[질문] 위상공간과 고전적 상태의 정의
고전역학에서 상태는 위치와 운동량으로 규정된다는 이야기가 여러 차례 나오지만, 왜 그래야 하는지 더 명확하게 해명할 필요가 있습니다.
<양자역학을 어떻게 이해할까?>에서는 특정 시각에 위치가 확정되어 있다 하더라도 운동량을 모른다면 그 다음 순간의 위치에 대해 전혀 알 수 없다는 논변이 나옵니다. 운동량이 직관적으로 다가오지 않는다면 운동량 대신 속도를 생각해도 됩니다.
물리학의 역사에서 보면, 물체의 운동 상태를 (위치, 속도) 또는 (위치, 운동량)으로 보자는 제안은 엄청난 것이었습니다. 여하간 지금 이 순간 어느 위치에 있는지 안다고 해도 그 다음 순간 어디로 갈지 알 수 없다면 상태를 모두 이야기하는 것이 아니라 하겠습니다.저는 장회익 선생님의 접근을 더 선명하게 보이기 위해서는 '위상공간(phase space)'이란 개념을 도입하는 것이 유익하다고 생각합니다. 운동상태를 규정하는 물리량을 (위치, 운동량)으로 삼아야 한다는 이론을 체계적으로 정립한 사람은 다름 아니라 아일랜드의 수학자 윌리엄 로원 해밀턴이었습니다. 해밀턴 자신은 그런 용어를 쓰지 않았지만, 운동상태가 (위치, 운동량)으로 온전히 규정된다는 것을 수학상으로 엄밀하게 증명했습니다.
오스트리아의 물리학자 루트비히 볼츠만은 확률통계이론을 써서 열역학을 서술하려는 과정에서 자연스럽게 해밀턴의 이론을 수용했습니다. 1871년에 출간된 두편의 논문에서 물체(기체 분자)의 운동을 그림처럼 나타낼 수 있다는 점을 이야기했습니다.
1871a, Über das Wärmegleichgewicht zwischen mehratomigen Gasmolekülen, Wiener Berichte, 63: 397–418; 1871b, Einige allgemeine Sätze über Wärmegleichgewicht, Wiener Berichte, 63: 679–711; 1872, Weitere Studien über das Wärmegleichgewicht unter Gasmolekülen, Wiener Berichte, 66: 275–370.
볼츠만은 당시에 꽤 알려진 리사주 곡선(Lissajous curve)과 물체의 운동이 유사하다는 점을 지적했습니다. 1857년 프랑스의 물리학자 쥘 리사주(Jules Antoine Lissajous 1822-1880)는 2차원 운동을 서술하는 과정에서 흥미로운 그림을 보여주었습니다. 이것은 이미 1815년 미국의 수학자 네써니얼 바우디치(Nathaniel Bowditch 1773-1838)가 다룬 것이었지만, 여하간 나중에 리사주 그림이라는 이름이 붙었습니다. 볼츠만 자신은 리사주를 인용하지는 않았습니다. 나중에 특히 1896년에 출간된 <기체론 강의>(Vorlesungen über Gastheorie)에서 현재의 위상공간이라 부를 수 있는 개념을 상세하게 해명합니다. 이 때 운동의 종류(Beweungsart)와 운동의 국면/위상(Bewegunsphase)를 구별했는데, '위상'이란 용어는 여기에서 비롯한 것으로 여겨집니다.
리사주 곡선을 잘 보여주는 것은 하모노그래프(harmonograph) 또는 블랙번 흔들이라 불리는 장치입니다. 아래 링크에서 동영상을 볼 수 있습니다.
https://en.wikipedia.org/wiki/File:Harmon%C3%B3grafo_02.webm
이 동영상은 2차원에서 운동이 어떤 모습으로 보이는지 그림으로 나타낸 것인데, 마음을 조금 더 열면, 위치와 운동량을 그래프로 그려 볼 수 있습니다. 그 예가 아래의 그림입니다.
