[질문에 대한 의견] 시간, 공간, 시공간의 휘어짐과 중력
2. 시공간이 아닌 각각의 휘어짐에도 중력이 발생할까요? 시간이 휘어진다는 것은 상상하기 어렵지만, 일반상대성이론을 설명할 때 자주 보여주는 그림이 공간이 움푹 파여있고 공이 굴러가는 그림들인데, 만약에 공간만 휘어져도 중력이 발생할지 궁금합니다. (사실 현실 세계에서 시간, 공간이 각각 휘어질 수 있는지는 잘 모르겠습니다.)
==> 시간이 휘어져 있다는 것을 상상하고 느끼는 것은 실상 그리 어렵지 않습니다. 이를 위해서는 '세계선'이라는 개념을 도입하는 것이 편리합니다. 하지만 그보다 먼저 시간-거리 그래프를 살펴보는 것이 도움이 됩니다. 아래 그림은 전형적인 시간-거리 그래프입니다.
(그림출처: 위키피디어)
여기에서 멈춰 있거나 일정한 속도로 반듯하게 움직이는 물체의 운동을 서술하는 '선'은 직선입니다. 그와 달리 점점 더 빨라지는 소위 가속운동을 서술하는 '선'은 곡선입니다. 이를 수식으로 쓰면 $x (t) = 5 t^2$과 같은 꼴입니다.
[장회익의 자연철학 강의] 113-114쪽에서 다룬 낙하문제에서는 $$x(t)=h-\frac{g}{2} t^2$$이라는 수식이 나옵니다. 이 식을 그래프로 그리면 그 '선'은 곡선이 되어야 합니다.
이번에는 비스듬히 던진 물체의 운동을 생각해 봅니다. 아리스토텔레스주의 자연철학에 따르면, 대포알의 궤적도 직선이어야 합니다. 옆으로 물체를 던지거나 대포알을 쏘면 그 물체에 코나투스(아베로에스) 내지 임페투스(장 뷔리당, 운동량 개념과 유사함)를 전달해 주게 됩니다. 그 코나투스 내지 임페투스는 물체가 전진할수록 점점 빠져나갑니다. 임페투스가 다 떨어지면 물체는 지구 중심, 즉 세계의 중심을 향해 떨어지게 됩니다. 아래 그림이 그런 믿음을 대표적으로 보여줍니다.
여기 두 가지 곡선이 나옵니다. $$ y(t)= h -\frac{g}{2} t^2$$ $$ y = h - \frac{g}{2{v_0}^2} x^2$$입니다. 뒤의 것은 갈릴레오가 그린 그림을 수식으로 표현한 것이 됩니다. 우리가 직관적으로 물체를 비스듬하게 던졌을 때 물체가 그리는 궤적과 같고 곡선입니다. 그 위의 수식은 $(x, y)$가 아니라 $(t, y)$라는 좌표계에서 표현되었습니다. 직관적으로 시간을 볼 수는 없지만, 맨 위에 있는 시간-거리 그래프와 같은 수학적 장치를 이용하면, 낙하할 때 아래쪽으로 갈수록 점점 더 빨라진다는 사실을 $t^2$이 들어 있는 항으로 이해할 수 있고, 이 경우 그래프는 곡선이 됩니다.
이제 과감하게 $(x, y)$ 좌표계에서 곡선이 된다는 것, 즉 공간이 휘어진다는 것과 마찬가지로 $(t, y)$ 좌표계 다시 말해 시공간 좌표계에서 곡선이 된다는 것을 시공간이 휘어진다고 말해도 틀리지 않습니다. 후자의 경우에는 수평방향이 없고 수직방향 $y$만 가지고도 세계선이 곡선이 되는 셈이므로, 눈에 보이는 곡선은 없는 셈입니다.
이와 관련하여 일반상대성이론을 쉽게 설명한다고 하면서 도입되는 고무판 또는 트램폴린 비유의 심각한 문제를 생각해 볼 수 있습니다.
예를 들어 다음과 같은 그림이 있고, 지구 주변의 공간이 일그러져 있는, 즉 휘어 있는 것을 볼 수 있습니다.
