수의 개념을 처음 정의하고 사용한 수학자들이 '실수(real number)'라든가 '허수(imaginary number)'처럼 일상어를 도입하는 바람에, 수 개념에 대한 오해가 자주 빚어지는 듯 합니다. 가우스는 '가상의 수'라는 용어 대신 '측면의 수(lateral number)'라는 이름을 대신 사용하자고 제안하기도 했습니다.

시간의 '축'을 허수축으로 선택한다는 것은 시간에 무슨 가상적인 요소가 있기 때문이 아니라 공간과는 전혀 다른 '방향'에 속하지만, 동시에 공간과 근본적으로 대등한 것임을 주장하는 것입니다.

이것과 관련되지만 구별되는 개념이 스티븐 호킹의 허수시간입니다. 호킹은 우주의 시작을 다루는 양자우주론에서 허수시간 $\tau = i t$을 새로 도입했습니다. ($\tau$는 그리스문자로서 '타우'라고 읽습니다.) 양자우주론의 맥락에서는 $c=1$이라 두기 때문에, 이것은 $\tau = i c t $와 마찬가지입니다. $t$가 아니라 $\tau$가 시간이라는 다소 파격적인 주장입니다.

제가 이해하기에, [장회익의 자연철학 강의]에서 시간은 여전히 $t$이고 $\tau$는 시간과 공간을 대등하게 보기 위한 수학적 도구에 지나지 않습니다.

자연철학이라는 맥락에서 보면 호킹의 주장은 꽤 놀랍습니다. 수학이라는 언어로 표현된 것이 정말 자연의 참된 모습이라고 볼 것인지, 아니면 수학적 표현은 단지 인간사회에서의 약속과 문화인지 생각해 볼 거리가 많을 것입니다.

아래 그림은 수학에서 다루어지는 수의 집합입니다. 자연수, 정수, 유리수, 대수적 수, 실수 등이 차례로 보입니다. 맨 바깥에 있는 것이 복소수(complex number)인데, 더 들어가면 이를 확장한 수가 또 있습니다. 사원수(quaternion), 팔원수(octonion) 같은 것이 있는데, 팔원수처럼 지극히 추상적일 것 같은 수 개념이 로봇의 팔 동작과 시선을 동기화하는 문제에서 핵심적인 역할을 하기도 합니다.
(그림출처: heurist.me)

세미나에서 더 상세한 이야기가 나오겠습니다만, 이 문제와 깊이 연결되어 있으면서 동시에 명료하게 구별해야 하는 '스티븐 호킹의 허수시간'이 있습니다.
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Demystifying Imaginary Time (FractalWoman)
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