 의미입니다.

뉴턴의 첫째 법칙을 나타내기 위해 둘째 법칙을 이용하면 $$ \frac{d^2 x}{dt^2} = 0 $$을 충족시킬 경우에 운동의 상태가 변하지 않는다는 것이 됩니다.

일반상대성이론에서는 이 관성의 법칙이 조금 달라집니다. $$ \frac{d^2 x^\alpha}{d\lambda^2}+\Gamma^\alpha_{\mu\nu}\frac{d x^\mu}{d\lambda}\frac{d x^\nu}{d\lambda}=0$$이라는 측지선 방정식을 충족시킬 경우에 운동의 상태가 변하지 않는다는 것이 새로운 관성의 법칙입니다.

이를 조금 전문적인 표현을 써서 '관성 구조 inertial structure' 또는 '아핀 구조 affine structure'라 부릅니다. (아핀 affine이란 말은 금방 의미가 들어오지 않는 어려운 개념입니다. affinity와 같은 명사로 표현하기도 하는데, 말의 의미 자체는 "연결되어 있는"이란 뜻입니다.)

관성 구조 또는 아핀 구조는 외부에서 다른 변화의 요인이 덧붙지 않았을 때, 일종의 출발점으로서 마련되어 있는 시공간의 구조를 가리킵니다.

뉴턴 역학과 특수상대성이론에서는 관성 구조가 멈춰 있는 좌표계나 일정한 속도로 반듯하게 나아가는 좌표계에 국한되는 반면, 일반상대성이론에서는 측지선 방정식을 충족시키는 경우로 정의됩니다. 그렇게 되면, 오히려 멈춰 있거나 일정한 속도로 반듯하게 나아가는 좌표계가 관성계가 아니게 됩니다. 더 정확히 말하면 "멈춰 있다"라거나 "반듯하게 나아간다"라는 말의 의미를 새롭게 정의하는 것입니다.

아래 다른 글에서 언급한 것처럼, 일반상대성이론은 원론적으로 시간과 공간과 중력에 관한 이론입니다. 여기에서는 힘이라는 개념을 아예 없애 버립니다. 그 대신 시공간의 곡률이라는 기하학적 개념으로 모든 이야기를 풀어갑니다.

그리고 그 출발점에 바로 이 새로운 관성구조의 개념이 있습니다.

이 대목에서 프랑스의 수학자 앙리 푸앵카레의 접근이 큰 힘을 발휘합니다. 푸앵카레는 아인슈타인이 일반상대성이론을 발표하기 전 1912년에 세상을 떠났습니다. 푸앵카레는 동역학을 기하학으로 환원할 수 있을까 하는 문제를 깊이 논의했습니다. 푸앵카레 자신이 탁월한 수학자였고 그러면서도 물리학의 문제에 큰 관심을 가졌기 때문에, 이 문제를 가장 잘 말할 수 있는 사람이 푸앵카레라 할 수 있겠습니다.

$$G + D = G' + D'$$

이 이상한 공식(?)이 푸앵카레의 생각이었습니다. 여기에서 '기하학'을 의미하는 G는 위에서 설명한 관성구조입니다. 뉴턴의 첫째 법칙에서 규정하는 시공간의 구조이며, 관성계를 정의하는 방식을 가리킵니다.

'동역학'을 의미하는 D는 외부에서 변화의 원인, 즉 힘이 가해질 때 어떻게 상황이 달라지는가를 말해주는 법칙 또는 주장입니다. 뉴턴의 둘째 법칙이 거기에 해당합니다.

일반상대성이론에서는 관성구조를 전혀 다른 방식으로 규정하기 때문에, 뉴턴의 둘째 법칙에 해당하는 법칙이 없습니다.

현대의 일반상대성이론 교과서들에서는 대체로

$$G + D = G'$$

라고 설명합니다. 위의 도식과 달리 오른쪽 편에 $D'$이 없습니다. 동역학적 법칙들을 모두 기하학으로 바꿔치기했다는 겁니다. 아예 '기하학화 geometrization'이란 말까지 만들어 널리 사용합니다. 아이러니한 것은 아인슈타인 자신은 동역학의 기하학화라는 관념에 반대의 의견을 제시하고 이를 밀고 나갔다는 점입니다. 2014년에 나온 논문에서 이 문제를 잘 정리해 주고 있습니다.

• Dennis Lehmkuhl (2014) "Why Einstein did not believe that general relativity geometrizes gravity" Studies in History and Philosophy of Science Part B: Studies in History and Philosophy of Modern Physics. Volume 46, Part B, May 2014, Pages 316-326
  https://doi.org/10.1016/j.shpsb.2013.08.002

저의 짧은 경험 속에서는 박사과정에 있을 때 장회익 선생님과의 개별 세미나에서 상대성이론과 현대 입자물리학이 동역학을 기하학화한다는 주장을 담은 발표를 했는데, 장회익 선생님은 그런 주장에 대해 반대의 의견을 주셨던 기억이 있습니다. 그 뒤로도 여러 차례 관련된 이야기를 주고받았는데, 장회익 선생님은 동역학이 전혀 없이 모든 것을 기하학으로 대치한다는 것은 이룰 수 없는 꿈이라는 견해를 갖고 계셨습니다.

푸앵카레는 $G + D = G' + D'$이라는 도식으로 관성구조(기하학적 측면)와 동역학적 측면을 나누는 것은 일종의 규약이며, 결과적으로는 같은 말을 하는 것이라고 주장합니다. 푸앵카레의 입장은 흔히 규약주의 또는 약속주의(conventionalism)이라 불립니다. 물리철학에서는 여전히 뜨거운 논쟁과 탐구의 주제이기도 합니다.