<장회익의 자연철학 강의> 217쪽에 있는 문장을 조금 더 들어가 볼 필요가 있습니다.

"지금까지 모든 사람들이 맞함수 $\Phi(k,\omega)$는 상태함수 $\Psi(x, t)$와 표현 형태만 다들 뿐 동일한 내용을 지닌 것이어서 이는 양자역학의 수학적 서술을 가능케 하는 또 하나의 다른 서술양식일 뿐 특별한 의미가 없다고 생각해왔다. 그런데 정말 놀라운 사실은 자연이 이 여분의 함수와 여분의 공간 안에 매우 중요한 물리적 의미를 담아놓았다는 점이다."

이 문장을 처음 보았을 때 물리학을 공부한 저로서는 고체물리학 첫 시간에 배웠던 '브라베 격자(살창)'와 '역 격자 reciprocal lattice'를 떠올리지 않을 수 없었습니다.

고체물리학에서 가장 기본이 되는 '결정'은 분자들이 주기적인 형태로 반복되는 것이 특징입니다. 19세기 중반 프랑스의 물리학자 오귀스트 브라베(Auguste Bravais 1811-1863)가 결정 속에서 주기적인 구조를 찾아냈고, 지금 이를 "브라베 격자"라 부릅니다. 격자(lattice)는 정글짐처럼 네모난 모양들이 반복되는 구조입니다. 순화된 용어로 '살창'이라고도 합니다.


(그림 출처: 위키미디어)

광물의 결정을 탐구하기 위해서는 브라베 격자가 유용한데, 고체의 성질을 탐구하려면 조금 다른 방식을 사용합니다.

앞에서 음파의 여러 복잡한 양상을 분석하기 위해 푸리에 변환을 이용하는 것을 보았습니다. 이것과 마찬가지로 브라베 격자의 요소들을 푸리에 변환하면 고체의 성질을 탐구하는 데 큰 도움이 됩니다. 그래서 지금 고체물리학에서는 가장 기본적인 언어로 자리를 잡았습니다.

이 때 푸리에 변환에 해당하는 격자를 역격자(reciprocal lattice)라 하고 흔히 $\vec{K}$로 나타냅니다. 역격자 벡터들이 살고 있는 공간을 역공간(reciprocal space) 또는 $K$-공간이라 부릅니다.


(그림 출처: Triangular Lattice of Rods)

장회익 선생님께 '맞공간'이란 개념과 용어가 고체물리학의 '역격자 벡터'나 '역공간'과 관련이 있는지 여쭤보았더니, 아니나다를까 그것과도 깊이 연관된다고 대답해 주셨습니다.

그러나 역격자 벡터나 역공간은 문제를 쉽게 풀기 위한 기법으로 도입된 것이고 브라베 격자나 역격자나 같은 내용을 담고 있다는 것이 흔한 생각입니다. 말 그대로 서술양식만 달라진 거라 생각하는 겁니다.

장회익 선생님의 새로운 주장은 바로 그 수학적인 $(k, \omega)$에 아직 확정되지 않은 어떤 보편상수 $\hbar$를 곱하여 $(\hbar k , \hbar \omega)$로 바꾸면, 이것이 다름 아니라 $(p, E)$가 된다는 것입니다.

3차원 공간으로 확장하면
$$((\mathbf{x}, t) \rightarrow_{\mbox{Fourier}} (\mathbf{k},\omega) \rightarrow (\hbar\mathbf{k},\hbar\omega) \rightarrow (\mathbf{p},E)$$
와 같이 쓸 수 있습니다.

되돌아간다면, 운동량과 에너지의 개념 자체를 시공간의 맞공간으로부터 새롭게 정의할 수 있다는 겁니다.

운동량이란 개념을 곱씹어 보는 것이 중요합니다. 역사적으로 거슬러 가면, 운동량(momentum)이란 용어는 '운동의 양 (quantity of motion)'의 라틴어 표현이고, 이것은 다시 14세기 파리 대학에서 이야기되던 '임페투스 (impetus)'와 '코나투스 (conatus)'로 이어집니다. 14세기 파리 대학을 중심으로 아리스토텔레스주의 자연철학에서 운동에 대한 논쟁이 활발했습니다. 이 과정에서 운동을 지속하게 하는 근본적인 원리로서 '임페투스'의 이론이 정립됩니다. 장 뷔리당(Jean Buridan c.1301-c.1359이나 니콜 오렘(Nicole Oresme 1320-1382) 등이 이 논쟁의 주역이었습니다.
더 정확하게 말하면 이미 11세기 페르시아의 이븐 시나(아비케나 ابن سینا‎ c.980-1037)라든가 12세기 이슬람의 알바그다디(Abu'l-Barakāt Hibat Allah ibn Malkā al-Baghdādī c. 1080-1164)가 기본 개념을 만들어 놓은 것을 뷔리당이 확장한 것이라고 보는 게 옳습니다.

뉴턴에 이르러 이 운동의 양이 "질량과 속도가 함께 만드는 양"으로 규정되었고, 수식으로 써서 $p=m v$라는 것이 확립되었습니다. 고전역학에서는 이 정의가 아무런 의심 없이 300년 넘게 지속되었습니다.

그래서 운동의 상태를 말할 때에도 "지금 어디에 있는가?"(위치)와 더불어 "앞으로 어디로 튈 것인가?"를 말하는 기본적인 요소로 그 운동량이 들어왔던 것입니다.

그런데 전기, 자기, 빛까지 고려하면서 곰곰 따져 보니까 운동량을 그냥 곧이곧대로 $p=mv$라고 하면 안 된다는 것을 알게 된 것이 바로 상대성이론이었습니다.

새롭게 정의된 운동량은
$$p = \frac{mv}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$$
와 같이 표현됩니다. 게다가 그전까지 별개이며 독립이라고 생각했던 공간과 시간이 실상 4차원 시공간의 부분이었던 것처럼, 이 새로운 운동량은 에너지와 더불어 4차원 운동량을 이룬다는 것이 밝혀졌습니다.
$$(P^\mu)= (\frac{m\vec{v}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}, \frac{mc}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}})$$

이제 양자역학에 이르러 운동량과 에너지의 새로운 의미가 드러났습니다.
$$\begin{align} \vec{p} &= \hbar \vec{k}\\
E&=\hbar\omega \end{align}$$
가 그것입니다.

여기에서 $(\vec{k}, \omega)$는 보통의 공간-시간 $(\vec{x}, t)$에 대하여 푸리에 변환을 통해 정의된 맞공간(reciprocal space)입니다.

푸리에 변환을 무슨 신비한 변환이라고 생각할 필요는 없습니다. 수학적 서술에서, 위치와 일종의 '켤레' 관계로서 운동량이 규정되고, 또 시간과 일종의 '켤레' 관계로서 에너지가 규정된다는 말에 지나지 않습니다.

이 주장은 그 동안 다른 곳에서는 지나가면서 살짝살짝 언급되거나 한두 문장이 나오는 내용이었는데, <장회익의 자연철학 강의>에서는 아예 이 주장을 양자역학의 기본 공리 수준으로 끌어올렸습니다. (기초(基礎)는 대개 밑에 있으니 끌어내렸다고 해야 옳을지도 모르겠습니다.)

이렇게 양자역학의 공리를 선택한 결과는 다음과 같습니다.

(1) 입자-파동 이중성이라는 개념이나 그와 관련된 논쟁이 부적절하거나 불필요합니다.

(2) 위치와 운동량은 함께 고려할 수 있는 물리량이 아닙니다.

(계속)