시지프스님의 질문 1: 텐서의 이미지
작성자
자연사랑
작성일
2020-04-18 21:26
조회
2796
지난 4월 16일 온라인 세미나에서 시지프스님이 다음과 같은 질문을 해 주셨습니다.
온라인 상에서 간단하게 답을 하긴 했는데, 아무래도 미진한 부분이 있을 것 같아서 여기에 조금 정리를 해 두겠습니다. 아무래도 여기에 쓰는 내용이 마치 시지프스님의 질문에 대한 정답인 것으로 오해되기 쉬운데, 정확히 말하면 단지 저의 개인적인 의견에 지나지 않습니다. 이 의견에 반대하는 견해도 꽤 있으리라 생각됩니다. 실상 시지프스님의 질문들이 그리 만만한 것이 아니기 때문이기도 합니다. 그런 점에서 시지프스님의 질문이 아주 뛰어납니다.
벡터에 대해서는 사원수에서 벡터로라는 제목의 글에서 간단하게 설명드렸습니다.
수학적 언어로 물리량을 나타낼 때, 크기만 있는 것을 스칼라(scalar) 양이라고 하고, 크기와 방향이 있는 것을 벡터(vector) 양이라고 합니다.
벡터로 표현된 양은 실상 위치를 표시하는 방식을 그대로 따라가게 되어 있습니다. 그래서
$$ \vec{A} = (A_1 , A_2 , A_3 , A_4) = (A_i )$$
와 같은 식이 됩니다. 4차원이 아니라 더 차원이 많아져도 마찬가지입니다.
이와 달리 스칼라로 표현된 양은 하나의 숫자만 대응합니다. 가령 온도라든가 길이라든가 질량 같은 것은 스칼라입니다.
단순화시킨다면, $A_i $ ($i =1, 2, \cdots, n$)과 같이 번호가 붙는 것이 벡터이고, 그런 번호가 없는 것이 스칼라입니다.
텐서는 그런 번호가 많은 것을 가리킵니다. 그 번호의 갯수를 '계수 rank' 또는 '차수 order'라고 부릅니다. (위피피디어 텐서 참조.)
가령 2계 텐서는
$$B_{ij} \qquad (i, j =1, 2, \cdots, n) $$
와 같이 무릎번호가 두 개 있습니다. 예를 들어 거리함수 텐서는 $g_{ab}$와 같이 무릎번호가 두 개 있으므로 2계 텐서입니다.
조금 더 복잡해지지만, 무릎번호(아랫첨자)뿐 아니라 어깨번호(윗첨자)도 가능합니다.
3계 텐서, 4계 텐서 등등을 얼마든지 정의할 수 있습니다. 가령 리만 텐서 $R^{a}_{bcd}$는 4계 텐서입니다.
조금 어려운 점이 있습니다. 무릎번호를 붙인다고 해서 조건 없이 텐서가 되는 것이 아닙니다. 가령 크리스토펠 기호 $\Gamma ^{a}_{bc}$는 텐서가 아닙니다.
다만 대체로 직관적으로는 이렇게 숫자를 늘어놓은 것을 그냥 텐서라고 해도 됩니다.
3차원에서, 가령 변형력(스트레스)이라는 양은 $\sigma_{ij}$ ($i, j =1, 2, 3$)와 같이 쓰고 9개의 양을 한꺼번에 정해 주어야 하는 양입니다. 9라는 숫자는 $3\times 3$입니다.
양철판 같은 것을 꾹 누르면 누르는 방향으로 밀리지 않고 옆으로 찌그러지기도 합니다. 이것을 잘 말해 주는 것이 바로 변형력(stress)이라는 개념입니다.
가령 $\sigma_{12}=\sigma_{xy}$라는 양은 $x$ 축 방향으로 힘을 주었을 때 $y$ 방향으로 영향을 미치는 변형력입니다. 보통 전단력 또는 어긋남의 힘이라고 부릅니다. 탄성체를 다루게 되면 이 변형력을 상세하게 다루어야 합니다.
