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녹색아카데미

더 나은 앎으로 푸른 미래를 가꾸는 사람들의 공부모임

새 자연철학 세미나

제4장 내용 정리에 대한 짧은 정리

작성자
자연사랑
작성일
2020-02-18 16:59
조회
3573

<장회익의 자연철학 강의> 제4장 "소를 얻다 - 양자역학"의 내용 정리에 대해 제 나름의 정리를 올립니다.

먼저 언급할 점은 이 장의 내용이 양자역학의 전부도 아니고 양자역학의 철학적 이해도 아니고 양자역학의 해석도 아니라는 점입니다. 더 정확하게 말하면, 양자역학이라는 물리학 이론을 가지고 장회익 선생님의 자연철학적 사유를 전개하고 있는 것입니다.

그런 점에서 이 장의 내용 정리는 다음과 같은 특징을 지닙니다.

(a) 물리학자들이 사용하는 양자역학 교과서와 상당한 차이가 있습니다. 다수의 양자역학 교과서는 실상 양자역학이 무엇인지 친절하게 설명하지 않는 편입니다. 그보다는 차근차근 슈뢰딩거 방정식을 풀 수 있는 여러 기법들을 가르쳐 줍니다. 이와 달리 <장회익의 자연철학 강의>에서 관심 있는 것은 양자역학이라는 대단히 세련되고 정교한 이론이 이 세계에 대해 무엇을 말해 주는가입니다.


(b) 물리학자나 철학자가 선호하는 소위 "양자역학의 해석" 중 하나가 들어 있는가, 하고 질문할 수 있는데, 그 질문에 대한 대답은 그렇기도 하고 아니기도 하다는 것입니다. 장회익 선생님은 '서울해석'이라는 독특한 해석을 고안하셨고, 저도 그 해석을 발전시키고 퍼뜨리려 애를 쓰고 있습니다. 그런데 <장회익의 자연철학 강의>에 새롭게 들어온 것은 해석이 아니라 양자역학의 형식체계에 대한 새로운 접근입니다.


(c) 양자역학 이야기에 흔히 나오는 '불확정성 원리' '입자-파동 이중성' '슈뢰딩거의 고양이' 같은 이야기를 신비주의적으로 접근할 필요가 없습니다. '입자-파동 이중성'은 잘못된 개념임이 밝혀질 것이고, '불확정성 원리'는 기본 공리로부터 유도됩니다. '슈뢰딩거의 고양이' 이야기는 공리4를 통해 전혀 다른 성격으로 이야기됩니다.


(d) 새로운 형식체계의 제안과 더불어 핵심적인 예제가 포함되어 있는데, 이 예제를 천천히 음미하면서 풀어볼만한 가치가 충분합니다.


자, 이제 본격적으로 제4장 내용 정리를 살펴보기로 하죠.





구성은 다음과 같습니다.

<내용 정리>
(1) 양자역학이 밝혀낸 가장 새롭고 중요한 사실
(2) '상태'의 함수적 성격과 맞공간
(3) 양자역학의 기본 공리
(4) 상태 변화의 원리, 슈뢰딩거 방정식
(5) 사건의 유발 및 측정의 문제


<해설 및 성찰>

(6) 이중 슬릿 실험
(7) 상호작용-결여 측정
그럼 이제부터 차근차근 위의 내용을 살펴보기로 하죠. 그러나 발제가 아니니까 제 나름의 짧은 정리로 국한시키도록 노력하겠습니다.

---------------------

(1) 양자역학이 밝혀낸 가장 새롭고 중요한 사실

"존재물의 상태는 위치와 운동량의 값으로 규정되는 것이 아니라 '상태함수'로 규정된다."
고전역학에서 상태를 위치와 운동량의 값으로 규정한 것은 현재 어디에 있는지 그리고 어디로 튀려고 하는지 알 수 있다면 앞으로 어디로 갈지 알 수 있으리라는 믿음이 있었기 때문입니다.

양자역학은 근원적으로 그러한 결정론적 예측이 불가함을 주장합니다. 그 대신 확률적 예측만이 가능합니다.

이것만으로 뭔가 근본적인 인식의 한계를 말해 주는 것은 아닙니다. 19세기 이후로 확률적 예측은 점점 더 일상의 사유 속에 파고들어 왔습니다. 라플라스가 그 유명한 결정론 이야기를 한 곳[<장회익의 자연철학 강의> 128쪽]이 다름 아니라 "확률에 관한 철학적 에세이" 서문이라는 점을 많은 사람들이 종종 놓칩니다.


세상을 지배하는 모든 힘을 알고 또 입자들의 위치와 운동량을 알 수만 있다면, 그리고 이로부터 방정식을 충분히 빠르고 정확하게 풀 수만 있다면, 과거든 현재든 미래든 모든 것을 알 수 있다고 말한 것입니다.