[그림 출처: https://www.space.com ]
이 그림은 직관적이기도 하고 뭔가 중력장을 느끼게 해 주는 것처럼 보이지만, 일반상대성이론에서 서술하는 이야기와는 거의 무관합니다. 트램폴린 내지 고무판이 아래로 쑥 내려가는 것은 지구상의 중력현상 때문입니다. 그러니까 이 그림에서는 지구 쪽으로 곡선이 되게 만드는 것에 추가하여 아래 쪽으로 뭔가 원형 바둑판 모양을 곡선으로 만들어 주는 것이 있어야 합니다. 그러면 중력은 어디에서 어떻게 작용한다는 말이 될까요?
이 만화는 중력현상을 이해하기 위해 시공간을 일종의 고무판 내지 트램폴린으로 비유하는 것이 엉터리이거나 오해를 불러일으킨다는 점을 재미있게 풍자하고 있습니다.
현실세계에서 시간이나 공간이 휘어질 수 있는가 하고 생각하기보다는 시간과 공간을 함께 그린 시공간 좌표계에서 세계선이 휘어져서 곡선이 될 수 있는가 생각해 보는 것이 더 정확하고 적절합니다.
민코프스키의 1908년 논문에서는 세계선 개념을 전혀 새로운 것으로 제안했습니다.
[그림 출처: https://de.wikisource.org/wiki/Raum_und_Zeit_(Minkowski)]
위의 그림 중 오른쪽 그림은 수직축을 시간으로 하고 수평축을 공간으로 놓았을 때 정지해 있거나 일정한 속력으로 반듯하게 움직이는 (소위 등속운동) 물체의 세계선을 보여줍니다.
이와 달리 아래 그림에 있는 세계선은 가속운동을 하는 물체를 보여줍니다.
[그림 출처: https://de.wikisource.org/wiki/Raum_und_Zeit_(Minkowski)]
요약하자면, 중력이 있다는 것은 물체가 가속운동한다는 말이 되고, 그 경우 세계선은 곡선이 됩니다. 이것을 상징적으로 "시공간이 휘어 있다"라는 말로 표현합니다.
유튜브에 있는 다음 영상이 도움이 될 수도 있겠습니다.
What is General Relativity? Lesson 2: Worldlines
The Maths of General Relativity (1/8) - Spacetime and Worldlines
참고를 위해 덧붙이자면, 수학적으로 더 정확한 서술은 다음과 같습니다.
중력이 존재하는가 여부를 말해 주는 것이 거리함수 $g_{\mu\nu} (x)$인데, 물체의 운동은 소위 측지선 방정식 $$ \frac{\mathrm{d}^2 x^\mu}{\mathrm{d} \lambda^2} + \Gamma^\mu_{\alpha\beta} \frac{\mathrm{d} x^\alpha}{\mathrm{d} \lambda}\frac{\mathrm{d} x^\beta}{\mathrm{d} \lambda}=0$$으로 서술됩니다. 이 방정식에서 $\lambda$는 아핀 맺음변수로서 질량이 있는 물체의 경우 고유시간 $\tau$로 선택합니다. (고유시간은 [장회익의 자연철학 강의] 174쪽에 설명되어 있고, 거기에서는 $t_0$로 표기되었습니다.)
측지선 방정식은 [장회익의 자연철학 강의] 189쪽에 간략하게 소개되어 있습니다.
그런데 이 방정식에 나오는 크리스토펠 접속 $\Gamma^\mu_{\alpha\beta}$가 $g_{\mu\nu} (x)$의 도함수로부터 나옵니다. ([장회익의 자연철학 강의] 187쪽 참조) 따라서 중력을 서술하는 것은 거리함수뿐 아니라 크리스토펠 접속도 됩니다.
중력이 없으면 $g_{\mu\nu}$가 상수가 되고, $\Gamma^\mu_{\alpha\beta}=0$이 되므로, $$ \frac{\mathrm{d}^2 x^\mu}{\mathrm{d} \lambda^2}=0$$이 되는데, 두 번 미분해서 0이 되는 함수는 일차함수밖에 없습니다. 즉 $$x^\mu (\lambda) = a^\mu \lambda + b^\mu$$와 같고, 이것은 직선을 나타냅니다. 이와 같이 중력의 유무에 따라 세계선의 곡선 여부가 달라집니다. 그래서 시공간이 휘어 있는지 여부도 직관적으로 세계선의 곡선 여부로 판단할 수 있습니다.
