앞에서 푸리에 변환의 독특한 정리 중 하나로 아래와 같은 부등식을 엄밀하게 증명할 수 있다는 이야기를 적었습니다. $$\left( \int x^2 |f(x)|^2 dx\right) \left(\int k^2 |\hat{f}(k)|^2 dk \right) \ge \frac{1}{4}\left( \int |f(x)|^2 dx\right)^2$$ 여기에서 $\hat{f}(k)$는 함수 $f(x)$의 푸리에 변환입니다.

이것은 다름 아니라 <장회익의 자연철학 강의> 216쪽에 있는 (4-10)식의 내용입니다. 그 상세한 증명은 538-539쪽에 있는 부록에 친절하게 나와 있습니다.

다르게 쓰면 $$\left( \int x^2 |\psi(x)|^2 dx\right) \left(\int k^2 |\phi(k)|^2 dk \right) \ge \frac{1}{4} \left( \int |\psi(x)|^2 dx\right)^2 = \frac{1}{4} $$

이 부등식을 여기에서 몇 가지 단계로 증명해 보겠습니다.

(1) 정의

함수 $\psi(x)$에 대한 푸리에 변환은 $$\phi (k) \equiv \hat{\psi}(k) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int \psi(x) e^{-i k x} dx$$로 정의됩니다.

(여기에서 $\equiv$는 등식의 좌우과 똑같다는 뜻이고 등치(equivalent) 또는 항등식(equality)이라고 읽습니다. 방정식(equation)은 등호의 좌변과 우변이 언제나 같지 않고, 특별한 경우에만 등호가 성립하는 것을 가리킵니다. 항등식은 단지 표현이나 기호법을 바꾸었을 뿐이고 등호의 좌변과 우변이 완전히 같은 경우입니다. 방정식과 구별하기 위해 세 줄을 그은 $\equiv$을 씁니다.

이와 관련하여 $A:=B$라고 쓰는 것은 오른쪽에 $B$로 표시한 이러저러한 표현을 그냥 줄여서 $A$라고 두겠다는 기호입니다. $A=:B$라 쓴 것은 반대로 왼쪽에 있는 이러저러한 표현을 앞으로 $B$로 쓰겠다는 기호가 됩니다.)

디랙 델타 함수는 다음 성질을 만족시키는 분포 $\delta(x)$로 정의됩니다.$$\begin{align}\delta(x)&=0 , \quad (x\not=0) \\ \int_{-\infty}^{\infty} \delta(x) dx &= 1 \end{align}$$

(2) 예비정리 1: 역변환

푸리에 변환의 역변환은 $$\psi (x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int \phi(k) e^{i k x} dk$$로 주어집니다.

[증명] ... (#82번 글 참조)

(3) 예비정리 2: 디랙 델타 함수

디랙 델타 함수는 다음과 같이 주어짐을 보일 수 있습니다. $$ \delta(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} e^{i k x}dk$$

[증명] ... (#88번 글 참조)

(4) 파르세발(Parseval)의 정리

$$\int |\psi(x)|^2 dx = \int |\phi(k)|^2 dk $$

[증명] 예비정리 1에 담긴 역변환의 식과 예비정리 2에 담긴 디랙 델타 함수의 표현을 이용합니다. $$\begin{align} \int |\psi(x)|^2 dx &=\int \psi^{*} (x) \psi (x) dx \\ &= \int \left( \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int \phi(k) e^{i k x} dk \right)^{*} \left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int \phi(k') e^{i k' x} dk'\right) dx \\ &=\frac{1}{2\pi}\int\int\int \phi^{*}(k) e^{-ikx} \phi (k') e^{ik'x} dk dk' dx\\ &=\int\int \phi^*(k) \phi (k') \left(\frac{1}{2\pi}\int e^{i(k'-k)x} dx\right) dk' dk \\
&= \int\int \phi^*(k) \phi (k') \delta(k'-k) dk' dk \\ &= \int \phi^*(k) \phi (k) dk \\ &= \int |\phi(k)|^2 dk  \end{align}$$

(5) 예비정리 3: 도함수의 푸리에 변환

어떤 함수의 도함수의 푸리에 변환은 그 함수의 푸리에 변환에 $ik$를 곱한 것과 같습니다.

간단한 표기를 이용하면 $$ \hat{f'}(k) = ik \hat{f}(k)$$가 됩니다. 여기에서 $f$의 푸리에 변환 $\hat{f}$은 $$\hat{f} (k) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int f(x) e^{-i k x} dx$$로 정의됩니다. $$\mathcal{F}\{ f\}(k) := \hat{f}(k)$$라는 기호로 다시 쓰면 $$ \mathcal{F}\left\{\frac{df}{dx}\right\}(k) = ik \mathcal{F}\{ f\}(k)$$

[증명] 부분적분을 이용하면 $$\begin{align} \hat{f'}(k)&=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int f'(x) e^{-ikx} dx \\ &=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \biggl[ f(x) e^{-ikx} \biggr]_{-\infty}^{\infty} -(-ik)\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int f(x) e^{-ikx} dx \\ &=ik \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int f(x) e^{-ikx} dx \\&= ik \hat{f}(k) \end{align}$$

(6) 예비정리 4

파르세발의 정리를 이용하면 예비정리 3으로부터 $$\int |\psi'(x)|^2 dx = \int |\phi' (k)|^2 dk =
\int |ik \phi(k)|^2 dk = \int k^2 |\phi(k)|^2 dk$$

(7) 예비정리 5: 이차식이 음수가 되지 않을 조건

$A, B, C$가 모두 실수이고 $A>0$일 때, 모든 실수 $\alpha$에 대하여 $$I(\alpha) = A \alpha^2 - B \alpha + C \ge 0$$이려면 $$ B^2 \le 4 A C $$이어야 한다.