변형력 텐서에 있는 그림이 도움이 될 수 있겠습니다.
2계 텐서는 그냥 행렬 모양으로 성분을 늘어놓으면 되지만, 3계 텐서 이상을 그렇게 쓰기가 어렵기 때문에 그냥 $B_{ijk}$와 같은 식으로 무릎번호를 나열하는 식으로 표현합니다.
물리학에서는 텐서가 그냥 계산에 쓰는 조금 복잡한 도구일 뿐인데, 수학에서는 텐서가 훨씬 더 깊은 의미로 정의됩니다.
벡터 공간 위에서 정의되는 텐서는
$$ T : V \times V \times \cdots \times V \times V^* \times V^* \times \cdots V^* \rightarrow F$$
와 같이 벡터공간들의 텐서곱에서 어떤 체 $F$로 가는 일차 사상(선형 사상)으로 정의됩니다. 여기에서 체 $F$는 실수의 집합이나 복소수의 집합으로 흔히 선택됩니다. $V^*$는 벡터 공간 $V$의 쌍대공간을 나타냅니다.
더 상세한 것은 위키피디어 항목을 참조하시기 바랍니다.
https://en.wikipedia.org/wiki/Tensor_(intrinsic_definition)
(1) 텐서의 이미지는 뭘로 잡을 수 있을까?
(2) 등가원리는 장 방정식의 어디에 적용되었나?
(3) 일반상대론에서 뉴턴 역학의 가속, 제2법칙은 어떻게 해석되는가?
가속, a 를 그에 해당하는 중력으로 바꿔서 그 주변의 공간이 휘는 것으로 바꾸고, 그런 후에 측지선 방향으로 운동하는 것으로 해석하나??
(4) 중력이 있는 곳에서 질량이 있는 물체가 측지선 운동을 한다면 , 출발점부근의 측지선이 있지만, 운동을 시작하면 장방정식의 물질분포가 변하고, 그래서 시공간의 곡률이 변하고, 그리고 측지선도 바뀌고, 다시 조금 이동하면, 또 물질분포가 바뀌고, 곡률도 바뀌고, 그러면 측지선도 또 변하고 ... 이렇게 계속 장방정식의 항들이 서로 영향을 주면서 바뀌는데, 이걸 계산하기가 ㅠㅠ (저거 잘못하면 발산하지 않을까요? 서로서로 영향을 주다가?)
온라인 상에서 간단하게 답을 하긴 했는데, 아무래도 미진한 부분이 있을 것 같아서 여기에 조금 정리를 해 두겠습니다. 아무래도 여기에 쓰는 내용이 마치 시지프스님의 질문에 대한 정답인 것으로 오해되기 쉬운데, 정확히 말하면 단지 저의 개인적인 의견에 지나지 않습니다. 이 의견에 반대하는 견해도 꽤 있으리라 생각됩니다. 실상 시지프스님의 질문들이 그리 만만한 것이 아니기 때문이기도 합니다. 그런 점에서 시지프스님의 질문이 아주 뛰어납니다.
(1) 텐서의 이미지는 뭘로 잡을 수 있을까?
벡터에 대해서는 사원수에서 벡터로라는 제목의 글에서 간단하게 설명드렸습니다.
수학적 언어로 물리량을 나타낼 때, 크기만 있는 것을 스칼라(scalar) 양이라고 하고, 크기와 방향이 있는 것을 벡터(vector) 양이라고 합니다.
벡터로 표현된 양은 실상 위치를 표시하는 방식을 그대로 따라가게 되어 있습니다. 그래서
$$ \vec{A} = (A_1 , A_2 , A_3 , A_4) = (A_i )$$
와 같은 식이 됩니다. 4차원이 아니라 더 차원이 많아져도 마찬가지입니다.
이와 달리 스칼라로 표현된 양은 하나의 숫자만 대응합니다. 가령 온도라든가 길이라든가 질량 같은 것은 스칼라입니다.
