푸리에 변환과 푸리에 해석은 일상적이고 기초적인 기술입니다. 이것이 양자역학을 이해하는 데 도움이 될 수 있다는 아이디어는 좀 놀랍기도 하지만 당황스럽기도 합니다.

그런데 실상 양자역학을 깊이 파고들면 푸리에 변환이 매우 중요한 역할을 하는 것을 알게 됩니다.

<장회익의 자연철학 강의>에서 이야기되는 것을 제가 이해한 방식으로 써 보겠습니다. 이것이 장회익 선생님의 생각과 일치하는지는 세미나에서 더 여쭤보아야 할 것 같습니다. 장회익 선생님의 서술에서는 시간과 공간이 대응하여 함께 나와서 전체적으로 좀 복잡한 느낌이 듭니다. 그래서 저는 시간에 대한 것은 모두 빼고 이야기를 해 보겠습니다.

양자역학은 상태를 (위치와 운동량)으로 말하는 대신 $\psi(x)$라는 어떤 함수로 서술하기로 작정한 역학입니다.

이 상태함수는 제곱하면 확률이 되는 독특한 성질을 지니고 있습니다. (정확히 말하면 확률밀도함수가 됩니다.)

일반적으로 기대값은
$$\langle x \rangle = \sum x_i p_i \rightarrow \int x p(x)$$
가 되는데, 이 $p(x)$를
$$p(x) = \psi^* (x) \psi(x) dx$$
와 같이 쓰겠다는 것입니다. 여기에서 * 기호는 켤레복소수를 의미합니다.

가령 위치의 기대값은
$$\begin{align}\langle x \rangle &= \int x p(x) \\&= \int x \psi^*(x) \psi(x) dx \\ &= \int \psi^*(x) x \psi(x) dx\end{align}$$
으로 주어집니다.

그런데 양자역학이 상태를 (위치, 운동량)으로 하지 않는다는 이야기를 다르게 말하면, 운동량의 기대값이
$$\langle p \rangle = \int \psi^*(x) p \psi(x) dx$$
로 주어지지 않는다는 말과 같습니다.

그러면 양자역학에서 운동량은 어떤 식으로 알 수 있을까요? $\psi(x)$의 푸리에 변환을 이용하면 운동량을 알 수 있다는 것이 기본 골자입니다.

$\psi(x)$의 푸리에 변환은
$$\phi(k)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int \psi(x) e^{-ikx}dx$$
로 정의됩니다. 여기에서 $p$가 살고 있는 공간은 위치 공간과 달라서 이를 '맞공간'이라 부르기로 합니다.

이 맞공간에서는
$$\langle k \rangle = \int \phi^*(k) k \phi(k) dk$$
라고 주장하는 것이 자연스럽습니다.

$$-i\frac{d}{dx} e^{ikx} = k e^{ikx}$$
라는 사실을 이용하면
$$\langle k \rangle = \int \psi^* (x) \left(-i\frac{d}{dx}\right) \psi(x) dx$$
임을 유도할 수 있습니다.

[여기에서 유도를 간단하게 하려면
$$\int_{-\infty}^{\infty} e^{i k (x-y)}dk=2\pi \delta(x-y)$$
임을 이용해야 합니다. 그런데 이 적분이 실상 특이적분이라서 상당히 까다롭습니다. 여기에서 $\delta(x-y)$라 부른 디랙 델타 '함수'는 실상 함수가 아닙니다. 상세한 것은 나중에 더 적어보도록 하겠습니다.]

푸리에 변환이라는 독특한 함수의 변환을 이용하여 $\langle k \rangle$의 표현을 찾긴 했는데, 이것이 운동량과 무슨 관계인가 의문이 들 것입니다.

이 대목이 상당히 오묘한 곳입니다.

결과를 먼저 적으면
$$\langle p \rangle = \langle \hbar k \rangle = \hbar \langle k \rangle$$
라 주장하는 것이 양자역학입니다. 여기에서 $\hbar$는 $1.054\times 10^{-34}$ m$^2$ kg / s라는 값을 갖는 보편상수입니다. 플랑크 상수라 부릅니다.

이 문장을 이해하기 위해서는 <장회익의 자연철학 강의> 201-206쪽을 천천히 다시 음미하며 읽어볼 필요가 있습니다.

"그는 거대한 장막의 한쪽 귀퉁이를 들어 올렸습니다."

루이 드브로이의 박사학위논문에서 바로 이
$$p = \hbar k = \frac{h}{\lambda}$$
가 처음 등장했습니다. 운동량이 파장의 역수라는 이야기입니다. 얼핏 보면 무슨 말인가 싶지만, 빛의 경우에 운동량이 무엇인지 파고들어가면 맥스웰의 전자기 이론을 써서
$$p = \frac{h}{\lambda}$$
임을 유도할 수 있습니다. 아시다시피 빛의 파장은 색깔과도 관련됩니다. 무지개의 빨간색은 파장이 780 나노미터 정도 되고 보라색은 350 나노미터 정도 됩니다. 파장이 길어지면 적외선, 마이크로파, 라디오파 등등이 되고, 보라색보다 파장이 짧은 것은 자외선, 엑스선, 감마선 등등이 됩니다.

드브로이의 황당할 수도 있는 발상은 이 간단한 등식을 다르게 써 보는 것입니다.
$$\lambda = \frac{h}{p}$$
이 식은 분명히 빛에 대해서는 성립하지만 빛이 아닌 경우에도 성립할 것 같지 않습니다. 드브로이는 운동량이 있는 물질도 빛처럼 파장을 지닌다는 황당한 주장을 한 것입니다.

피에르 랑주뱅이 이 논문을 아인슈타인에게 보냈을 때, 아인슈타인의 대답이 바로 "그는 거대한 장막의 한쪽 귀퉁이를 들어 올렸습니다."("He has lifted an edge of the great curtain.")였다고 합니다.
[<장회익의 자연철학 강의> 204쪽; Yuri A. Berezhnoy (2005). The quantum world of nuclear physics. WS. p. 9]