[장회익의 자연철학 강의] 173쪽의 그림 3-2에 대한 질문인 것 같습니다. 여기에서 핵심은 그림에서 길이를 비교해 볼 수 있는 것이 $\tau$(타우)와 $\tau_0$(타우 제로 또는 타우 노트)라는 점에 있습니다. 허수단위를 곱하여 만든 추상적인 양 타우와 시간은 $\tau=i c t$ 또는 $\tau_0 = i c t_0$와 같은 관계에 있습니다.

피타고라스 정리에 따르면 삼각형에서 밑변의 제곱과 높이의 제곱을 더하면 빗변의 제곱과 같습니다. 그래서 174쪽 맨 첫 줄에 있는 식처럼 $\tau_0 ^2 = \tau^2 (1+ \tan^2 \alpha)$가 됩니다. 그런데 매우 당혹스럽게도 $\tan^2 \alpha = - v^2 / c^2$이라서 음수입니다. 다시 말해서 $\tau_0 ^2 = \tau^2 (1 - v^2 / c^2)$이 됩니다. 따라서 $\tau_0$는 $\tau$보다 작습니다.

직관적으로 이해가 안 되는 까닭은 $\tan^2 \alpha$가 분명히 어떤 수의 제곱임에도 불구하고 음수가 되기 때문입니다.

[수학자들의 약속이 곧잘 혼동을 일으키기도 합니다. $\tan^2 \alpha = (\tan \alpha)^2$입니다. ]