현실은 세 가지 요건 모두 충족시키기 어렵습니다. 기상청의 일기예보가 그토록 힘든 것은 위치와 운동량이라는 상태를 충분히 정확하게 알기 어렵고 또 그 방정식 자체가 이상해서 풀어내기가 너무 어렵기 때문입니다.


주식 시장의 동향 같은 것은 거의 결정론적일 것 같은데, 실제로 들어가면 기껏해야 확률적 예측밖에 할 수 없습니다.


양자역학은 대상의 상태를 어떤 독특한 함수로 나타냅니다. 자연스럽게 그 함수의 이름은 '상태함수 state function'입니다. 약간 특이한 점은 그 값이 굳이 실수로 국한되지 않고 복소수도 허용된다는 점입니다. 1920년대에 양자역학이라는 것이 만들어질 무렵 물리학자, 특히 수리물리학자들은 함수를 그리스 문자로 나타내곤 했습니다. 로마자 알파벳은 다른 용도로 썼습니다. 그래서 그냥 역사적으로 우연히 그 상태 함수를 $\Psi$(프시 psi)라는 기호로 썼습니다. "언제, 어디에서"가 들어가니까 공간과 시간의 함수가 됩니다. 즉 $\Psi (x, t)$가 됩니다.


확률적 예측이라고 부른 이유는 어떤 물리량을 알려고 하면 확률이론을 써야 하기 때문입니다.

초보적인 확률 이론은 다음과 같습니다.

가능한 값들[확률변수라 부릅니다]을 $x_1 , x_2 , \cdots$로 나타내고, 그 빈도 내지 확률을 각각 $p_1 , p_2 , \cdots$라고 하면, 가능한 값들의 평균(기대값이라고도 합니다)은
$$\langle X\rangle = x_1 p_1 + x_2 p_2 +\cdots = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i$$
가 됩니다.


평균이란 개념은 흔하게 사용됩니다. 만일 $x_1 , x_2 , \cdots$가 나올 수 있는 확률이 모두 똑같다면 $p_i = \frac{1}{n}$ ($i=1, 2, \cdots$)이니까
$$\langle X\rangle = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i = \sum_{i=1}^{n} x_i \frac{1}{n}= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i$$
가 됩니다. 익숙한 평균의 계산식이죠.


나올 수 있는 값들이 띄엄띄엄 떨어져 있는 게 아니라 연속적이라면, 더하기가 적분으로 바뀝니다.
$$\langle x\rangle = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i \rightarrow \int x p(x)$$
적분에서 앞의 $\int$는 꼭 $dx$ 같은 것으로 끝나게 되어 있으니 위의 식은 정확하지 않습니다. 실상 확률이론에서는 그 $dx$를 어떻게 잡은 것인가만 가지고도 엄청난 이론이 있습니다. [지금 표준적인 것은 콜모고로프 확률공간이론입니다.] 상세한 데까지 안 가기로 하고, 대신 $p(x)$를 어떤 함수의 제곱이 되게 선택합니다.
$$p(x) = |f(x)|^2 dx$$
이제 이 함수 $f(x)$를 복소수 값도 되도록 허용한다면
$$p(x) = f(x)^* f(x) dx$$
라 쓸 수 있습니다. 여기에서 어깨번호(윗첨자)로 *를 쓴 것은 복소수에서 켤레복소수를 의미합니다. 즉 $z= a+ i b$이면 $z^* = a - ib$입니다. 수학 책에서는 대개 $z^*$보다는 $\bar{z}$를 쓰는데, 물리학자들은 별표(아스테르 리스크)를 더 선호합니다.


이제 기대값의 식은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
$$ \langle x\rangle =\int x f(x)^* f(x) dx$$
더 확장된 결과가 필요하기 때문에 약간 모양새를 바꿉니다.
$$ \langle x\rangle =\int f(x)^* x f(x) dx$$
확률변수가 다른 것이 되면 $x$의 자리에 그 다른 것을 넣어주면 됩니다.


양자역학에서는 상태함수가 위치 $x$뿐 아니라 시간 $t$의 함수이기도 하니까, 위치의 기대값이
$$ \langle x \rangle = \int \Psi^* (x, t) x \Psi (x,t)dxdt$$
가 됩니다. 이 식이 <장회익의 자연철학 강의> 213쪽에 있는 식입니다.

