저는 터키에 사는 개와 고양이 이야기가 흥미로웠습니다. 요즘 인간의 사회적 삶과 의학적 생명을 엄청나게 위협하는 신종 코로나 바이러스(SARS-CoV-2)도 자연철학의 맥락에서는 또 새로운 문제를 던져준다는 생각도 듭니다.


여러 이야기들 중에서 <장회익의 자연철학 강의> 172-175쪽에 있는 "시간 간격의 상대성과 고유시간"에 대한 질문이 좀 길게 이야기되었습니다.


시인처럼님의 질문을 제가 이해한 대로 적으면 이렇습니다.


(그림 3-2)에 있는 삼각형에서 $\tau$는 (X-T)라는 공간-시간을 사용하는 좌표계에서 잰 시간 간격이고 OP라는 새로운 시간축과 거기에 수직한 공간축 (X'-T')에서의 시간 간격은 OP의 길이, 즉 $\tau_0$가 됩니다.


피타고라스 정리를 써서 계산하면
$$\tau_0 = \frac{1}{\gamma}\tau$$


또는
$$t_0 = \frac{1}{\gamma}t$$


이기 때문에
$$ t = \gamma t_0$$


를 얻습니다.


여기에서 $t_0$는 (X-T) 좌표계에서 잰 나의 시간이고, $t$는 내가 볼 때 $v$의 속도로 움직이고 있는 다른 좌표계 (X'-T')의 시간입니다.


지구와 우주선으로 예를 들면, $t_0$는 지구에서 잰 지구의 시간이고, $t$는 지구에서 잰 우주선의 시간입니다.
$$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - (v/c)^2}} \ge 1$$


이므로, 지구에서 잰 우주선의 시간은 항상 지구의 시간보다 느립니다.


일단 이것 자체도 아리송하지만, 여하간 4차원 시공간 개념을 받아들인다면 어찌어찌 이해가 가는 것 같기도 합니다.


시인처럼님의 질문은 그 다음으로 갑니다. 지구에서 볼 때 우주선의 시간이 느려진다는 것을 받아들인다고 하더라도, 상대성이라는 것을 생각하면 모순이 생기는 게 아닐까 하는 것입니다.


지구의 관점에서 보면 우주선이 움직이는 것이지만, 우주선의 관점에서 보면 지구가 반대 방향으로 움직이는 것으로 보입니다.


위에서와 똑같은 논리로 우주선에서 잰 우주선의 시간과 우주선에서 잰 지구의 시간을 비교하면 후자가 전자보다 길어집니다.


즉 우주선에서 보면 우주선의 시간보다 지구의 시간이 느리게 가는 것으로 측정됩니다.


아니, 어떻게 그럴 수가 있다는 건가요? 지구에서 볼 때에는 우주선의 시간이 느려지는 것 같고, 우주선에서 볼 때에는 지구의 시간이 느려지는 것 같다니, 이건 모순 아닌가 싶은 것입니다.


이에 대한 가장 명확한 대답은 지구의 시간과 우주선의 시간에 대해 길고 짧은 것을 비교할 수 있는 방법이 없다는 것입니다. 상대성이론이 등장했을 때 수많은 논쟁으로 이어지고, 심지어 요즘도 상대성이론을 오해하거나 잘못 받아들여서 옳지 않은 이야기를 많이 하게 되는 것은 우리가 보편 시간의 관념을 버리기 어렵기 때문입니다.


여하간에 지구이든 우주선이든 시간의 길고 짧음을 비교할 수 있다고 믿는 것입니다. 이것이 혼동을 가져오는 근본 원인입니다.


아인슈타인의 1905년 접근에서는 아주 교묘한 방식으로 지구와 우주선에서 '동시'라는 개념이 상대적임을 밝히고 그 연장선에서 서로 상대방의 시간이 느려진다고 주장하는 상황을 설명했습니다. 아인슈타인에 앞서서 서로 상대방의 길이가 줄어든다고 주장하게 되는 소위 피츠제럴드-로렌츠 수축도 비슷한 방식으로 설명했습니다.


지금도 여전히 이와 같은 아인슈타인의 방식이 표준적인 접근이 되어 있습니다.


그러나 1908년의 민코프스키를 따라 시공간이 4차원 연속체로서 통일된 것이라는 점을 받아들이면, 시간이 느려진다거나 길이가 줄어든다는 식의 이야기를 4차원 불변간격의 그림자가 길어지거나 짧아지는 것으로 바꾸어 버릴 수 있습니다.