그리고 조금 더 정확하게 서술할 필요가 있겠는데, 정확하게 서술할수록 직관적 이해와는 거리가 생기는 듯 합니다. 구대칭인 공간에서 특별한 조건을 부여한 것이 슈바르츠쉴트 시공간입니다. 이 시공간의 4차원 간격은 $$ ds^2 = - \left(1-\frac{R_S}{r} \right)c^2 dt^2 + \left(1-\frac{R_S}{r}\right)^{-1} dr^2 + r^2 d\theta^2 + r^2 \sin^2\theta d\varphi^2 $$으로 주어집니다. 여기에서 $R_S = \frac{2GM}{c^2}$으로서 슈바르츠쉴트 반지름이라는 이름이 붙어 있습니다. 이와 달리 중력장이 없는 민코프스키 시공간은 $$ds^2 = - c^2 dt^2 + dr^2 + r^2 d\theta^2 + r^2 \sin^2\theta d\varphi^2 $$으로 주어집니다.
이제 이 둘을 비교해 보면 시공간이 휘어있다는 말이 더 명확해집니다. 대략 위도와 경도를 나타내는 부분 $r^2 d\theta^2 + r^2 \sin^2\theta d\varphi^2$은 똑같고 표준적이므로 이 부분은 고려하지 않기로 합니다. 그러면 비교할 것은 $$ ds^2 = - \left(1-\frac{R_S}{r}\right) c^2 dt^2 + \frac{1}{1-\frac{R_S}{r}} dr^2$$과 $$ds^2 = - c^2 dt^2 + dr^2$$입니다.
시간 부분만을 보면, 민코프스키 시공간과 달리 슈바르츠쉴트 시공간에서는 시간이 중심으로부터의 거리 $r$에 따라 달라집니다. 특히 $r=R_S = \frac{2GM}{c^2}$일 때에는 $dt^2$ 앞에 있는 인수가 0이 됩니다. 또 $r< R_S$인 곳에서는 $dt^2$에 붙은 인수가 음수가 됩니다. 이와 관련하여 슈바르츠쉴트 반지름보다 안쪽으로 가면 빛조차도 빠져나올 수 없게 된다는 말을 흔히 합니다. 게다가 $dr^2$에 곱해져 있는 인수도 좀 특이합니다. 이 시공간을 잘 분석해 보면, $r=R_S$에서는 마치 시간이 흐르지 않는 듯이 보입니다. 또 이 면을 넘어서면 빛이 되돌아나올 수 없다는 것도 보일 수 있습니다. 그래서 이 면을 '사건의 지평면(event horizon)'이라 부릅니다.
이런 것을 가리켜 시공간이 휘어져 있다고 말합니다. 여기에서 핵심은 시간과 공간의 네 좌표가 다른 좌표의 값에 따라 달라진다는 점에 있습니다.
참고로 흔히 그리는 고무판 내지 트램폴린의 그림은 대략 플람의 포물면(Flamm's paraboloid)을 중간 설명 없이 가져다 쓴 것이라 할 수 있습니다. 오스트리아의 물리학자 루트비히 플람은 1916년 "아인슈타인 중력 이론에 대한 논평"에서 이 포물면을 처음 도입했습니다.
아래 그림은 슈바르츠쉴트 시공간에서 $t=\rm{const.}$, $\theta=\pi/2$로 두 좌표를 고정한 뒤, $r=r(\varphi)$와 같이 중심으로부터의 거리를 경도를 나타내는 각의 함수로 그린 것입니다. 그냥 그리면 평평한 모양이라 곡률을 드러내기 위해 가상의 좌표 $w=2\sqrt{R_S (r-R_S)}$를 도입한 것입니다. 아래 그림의 수직방향을 나타내는 $w$는 시공간 좌표와 아무 관련이 없는 추상적인 방향입니다.
[그림 출처: https://en.wikipedia.org/wiki/Schwarzschild_metric ]
위의 그림에서 맨 아래 바닥 부분은 $r=R_S$인 구에 해당합니다. 슈바르츠쉴트 시공간의 내부풀이를 고려하면 아래와 같이 막힌 포물면을 얻을 수 있습니다.
[그림 출처: https://en.wikipedia.org/wiki/Interior_Schwarzschild_metric ]
구면좌표계는 아래의 그림을 참조할 수 있습니다.
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자연사랑2024-11-27 07:12
상대성이론을 다룰 때 비유(metaphor)나 유비(analogy)가 자칫 잘못된 개념으로 이어질 수 있음을 지적하는 아래 글을 참조할 수 있겠습니다.
