(2) '상태'의 함수적 성격과 맞공간

앞에서 다소 장황하게 푸리에 변환에 대해 설명을 시도해 보았습니다.

<장회익의 자연철학 강의>에서 양자역학으로 가는 길이 특별한 이유는 흔히 말하는 힐버트 공간을 사용하지 않기 때문입니다. 그 대신 훨씬 더 널리 사용되고 꽤 많은 사람들(주로 이공계)에게 익숙한 푸리에 변환만 가지고 이야기를 풀어갑니다.

[약간 더 정확히 말하자면, 푸리에 변환을 수학적으로 더 체계화하고 다듬어서 여러 수학적 난점들을 잘 정리한 것이 바로 힐버트 공간이라 할 수 있습니다. 그래서 양자역학의 표준적인 형식체계가 힐버트 공간 형식체계입니다. 그러나 '자연철학'이라는 맥락에서 굳이 힐버트 공간까지 갈 필요가 없다는 것이 장회익 선생님이 판단이신 듯 합니다. 저는 여하간 힐버트 공간이라는 아름다운 수학이론을 활용하는 것이 더 좋다고 생각하지만, 여기에서는 <장회익의 자연철학 강의>를 이해하기 위한 보충적인 설명을 하는 '조교'로서의 역할에 충실하도록 하겠습니다.]

시간의 함수(흔히 시계열이라 합니다) $f(t)$ 대신 그 푸리에 변환인 $F(\omega)$를 써도 필요한 정보를 모두 얻을 수 있듯이, 위치의 함수도 마찬가지입니다. 위치와 시간의 함수라면 두 개의 새로운 변수가 필요합니다. 그것이 $(k, \omega)$입니다.

앞에서 상태함수가 $\Psi(x, t)$로 주어진다고 했는데, 그 상태함수의 푸리에 변환으로 새로운 상태함수 $\Phi(k, \omega)$를 정의할 수 있습니다.$$\Phi(k,\omega) = \frac{1}{2\pi}\int \Psi(x) e^{-i (k x- \omega t)} dx dt$$[<장회익의 자연철학 강의> 215쪽 식 (4-5)]

$\Phi(k, \omega)$를 $\Psi(x, t)$의 맞함수라 하고 $(k, \omega)$를 $(x, t)$의 맞공간이라 하자는 것이 장회익 선생님의 제안입니다.

앞에서는 위치의 기대값이 $$ \langle x \rangle = \int \Psi^* (x, t) x \Psi (x,t)dxdt$$으로 주어진다고 했는데, 맞공간과 맞함수에 대해 $$ \langle k \rangle = \int \Phi^*(k, \omega) k \Phi(k, \omega)dxdt$$로 정의하는 것이 자연스럽습니다. 이제 원래의 상태함수로 이 표현을 계산해야 합니다.

이 대목은 조금 어렵습니다만, 여하간 $$\langle k \rangle =\int \Psi^*(x,t) \left(-i\frac{\partial}{\partial x}\right) \Psi(x,t)dx dt$$를 얻을 수 있습니다.

증명은 아래 식처럼 됩니다.$$\Phi(k,\omega) = \frac{1}{2\pi}\int \Psi(x) e^{-i (k x- \omega t)} dx dt$$를 위의 식에 넣으면 $$\begin{align} \langle k \rangle &= \int \left(\frac{1}{2\pi}\int \Psi(x',t') e^{-i (k x'- \omega t')} dx' dt' \right)^* k \left(\frac{1}{2\pi}\int \Psi(x,t) e^{-i (k x- \omega t)} dx dt \right) dk d\omega\\ &=\int \Psi^*(x',t') \frac{1}{(2\pi)^2}\int k e^{-i\left\{k(x-x')-\omega (t-t')\right\}}dkd\omega \Psi (x, t) dxdt dx'dt'\\
&=\int \Psi^* (x', t') \left(-i\frac{\partial}{\partial x} \frac{1}{(2\pi)^2}
\int e^{-i\left\{k(x-x')-\omega (t-t')\right\}}dkd\omega \right)
\Psi (x, t) dxdt dx'dt\\ &=\int \Psi^*(x',t') \left(-i\frac{\partial}{\partial x}\right) \delta(x-x')\delta(t-t')\Psi(x,t)dx dt dx' dt'\\
&=\int \Psi^*(x,t) \left(-i\frac{\partial}{\partial x}\right) \Psi(x,t)dx dt
\end{align}$$이 됩니다.

더 상세하고 친절한 증명은 <장회익의 자연철학 강의> 536-537쪽에 있습니다.