드브로이의 물질파 개념의 '유도' 과정을 단순하게 재구성해서 정리해 둡니다.

아인슈타인이 밝혀낸
$$ E = \sqrt { (p c )^2 + (mc^2 )^2 }$$
이라는 에너지에 대한 새로운 관념을 막스 플랑크가 밝혀낸
$$ E = h \nu = \frac{hc}{\lambda}$$
과 결합해야 한다는 생각을 한 것입니다.

여기에서 $\nu$는 그리스 문자 '뉴'이고, 진동수를 의미합니다. 주기의 역수입니다. 즉
$$ \nu = \frac{1}{T}$$
인데, 정확하게 반복되는 진동에서 주기라는 것은 원래의 '상태' 또는 '위치' 또는 '변위'로 되돌아오는 데 걸리는 시간을 의미합니다.

물리학을 따로 배우지 않았다면, 진동(振動 oscillation)과 파동(波動 undulation)이 혼동스럽습니다. 진동은 제 자리에서 위치를 바꾸지 않은 채 어떤 운동이 반복되는 것을 가리킵니다. 제2장에서 나왔던 용수철 끝에 달려 있는 물체의 운동이나 기타 현의 떨림 같은 것이 진동입니다.

진동은 일정한 시간 동안 반복되는 것이어서, 이를 수식으로 나타내면
\[ u(t) = B \cos \omega t \]
또는
\[ u(t) = B \sin \omega t \]
와 같이 삼각함수로 나타내는 것이 가장 간단합니다. 사인 함수도 함께 사용하면서 모양을 편리하게 만들면
\[ u(t) = B e ^ {- i \omega t}\]
와 같이 쓸 수 있습니다. 이 때 전체 진동의 최대값과 최소값이 되는 $B$를 진동의 진폭(振幅 amplitude)이라고 부릅니다.
\[ -B \le u(t) \le B \]

이와 달리 파동은 시간이 흐름에 따라 진동이 공간 속으로 퍼져나가는 것을 가리킵니다. 규칙적인 물결을 상상해도 좋겠고, 파도타기 응원이나 크리스마스 트리에 달린 램프 줄을 생각해도 됩니다. 가만히 파도나 램프의 깜빡임을 보고 있으면 뭔가가 스르르 움직여 가는 느낌을 받을 수 있습니다. 바로 그것이 파동입니다. 파동은 시간에 따라서 달라질 뿐 아니라 위치에 따라서도 달라집니다. 쉽게 생각하면 진동의 진폭 자체가 위치에 따라 다르다고 생각하면 됩니다. 파도타기 응원을 상상하면 내 자신은 제자리에서 일어났다 앉았다 반복할 뿐이고, 특정 시점에 스틸 사진을 찰칵 찍으면 앉아 있는 사람, 반쯤 일어나 있는 사람, 완전히 일어나 있는 사람 등이 다양하게 찍힐 겁니다. 그 일어선 정도가 바로 위치에 따라 다른 진폭입니다.

이를 삼각함수로 표현하면
\[ B(x) = A\cos k x \]
또는
\[ B(x) = A\sin k x \]
쯤 될 텐데, 이를 합하여
\[ B(x) = A e^{i k x}\]
로 쓰는 것이 편리합니다. 앞의 진동을 덧붙여 생각하면
\[ u(x, t) = B(x) e^ {-i \omega t} = A e^{i k x}e^ {-i \omega t} = A e^{ i (kx -\omega t)} \]
가 됩니다.

일반적으로 파동의 수학적 표현은
\[ u(x, t) = A e^{ i (kx -\omega t)} \]
또는
\[ u(x, t) = A e^{ i (kx +\omega t)} \]
가 됩니다. 앞의 것을 오른쪽으로 움직이는 파동이라 부르고, 뒤의 것을 왼쪽으로 움직이는 파동이라 부릅니다.

$\lambda$는 파동에서 한 주기 동안 파동이 이동한 거리입니다. 주기가 눈에 보이지 않는 추상적 개념이라면 파장(波長 wavelength)은 일정한 간격으로 반복되는 파형에서 가장 높은 곳 사이의 거리나 가장 낮은 곳 사이의 거리를 가리킵니다.

(신문기사나 사회과학에서는 어떤 사건의 영향력이 커지는 것을 "파장이 크다"라고 표현하는데, 그 유래나 근거는 잘 모르겠습니다. 일본어에서도 그런 표현은 쓰지 않는 것 같고, 한국어에서만 쓰는 것으로 보입니다.)