General Relativity: Beyond the Bowling Ball and the Trampoline
관련된 논문도 한 편 소개합니다.
Kersting, M., Steier, R. Understanding Curved Spacetime. Sci & Educ 27, 593–623 (2018).
https://doi.org/10.1007/s11191-018-9997-4첨부파일 : kersting-steier2018_understanding-curved-spacetime.pdf
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자연사랑2024-11-28 16:50
이 글의 핵심은 시공간의 휘어짐이란 말 대신 시공간 안에서 세계선의 휘어짐을 보고 중력현상을 이해할 수 있다는 것입니다. 하지만 더 정확히 말하면 시간이 공간상의 위치에 따라 달라지거나 공간상의 위치가 시간 및 다른 공간좌표에 따라 달라지는 것을 그냥 '휘어진 시공간'이나 '시공간의 곡률'이라고 부릅니다.
카카오톡 대화방에서 낙하운동과 시공간의 곡률을 비교하는 내용이 나왔습니다. 지구가 매우 크기 때문에 좁은 영역에서 보면 지구가 둥글다는 사실을 대략 무시해도 좋다고 말할 때, '곡률'은 2차원 지구표면의 곡률입니다. 낙하운동이 시공간의 '곡률'을 의미한다고 말할 때에는 시간 한 차원과 공간(연직방향) 한 차원을 합한 2차원 시공간의 곡률입니다.
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자연사랑2024-11-30 10:48
플람 포물면 그림을 확연하게 느낄 수 있게 만든 그림이 있어서 소개합니다.
https://rreusser.github.io/flamms-paraboloid/화살표 방향으로 마우스 휠을 굴리면 그림이 점점 더 재미있어집니다.
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자연사랑2024-12-02 11:00
퀀터 매거진의 동영상 해설 "Space-Time: The Biggest Problem in Physics"이 상당히 잘 되어 있습니다. 시간, 공간, 시공간을 넘어 양자역학과 양자장이론을 거쳐 초끈이론과 홀로그래피 원리까지 선명하게 잘 설명하고 있습니다.
Space-Time: The Biggest Problem in Physics
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자연사랑2024-12-02 13:46
미치오 카쿠의 설명에서 "뉴턴은 사과의 낙하를 지구가 당기는(pull) 것으로 설명한 반면, 아인슈타인은 낙하를 시공간이 미는(push) 것으로 설명했다.[gravity does not pull; space pushes]"라고 말하는 것은 그리 적절하지 않습니다. 당기는 것이나 미는 것이나 모두 어떤 실체(물체)가 있고 그것이 밀거나 당기는 상황을 가리키기 때문입니다.
일반상대성이론의 핵심은 그 전까지 당기는 것이든 미든 것이든 여하간 힘이라고 여겼던 '무게 또는 무거움(gravity)'이 실상 힘이 전혀 아니고 오히려 관찰자가 속해 있는 좌표계의 가속이라고 보는 것입니다. 말 그대로 '중력(重力)에서 '력(力)'을 없애 버린 것입니다. 이 말을 직관적으로 이해하는 것이 쉽지 않지만, 마이클 패러데이를 따라 시간과 공간 속에 중력현상과 연관된 어떤 선들이 가득 들어차 있다고 상상해도 됩니다. 눈에는 비록 보이지 않아도 지금 있는 방 안을 메우고 있는 라디오파 특히 마이크로파처럼 그렇게 지금 있는 시간과 공간이 그런 선으로 가득 차 있습니다. 선이 아니어도 되지만, 공간의 여기저기가 들떠 있고 움푹 패어 있는 것이고, 그것을 느끼는 것이 '중력'이라는 힘이라 흔히 여겼던 바로 그것입니다.
수학적 언어를 쓰지 않고 이 말을 직관적으로 이해하는 것은 어려운 일이지만, 수학적 언어가 꼭 어려운 것만은 아니기도 합니다.
"일반상대성이론 입문 5 (측지선 방정식)"에 있는 내용 중 자유낙하하는 좌표계에서는 중력(무거움)을 느낄 수 없다는 것을 가지고 중력을 $\Gamma^\beta _{\mu\nu}$라는 기호로 표현된 함수(크리스토펠 접속)로 나타내는 과정을 참조할 수 있습니다.Michio Kaku: Is God a Mathematician? | Big Think
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