좌표계의 성분에 ‘곱‘이 등장하는 이유를 설명할 때 자주 나오는 이야기는 동서 방향은 킬로미터로 재고 남북 방향은 마일로 재는 측량팀의 에피소드입니다. 동서 방향을 $x$로 나타내고 남북 방향을 $y$로 나타내기로 하면, 좌표축을 회전시킨다거나 할 떄 곤란한 경우가 많이 생깁니다. 단위를 통일하기 위해 $X=x$, $Y=ky$와 같이 새로운 좌표계를 도입합니다. $k=1.6$이라고 하면 $(X, Y)$는 모두 킬로미터 단위가 되어서 좌표축을 다른 방향으로 잡더라도 아무 문제가 없게 됩니다.

시공간의 경우에는 또 다른 인수가 도입됩니다. 그것은 $\mathrm{i}=\sqrt{-1}$입니다.

2차원 공간에서 좌표축의 방향을 바꾸는 경우에는 $X^2 + Y^2 =X’^2 + Y’^2$과 같이 거리 또는 길이는 똑같습니다. 이와 달리, 시공간에서 멈춰 있는 것과 움직이는 것을 비교할 때에는 $X^2 - c^2 T^2 = X’^2 - c^2 T’^2$과 같이 제곱의 합이 아니라 차가 똑같습니다. 이것 때문에 제곱할 때 $-1$이 나오도록 $\mathrm{i}$를 곱해 주어야 합니다.

상대성이론을 말할 때에는 거의 예외 없이 $\gamma = 1 / \sqrt{1 - v^2 / c^2}$이 등장합니다.

물리학이나 수학에서는 등호로 표현된 수식이 매우 자주 등장합니다. 등호로 표현된 수식에는 크게 (1) 방정식(equation), (2) 항등식(equality), (3) 두 물리량 사이의 관계를 나타내는 경우, (4) 문자의 정의로 나뉩니다. 방정식은 일정한 이유 때문에 항상 성립해야 하는 등식인데, 이 등식이 성립하게 만들려면 방정식 안에 있는 어떤 모르는 변수가 특정한 값이 되어야 합니다. 이와 달리 항등식은 모든 경우에 성립하는 등식입니다. 항등식과 방정식을 구별하기 위해 항등식은 줄을 세 개 그은 $A\equiv B$처럼 나타내기도 합니다.

항등식은 세 번째 경우와 연결됩니다. 수학에서는 두 번째와 세 번째가 별 차이가 없기 쉽지만, 물리학에서는 두 변수가 일정한 관계를 갖는다는 것이 가장 핵심적입니다. $B=f(A)$와 같이 종속변수와 독립변수 사이에 일종의 함수 관계가 성립합니다. 이를 직접 식으로 표현할 수 있으면 좋겠지만, 그렇지 않더라도 실험데이터를 가지고 그래프 모양을 만들어 내는 것도 쉽지 않은 성과입니다. 그래프를 그렇게 그리는 것을 커브 피팅(curve fitting)이라 부릅니다. 물리학 교과서 맨 앞에 나오는 가장 중요하고 기초적인 이야기가 바로 그것입니다. 어쩌면 모든 물리학은 실험이든 이론이든 물리량들 사이의 관계를 해명하는 것에 집중되어 있다고 말해도 크게 틀리지 않습니다.

이와 달리 네 번재 경우는 그냥 어떤 일정한 표현을 새로운 문자로 나타내는 것입니다. 항등식처럼 줄 셋으로 표현하기도 하지만 $\gamma := 1/ \sqrt{1- v^2 / c^2}$처럼 콜론을 덧붙일 때가 많습니다. 이것은 그냥 오른쪽에 쓴 표현을 왼쪽의 문자로 나타내자고 약속하는 것입니다.

$\gamma$는 그 전부터 알려져 있던 표현이 아니라 아인슈타인이 도입한 약속입니다. 더 정확하게 말하면 광속을 정확하게 측정하기 위해 간섭계를 고안한 앨버트 마이클슨의 실험을 설명하기 위해 헨드릭 안톤 로렌츠가 도입한 수학적 설명 중에 나오는 표현입니다. 그런 의미에서 상대성이론 이전에도 논문에 나온 표현이긴 하지만, 상대성이론이 본격적으로 이야기되면서 이 표현이 더 흔해졌다고 말하는 것이 안전하겠습니다.

이와 관련하여 기억할 토머스 쿤의 연구가 있습니다. 인문학이나 사회과학과 비교하면, 자연과학 분야에는 매우 특이한 전통이 있습니다. 이른바 ‘교과서를 만드는 전통’입니다.

19세기 이전에는 하나의 완결된 이론을 단행본 수준으로 서술하여 출판할 때 대개 영어로 Treatise 프랑스어로 Traité라 부르는 것을 썼습니다. 20세기 이후로는 ‘교과서 Textbook’라는 것이 만들어지기 시작했습니다. 학생들은 전문적인 연구서를 일일이 찾아서 공부할 필요 없이 교과서에 집중하면 됩니다. $\gamma=1/\sqrt{1-v^2 / c^2}$와 같은 표현이 일종의 표준이 된 것은 바로 이 교과서 전통과 밀접한 관계가 있습니다.

교과서를 공유한 사람들끼리는 여하간 어떤 식으로든 기호법도 공유하게 됩니다. 한국에서 공부를 하든 미국에서 공부를 하든 러시아에서 공부를 하든, 여하간 교과서를 공유한다면 모두 $\gamma$의 정의를 공유하는 것입니다.

조금 엉뚱한 이야기일 것 같긴 하지만, 뉴턴 방정식 $F = m a$는 실상 영어입니다. “Force equals to mass times acceleration”이라는 영어를 첫 글자만 따오고 ‘같다’는 말도 $=$로 나타내서 간단하게 표시한 것입니다.

가령 독일어로는 힘이 Kraft이고 가속도가 Beschleuningung이므로 독일어로 표현한다면 $K = m B$가 됩니다. 러시아 사람인 레프 란다우가 쓴 물리학 교과서에는 러시아어로 된 용어를 약호로 쓴 것을 자주 만나게 됩니다. 첨부한 그림은 L.D. Landau, E.M. Lifshitz. Statistical Physics의 러시아어본에서 가져온 것입니다. 여기에서 '일(work)'을 영어번역본에서는 $W$라고 쓰는 반면, 러시아어본에서는 $R$이라고 씁니다. 왜냐하면 러시아어로 '일'은 работы ('rabotsi/라보쯰')이기 때문에 첫 글자를 물리량의 기호로 쓰면 $R$이 되기 때문입니다.

(참고: "외부매질이 물체에 하는 최대 일")