파장의 정의 그대로 쓰면
\[ u (x + \lambda , t) = u (x ,t)\]
이어야 하므로
\[ A e ^ { i ( k (x+\lambda) -\omega t)} = A e^{ i (kx -\omega t)}\]
즉,
\[ A e ^ { i ( k x -\omega t)} e ^ { i k \lambda} = A e^{ i (kx -\omega t)}\]이므로,
\[ e ^ { i k \lambda} = 1\]
이어야 합니다. 다시 말해
\[ \cos k \lambda + i \sin k \lambda = 1\]
입니다. 복소수로 표현된 이 식은 두 개의 식이 됩니다.
\[ \cos k \lambda + i \sin k \lambda = 1 + 0 \cdot i \]
에서 양쪽을 비교해 보면
\[ \cos k \lambda = 1 , \quad \sin k \lambda = 0\]

삼각함수는 각이 $2\pi$만큼 차이날 때 값이 같습니다.
\[ \begin{align} \cos (\theta + 2\pi) &= \cos \theta \\ \sin (\theta + 2\pi) &= \sin \theta \end{align}\]

따라서
\[ k \lambda = 2 \pi\]
를 얻습니다.

플랑크의 식에서 플랑크 상수 $h$는 특별한 의미를 지닌다기보다는 에너지와 진동수를 연결해 주는 상수입니다. "에너지 = 플랑크 상수 X 진동수"이므로 플랑크 상수는 그 단위가 "에너지 / 진동수" 즉 "에너지 X 시간"이 됩니다. 표준적인 단위계에서는 "줄 초 (joule sec) = J s"가 됩니다.

2019년부터 플랑크 상수의 값은 $h=6.62607015×10^{-34}\mbox{J}\cdot\mbox{s}$으로 고정된 값으로 정해졌습니다. 더 많이 사용하는 플랑크-디랙 상수 $\hbar$ (에이치 바라 읽습니다)는 이 값을 $2\pi$로 나눈 것입니다.

이제 아인슈타인이 식과 플랑크의 식을 합해 봅니다.

빛의 경우에는 질량이 0이기 때문에
$$ E = \sqrt { (p c )^2 + \cancel{(mc^2 )^2} }= p c$$
인데, 플랑크의 식
$$ E = \frac{hc}{\lambda}$$
를 놓고, 이 둘을 같다고 놓으면
$$ p c= \frac{hc}{\lambda}$$
가 됩니다. 따라서
$$ p = \frac{h}{\lambda}$$
를 얻습니다. 빛의 경우에는 운동량이 파장의 역수로 주어짐을 알 수 있습니다.

드브로이의 주장은 이 식이 빛뿐 아니라 전자에도 적용될 수 있다는 것입니다. 그 경우 위의 식을 다르게 써서
$$ \lambda = \frac{h}{p}$$
라고 나타내면, 이 식이 매우 놀라운 의미가 됩니다.

전자에 파장이 있다는 의미가 되는 것이니까요. 바로 이것이 드브로이의 물질파 개념입니다.

드브로이는 슈뢰딩거가 파동방정식을 만들고 보른이 파동함수를 확률로 해석하자고 제안하면서 이런 이야기가 정착되어 가는 과정에도 흔들림없이 물질이 근본적으로 파동이라는 믿음을 버리지 않았습니다.

그러다가 교묘하게 전자가 마치 바다 위의 배나 서핑하는 사람처럼 파동을 타고 다닌다는 새로운 이야기를 1927년 솔베이 회의에서 제안했습니다. 이것을 흔히 파일럿 파동 이론(pilot wave theory; théorie de l'onde pilote)이라 부릅니다.

파일럿 파동은 이후 1950년대에 미국의 데이비드 봄(David Bohm 1917-1992)이 정교한 형태로 발전시켜서, 지금까지 명맥을 유지하고 있습니다.

참고로 드브로이의 식
$$ p = \frac{h}{\lambda}$$
대신 (분수 모양으로 쓰기가 불편하기도 해서) 파수(波數 wave number)라는 개념을 도입하여 다르게 쓸 때가 많습니다. 파수는 삼각함수의 주기 $2\pi$가 파장의 몇 배인가로 정의됩니다. 대개 $k$로 나타냅니다. 그렇게 하면
$$k = \frac{2\pi}{\lambda}$$
이므로
$$ p = \frac{h}{\lambda} = \frac{h}{2\pi}\cdot \frac{2\pi}{\lambda} =\hbar k$$
를 얻게 됩니다.

<장회익의 자연철학 강의> 215쪽, 576-577쪽에 관련된 설명이 있습니다.