바로 그것이 (그림3-2)의 핵심입니다.


로렌츠와 푸앵카레도 좌표계의 운동에 따라 시간의 길이가 달라질 수 있다는 것을 알아냈습니다만, 이들은 그렇게 늘어난 것처럼 보이는 시간을 '겉보기 시간'이라 부르고 지구에서 본 지구의 시간이나 우주선에서 본 우주선이 시간 같은 것(즉 고유시간)을 '참된 시간'이라 불렀습니다.


상대방의 시간이 늘어난 것처럼 겉보기에 보인다고 생각한 것입니다. 그러면 겉보기에만 그러하니까 서로 상대방의 시간이 늘어진다고 보더라도 그건 그냥 겉보기일 뿐이라고 답하면 됩니다.


아인슈타인의 접근은 이와 다릅니다. 아예 애초에 '참된 시간'이란 관념을 확장해 버리자는 겁니다. 지구에서 본 우주선의 시간도 참된 시간이고 지구에서 본 지구의 시간도 참된 시간입니다. 마찬가지로 우주선에서 본 지구의 시간도, 우주선에서 본 우주선의 시간도 다 참된 시간입니다.


우주 어디에나 보편적으로 흘러가는 성스러운 시간 같은 것은 인정하지 말자는 겁니다. 여하간 각자가 나름의 시간을 가지고 있는 것이고 그 중 어떤 것도 더 우월하지 않습니다.


어찌 보면, 시간에 대한 극단적인 상대주의일 수도 있겠습니다.


다행히 그 와중에도 상대적이지 않은 듯이 보이는 시간이 있습니다. 그것이 바로 '고유시간'입니다. '고유 시간'은 우주선이 재는 우주선의 시간, 지구에서 재는 지구의 시간, 날아가는 비행기에서 잰 비행기의 시간입니다. 함께 움직이면서 내가 들고 있는 시계로 재는 시간이란 의미로 '동승계 시간'(time of co-moving frame)이란 말도 씁니다.


제가 즐겨 인용하거나 추천하는 동영상 강의가 있습니다. 미국 시카고 주변에 있는 페르미 연구소의 돈 링컨 박사의 강연인데, 가장 정확하게 여러 물리학 이론, 특히 상대성이론에 대해 말해 줍니다. 조금 복잡한 면도 없지는 않습니다만, 정확하게 말하고 있기 때문에 찬찬히 들어볼 가치가 있습니다.


">Relativity: how people get time dilation wrong


생각보다는 조금 더 혼동스럽고 미묘합니다. 어제 온라인 세미나에서도 언급했듯이, 전문적인 물리학자들조차 상대성이론을 혼동하는 경우를 가끔씩 볼 수 있습니다. 특히 이 분야를 전공하지 않는 물리학자들은 대학에서 배울 때에도 헷갈렸는데 나중에도 잘 모르겠더라고 '고백'하는 분들도 심심찮게 만날 수 있습니다. 오히려 어쩔 수 없이 상대성이론을 강의해야 하는 상황에 맞닥뜨려서 비로소 상대성이론을 조금 이해하게 되었다는 말도 들을 수 있습니다. 그러면서도 여전히 잘 모르겠다고도 합니다. 그만큼 상대성이론은 오해도 많이 되고 잘못 수용되는 일도 많은 것 같습니다.


얘기가 나온 김에 하나 덧붙이자면, '고유시간'과 마찬가지로 질량 개념도 '고유 질량' 개념을 적극적으로 받아들일 필요가 있습니다. 상대론적 질량이라든가 운동 질량이란 개념은 적절하지 않습니다. 이 점에 대해 위에서 인용한 페르미 연구소의 돈 링컨의 짧은 강의가 유익합니다.


">Is relativistic mass real?


이 물리학에서의 복잡하고 혼동스런 접근을 반복하지 않습니다. 여기에서 가장 핵심이 되는 것은 결국 뉴턴의 자연철학에서 완성된 듯이 보였던 심학 제2도가 옳지 않을 수 있다는 점입니다.



그래서 심학 제3도가 등장하게 되는 것입니다. 심학 제3도에서 먼저와 나중을 나누는 기준은 바로 '고유시간'입니다. 그리고 상태에 대한 것도 제2도에서 (위치, 운동량)으로 했던 것과 달리 (4-위치, 4-운동량)이 됩니다.


4-위치의 네 번째 성분은 시간이며, 4-운동량의 네 번째 성분은 에너지입니다.