미분방정식의 역사는 뉴턴까지 거슬러 올라갑니다.

뉴턴이 운동에 관한 자신의 자연철학을 구성할 때 실질적으로 미분법을 사용했음이 알려져 있습니다. <자연철학의 수학적 원리> 자체는 유클리드 기하학을 흉내내어 기하학으로 일관되어 있지만, 증명과정이나 해설에서 자주 미분법(정확히 말하면 유율법)을 사용하지 않고서는 넘어가기 어려운 대목이 자주 눈에 띕니다.

유율법(Method of Fluxions)은 현대의 관점에서 보면 대략 테일러 급수와 유사합니다. 어떤 함수(뉴턴은 이렇게 시간에 따라 변하는 양을 유량(流量 fluent)이라 불렀습니다)를 아주 작은 변화량들로 어림하는 방법입니다.

뉴턴은 이 이론의 아이디어를 대학 때 자신을 가르친 아이작 배로우(Isaac Barrow 1630-1677)에게서 가져왔습니다. 흔한 서술은 1665년 흑사병으로 케임브리지 대학에 장기간 휴교령이 내려 고향 울스소프에 갔을 때, 이 아이디어를 처음 만들었다고 합니다만, 저는 배로우가 없었더라면 한낱 아이디어에 그쳤으리라 생각합니다.

배로우의 저서 Lectiones Geometricae (1670)를 영어로 번역하여 1916년에 The geometrical lectures of Isaac Barrow, translated, with notes and proofs, and a discussion on the advance made therein on the work of his predecessors in the infinitesimal calculus라는 제목으로 출간한 J.M. Child는 서문 맨 앞에 다음과 같이 적고 있습니다.

"ISAAC BARROW was Iike first inventor of the Infinitesimal Calculus; Newton got the main idea of it from Barrow by personal communication; and Leibniz also was in some measure indebted to Barrow's work, obtaining confirmation of his own original ideas, and suggestions for their further development, from the copy of Barrow's book that he purchased in 1673."

배로우가 미적분학의 기본 개념을 생각하고 정리한 것은 1662년 무렵부터입니다. 배로우는 케임브리지 대학 트리니티 컬리지의 제1대 루카스 석좌교수였습니다. (2대가 바로 뉴턴이죠. 호킹도 이 루카스 석좌교수였습니다) 자신의 강의를 듣는 학생 하나가 아주 똑똑한 것을 알고는 그 학생을 열심히 도와줍니다. 배로우는 독창적이고 뛰어난 실력을 갖춘 자연철학자이면서 인격적으로도 아주 훌륭한 사람이었던 것 같습니다. 여하간 자신의 노트를 뉴턴에게 주다시피 하면서 오만하고 독불장군이던 똑똑한 20대 초반의 대학생에게 이 개념을 더 발전시킬 기회를 주었던 것입니다.

아래 그림은 뉴턴이 1665년 무렵에 썼다는 노트입니다. 이 노트에 미분법의 기본 개념이 숨어 있습니다.

숫자가 잔뜩 적혀 있는 곳 바로 위에 있는 본문 중 밑에서 두 번째 줄에 $$\log (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^6}{6}+\cdots+-\frac{x^{12}}{12}$$에 해당하는 내용이 적혀 있습니다. 이 식은 로그함수의 테일러-매클로린 급수 공식입니다.

그러나 유율법 이론이 공식적으로 <유율법과 무한급수 The Method of Fluxions and Infinite Series>란 제목의 책으로 출간된 것은 1736년이었습니다. 뉴턴이 세상을 떠난 후 10년쯤 뒤였죠.

유율법의 한 형태로서 관련된 이론이 나온 것은 브루크 테일러(Brook Taylor 1685-1731)의 Methodus Incrementorum Directa et Inversa (1715)에서였습니다. 라틴어를 번역하면 "순방향 및 역방향의 증가량 방법"이라 할 수 있는데, 대략 미분과 적분과 비슷한 의미입니다. 이 책의 출간은 뉴턴의 <유율법의 방법과 무한급수>보다 21년 앞섭니다.

테일러 급수는 종종 매클로린 급수라고도 합니다. 테일러 급수의 특별한 형태를 보기 좋게 써서 많이 활용한 스코틀랜드의 수학자 콜린 매클로린(Colin Maclaurin 1698-1746)의 이름을 딴 것입니다. 매클로린은 1742년에 Treatise on Fluxions이란 제목의 두 권으로 이루어진 체계적인 저서를 발표했습니다.

그렇다면 도대체 무슨 이유로 뉴턴이 미적분학을 처음 만들었다고들 하는가 궁금해집니다. 이 질문에 대한 대답은 1669년 7월 31일에 아이작 배로우가 존 콜린스(John Collins 1625-1683)에게 보낸 원고에 있습니다.

De Analysi per æquationes numero terminorum infinitas

이 원고에 담겨 있는 내용이 바로 미적분학 또는 유율법입니다. 제목은 "항이 무한히 많은 식에 의한 분석(해석)"이라 번역할 수 있습니다. 이 내용은 다시 Tractatus de methodis serierum et fluxionum (1771)이란 제목의 원고로 확장되었습니다. 이 원고의 제목은 "급수와 유율 방법에 대한 논고"라 번역할 수 있겠습니다.

배로우가 콜린스에게 1669년 7월에 보낸 초고 이전에 배로우가 콜린스에게 쓴 편지 내용에 다음과 같은 부분이 있습니다.

‘... that hath a very excellent genius to those things, brought me the other day some papers, wherein he hath set down methods of calculating the dimensions of magnitudes like that of Mr Mercator concerning the hyperbola, but very general ...’
("이 문제에 아주 뛰어난 천재성을 지닌 사람이 어느 날 페이퍼를 들고 왔습니다. 그 안에는 메르카토르가 쌍곡선에 관해 쓴 것처럼 크기의 차수를 계산하는 방법이 적혀 있었는데 아주 일반적인 것이었습니다.")

(출처: Thomas Sonar (2018). The History of the Priority Di∫pute between Newton and Leibniz Mathematics in History and Culture.

그 전에 메르카토르가 로그함수를 어림하기 위해 계산한 것이 있는데, 그 계산보다 정확할 뿐 아니라 다른 함수에도 적용할 수 있는 일반적인 방법을 적은 papers(노트? 논문?)를 들고온 총명한 천재가 있다는 겁니다.

그 다음 편지에서 그 노트 내용을 적어서 보내 준 것이었죠. 그 총명한 천재가 누구냐고 콜린스가 묻자, 배로우가 1699년 8월 20일에 보낸 편지에 다음과 같이 말하고 있습니다.

His name is Mr Newton; a fellow of our College, & very young (being but the second yeest Master of Arts) but of an extraordinary genius & proficiency in these things.
("그의 이름은 뉴턴입니다. 우리 대학 학생이고 아주 젊습니다. (학부 2학년입니다). 하지만 이런 문제에 탁월한 천재성과 재능을 가지고 있습니다.")

이 대목에서 문득 궁금해지는 것은 라이프니츠는 이 상황 어디에 들어갈까 하는 점이겠습니다. 라이프니츠는 1684년에 Nova Methodus pro Maximis et Minimis이란 제목의 논문을 발표했고 그로부터 10년 전에 이미 미적분학의 아이디어가 들어간 논문을 노트로 남겨 놓았습니다.