(계속)
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  • neomay3 neomay3
    2020-02-21 13:38

    앗! 여기 있었군요.. 괜히 고생을... ㅠ.ㅠ


    • 자연사랑 자연사랑
      2020-02-21 14:52

      ㅎㅎ 나름대로 <장회익의 자연철학 강의>에서 넘어가기 힘들 것 같은 부분들에 대해 열심히 보충하고 채우려고 이것저것 쓰고 있습니다. 체계가 없는 것이 문제이겠습니다만...ㅠ


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이전에 눈사람님이 이 글에 대해 답글을 달아주셨던 것 같은데, 그 글에 저의 의견을 달려다 보니까 그 글이 사라진 것으로 보입니다. 중요한 내용이 담겨 있었는데 아쉽습니다.
2025.05.23
제 부족한 답변이 도움이 된다면 다행이겠습니다. 고맙습니다. '흔적'이란 표현을 확장하면 '변별체의 철학'으로 이어질 수도 있겠다는 생각이 듭니다. 연주되지 않은 음악이 존재하긴 할까, 하는 상상을 해 보는데, 어쩌면 연주되지 않았다고 해도 악보 속에, 작곡가의 머리 속에, 곡을 해석하는 지휘자의 마음 속에, 곡을 들으려는 청중의 열망 속에 이미 존재하는 걸 수도 있겠다는 생각도 듭니다.
2025.05.23
그 논문은 겹실틈 실험을 이용하여 확률분포의 시간의존성을 확인해 보려는 것입니다. 이것은 겹실틈을 지난 뒤 다음 스크린까지 도달하는 시간을 계산하면, 다른 해석에 대하여 다른 결과를 얻을 수 있기 때문입니다. 양자역학의 표준 형식체계 외에 드브로이-봄의 길잡피 파동 이론, 넬슨의 확률통계적 접근 등을 도입하여 비교하는 것이 목표입니다. 실험 구상만은 아니고 컴퓨터를 이용하여 시뮬레이션 실험을 한 것입니다.
2025.05.23
유익한 답변 감사드립니다. 마지막 사진 덕분에 미소 짓고 갑니다! ^^ 책이 와서 책도 보고 올려주신 영상 자료도 보았습니다. 이중 슬릿 실험에서 '전자를 쏘았다' 라고 했을 때 쏜 그 행위 자체도 전자 입장에서는 관측되어 진 상황일텐데요. 전자 스스로가 날아간게 아니라 어떤 물리적 장치에 의해 날아갔으니까요.. 스크린에 남겨진 흔적은 전자의 어떤 흔적인가요? 전자가 만약 입자라면 부딛혀서 뭐가 남은건지(물리적 흔적이겠죠?), 흔적(표식)의 정체도 궁금하고요 슬릿이라는 조건이 전자 상태를 규정하는 중요한 틀 이라면 전자를 슬릿 없이 보낼 경우.. 그 양상(?)은 다르게 나타났을까요? 전자 자체가 알갱이가 아니라 관계성 그 자체라고 상상해보니 지금까지 알고 있던 원자, 전자 이런 용어들이 더욱 낯설게 느껴집니다! (음악도 음악 자체가 있는게 아니라 어떻게 드러나느냐에 따라 음악이 되기도 하고 소리, 소음이 되기도 하고.. 또 연주되지 않은 음악은 음악이라고 할 수 없겠죠? 음악도 가능성의 상태로 존재하다가 연주자가 연주함으로써 음악으로 드러나는 구조라고 생각되네요~ 즉 연주자가 관측자 역할을 할 때 의미 있게 되는 것 같다고 느껴졌어요) 제가 눈의 갯수를 언급했던 이유는요~ 사람의 눈이 두 개이기 때문에 인지할 수 있는 차원이나 범위가 제한되어 있는 것이 아닐까 하는 궁금증에서 였어요. 언급하셨던 도마뱀과 같은 동물들은 인간과는 다른 시각체계를 갖고 있고 또 인간이 감지할 수 없는 것들을 인지하니 말이에요. 새로운 존재구조나 개념을 상정해보려면 이미 알고 있는 개념 너머에 있는 가능성도 생각해보았어요
2025.05.22
맞습니다. 아주 적절하고 중요한 지적입니다. 조금 더 상세한 설명이 필요하긴 하지만, 파동이라는 개념을 쓰기는 것보다는 마당(field 場)이라는 개념을 쓰는 것이 더 정확합니다. 대개 "입자 vs 파동"이라고 말하곤 하지만, 더 정확하고 의미 있는 대조는 "입자 vs 마당"입니다. 실상 '마당'이라는 것도 고전적 마당과 양자 마당이 구별됩니다. 파동이라 부르는 것은 위치와 시간의 함수로서 결국 일종의 마당입니다. 다만 마당이 언제나 파동인 것은 아닙니다. 그렇긴 해도 대부분의 마당은 어떤 식으로든 파동과 연결됩니다. 이와 달리 입자는 마당이 아닙니다.
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