단순화시킨다면, $A_i $ ($i =1, 2, \cdots, n$)과 같이 번호가 붙는 것이 벡터이고, 그런 번호가 없는 것이 스칼라입니다.
텐서는 그런 번호가 많은 것을 가리킵니다. 그 번호의 갯수를 '계수 rank' 또는 '차수 order'라고 부릅니다. (위피피디어 텐서 참조.)
가령 2계 텐서는
$$B_{ij} \qquad (i, j =1, 2, \cdots, n) $$
와 같이 무릎번호가 두 개 있습니다. 예를 들어 거리함수 텐서는 $g_{ab}$와 같이 무릎번호가 두 개 있으므로 2계 텐서입니다.
조금 더 복잡해지지만, 무릎번호(아랫첨자)뿐 아니라 어깨번호(윗첨자)도 가능합니다.
3계 텐서, 4계 텐서 등등을 얼마든지 정의할 수 있습니다. 가령 리만 텐서 $R^{a}_{bcd}$는 4계 텐서입니다.
조금 어려운 점이 있습니다. 무릎번호를 붙인다고 해서 조건 없이 텐서가 되는 것이 아닙니다. 가령 크리스토펠 기호 $\Gamma ^{a}_{bc}$는 텐서가 아닙니다.
다만 대체로 직관적으로는 이렇게 숫자를 늘어놓은 것을 그냥 텐서라고 해도 됩니다.
3차원에서, 가령 변형력(스트레스)이라는 양은 $\sigma_{ij}$ ($i, j =1, 2, 3$)와 같이 쓰고 9개의 양을 한꺼번에 정해 주어야 하는 양입니다. 9라는 숫자는 $3\times 3$입니다.
양철판 같은 것을 꾹 누르면 누르는 방향으로 밀리지 않고 옆으로 찌그러지기도 합니다. 이것을 잘 말해 주는 것이 바로 변형력(stress)이라는 개념입니다.
가령 $\sigma_{12}=\sigma_{xy}$라는 양은 $x$ 축 방향으로 힘을 주었을 때 $y$ 방향으로 영향을 미치는 변형력입니다. 보통 전단력 또는 어긋남의 힘이라고 부릅니다. 탄성체를 다루게 되면 이 변형력을 상세하게 다루어야 합니다.
변형력 텐서에 있는 그림이 도움이 될 수 있겠습니다.
2계 텐서는 그냥 행렬 모양으로 성분을 늘어놓으면 되지만, 3계 텐서 이상을 그렇게 쓰기가 어렵기 때문에 그냥 $B_{ijk}$와 같은 식으로 무릎번호를 나열하는 식으로 표현합니다.
물리학에서는 텐서가 그냥 계산에 쓰는 조금 복잡한 도구일 뿐인데, 수학에서는 텐서가 훨씬 더 깊은 의미로 정의됩니다.
벡터 공간 위에서 정의되는 텐서는
$$ T : V \times V \times \cdots \times V \times V^* \times V^* \times \cdots V^* \rightarrow F$$
와 같이 벡터공간들의 텐서곱에서 어떤 체 $F$로 가는 일차 사상(선형 사상)으로 정의됩니다. 여기에서 체 $F$는 실수의 집합이나 복소수의 집합으로 흔히 선택됩니다. $V^*$는 벡터 공간 $V$의 쌍대공간을 나타냅니다.
더 상세한 것은 위키피디어 항목을 참조하시기 바랍니다.
https://en.wikipedia.org/wiki/Tensor_(intrinsic_definition)
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오, 이렇게 상세히 다뤄주시니 감사합니다 !!
찬찬히 읽어 보겠습니다.
예, 좋은 질문을 해 주셔서 고맙습니다. 답이 제대로 되는지 염려됩니다. 읽어보시고 또 궁금한 것이 있으면 또 답글 남겨 주시기 바랍니다.