[증명] $$\begin{align} I(\alpha) &= A \alpha^2 - B \alpha + C \\ &= A\left[ \alpha^2 - \frac{B}{A} \alpha + \left(\frac{B}{2A}\right)^2 -\left(\frac{B}{2A}\right)^2 \right] + C \\ &= A \left(\alpha - \frac{B}{2A}\right)^2 - \frac{B^2}{4A} + C \\ &=A \left(\alpha - \frac{B}{2A}\right)^2 - \frac{B^2 - 4AC}{A} \end{align}$$$I(\alpha)\ge 0$이려면 맨 끝의 항의 분자가 항상 0보다 작아야 합니다. (왜냐하면 $A> 0$)

따라서 $$ B^2 \le 4 A C $$

(8) 본 정리의 증명

어떤 아무 실수 $\alpha$에 대하여 $$I(\alpha) :=\int | \alpha x \psi(x) + \psi'(x)|^2 dx$$라 하면, 절대값 제곱을 적분했으므로 이 양은 언제나 0보다 크거나 같습니다. $$I (\alpha) = \alpha^2 \int x^2 |\psi(x)|^2 dx + \alpha \int x (\psi \psi'^* + \psi^* \psi' ) dx +\int |\psi'(x)|^2 dx$$ $$ \frac{d}{dx} |\psi(x)|^2 = \frac{d\psi*}{dx}\psi \ + \psi^* \frac{d\psi}{dx}= \psi \psi'^* + \psi^* \psi' $$이므로, 두 번째 항은 $$ \int x \frac{d}{dx} |\psi(x)|^2 dx =\cancel{ x |\psi|^2 \bigg]_{-\infty}^{\infty}} - \int |\psi(x)|^2 dx$$

세 번째 항은 예비정리 4로부터 $$\int |\psi'(x)|^2 dx = \int |ik \phi(k)|^2 dk = \int k^2 |\phi(k)|^2 dk$$

따라서 $$\begin{align} I (\alpha) &= A \alpha^2 - B \alpha + C\\ A & := \int x^2 |\psi(x)|^2 dx \\ B & := \int |\psi(x)|^2 dx \\ C & := \int k^2 |\phi(k)|^2 dk \end{align}$$로 쓸 수 있습니다.

$\psi(x)$가 상태함수라면 그 절대값 제곱이 확률이므로 $$ \int |\psi(x)|^2 dx = 1$$입니다.

모든 실수 $\alpha$에 대하여 $I (\alpha)\ge 0$이므로, 예비정리 5로부터 $$4 A C \ge B^2$$ 또는 $$ A C \ge \frac{1}{4}B^2$$ 또는 $$\left(\int x^2 |\psi(x)|^2 dx \right) \left(\int k^2 |\phi(k)|^2 dk\right) \ge \frac{1}{4}\left( \int |\psi(x)|^2 dx\right)^2 = \frac{1}{4}$$

그런데 위 식의 왼쪽 변의 두 인수는 각각 $\langle x^2 \rangle$, $\langle k^2 \rangle$이므로, 결국 $$ \langle x^2 \rangle \langle k^2 \rangle \ge \frac{1}{4}$$

한편 $$\begin{align} \Delta x &= \sqrt{\langle x^2 \rangle - \langle x \rangle^2}\\  \Delta k &= \sqrt{\langle k^2 \rangle - \langle k \rangle^2 } \end{align}$$ 이고, 일반성을 잃지 않고 $\langle x \rangle=0$, $\langle k \rangle=0$으로 둘 수 있으므로, 최종적으로 $$\Delta x \Delta k \ge \frac{1}{2}$$를 얻을 수 있습니다.

(9) 하이젠베르크 불확정성 원리의 증명

(8)의 증명은 단지 푸리에 변환에 대해 원함수와 변환된 함수에 대해 이런 부등식이 성립한다는 것에 지나지 않습니다. 아직 양자역학과 직접적인 관계가 없습니다.

그 다음 단계는 푸리에 변환에 나오는 $k$라는 맞공간 변수를 운동량과 연결시키는 대목입니다.

만일 운동량이 $$p = \hbar k $$와 같이 정의된다면, (8)에서 유도한 부등식으로부터 $$\Delta x \Delta p = \Delta x \Delta (\hbar k) = \hbar \Delta x \Delta k \ge \frac{\hbar}{2}=\frac{h}{4\pi}$$가 되고, 이것은 1927년에 하이젠베르크가 제안했던 바로 그 부등식입니다.

더 상세한 것은 #92번 글을 참조하시기 바랍니다.