오른쪽 끝에 있는 것이 위상공간의 궤적인데, 이를 더 일반적으로 그리면 아래 그림과 같은 유명한 로렌즈 끌개 같은 것이 됩니다.
그렇게 하면 특정 시간의 물체의 상태를 위상공간이라 부르는 추상적인 공간의 한 점과 일대일 대응시킬 수 있습니다.
[그림 출처: Penrose, R. (1990). The Emperor's New Mind]
분자(입자)가 하나이고 공간의 차원이 1차원이라면, 위상공간은 위치와 운동량을 각각 하여 2차원이 됩니다. 공간의 차원이 3차원이라면, 운동량도 세 방향이 있으므로, 위상공간은 6차원이 됩니다. 분자(입자)가 $n$개 있다면, 위의 그림처럼 위상공간은 $6n$차원이 됩니다.
<양자역학을 어떻게 이해할까?>에서는 상태의 조작적 정의로서 $$\Psi_C = (\delta_{ij}(\xi_i ), \delta_{il}(\zeta_i ))$$라는 다소 낯선 표현이 나옵니다. $\xi$는 그리스문자로서 '크시'라고 읽고 $\zeta$는 '제타'라고 읽습니다. 수학에서 세 축을 흔히 로마자 $(x, y, z)$로 나타내는데, 이 로마자를 반복하지 않으면서 비슷한 느낌을 내고 싶을 때 곧잘 그리스 문자 $(\xi, \eta, \zeta)$를 씁니다. ($\eta$는 '에타'라고 읽습니다.) 음가상으로 $\xi, \eta, \zeta$가 각각 알파벳의 x, y, z와 비슷하기 때문입니다.
<양자역학을 어떻게 이해할까?>에서는 "편의상 상태 $\Psi_C$의 위치 부분에 대해서만 고려한다."라는 특기사항이 있지만, 위에서 짧게 소개한 위상공간을 도입하면 그냥 위상공간의 좌표를 $\xi_i (i=1, 2, 3, 4, \cdots)$라 말하면 충분합니다. 여기에서 무릎번호(아랫첨자) $i$는 일종의 그물망 같은 것이라 생각해도 됩니다. 쉬운 예로 중국 송대의 우적도(禹跡圖 Yu Ji Tu)를 생각할 수 있습니다.
[출처: https://www.sensesatlas.com/territory/yu-ji-tu-an-exemple-of-chinese-cartography/ ]
지도를 만든다거나 위치를 정하기 위해서 이렇게 촘촘하게 격자를 늘어놓습니다. 이제 이 격자를 일일이 번호를 붙여서 그 번호(또는 위치)를 $\xi_1 , \xi_2 , \xi_3 , \cdots$라 표기하기로 합니다. 그리스문자가 익숙하지 않다면 그냥 '1번 위치', '2번 위치', '3번 위치', 등등이라고 표기해도 됩니다. 이번에도 '위치'는 단순히 실제 위치만이 아니라 위상공간 상의 '위치'입니다. 그렇게 함으로써 실제 위치와 더불어 운동량까지 함께 지정하게 됩니다.
고전역학적 존재론은 물체가 이 여러 개의 위치 중 어디엔가에 놓여 있다는 것을 의미합니다. 일상적인 직관과 잘 맞아떨어집니다. 여기에서는 2차원 평면에서 위치를 말했지만, 위와 같은 그림에서 수평축은 위치를 나타내고 수직축은 운동량을 나타낸다고 추상적으로 말해도 상황은 완전히 같습니다. 또 평면이라 생각하면 수평축과 수직축이지만, 지구 표면처럼 휘어 있다면 위도와 경도라고 말하면 됩니다. 이 경우에도 위상공간으로 개념을 확장하면 위도에 해당하는 것이 운동량이고 경도에 해당하는 것이 위치라고 해도 상관없습니다.
(그림출처: wikimedia.org)
그 위의 그림(로저 펜로즈의 책 <임금님의 새 마음>에서 가져온 그림)에는 상자 모양으로 대충 그린 위상공간이 있고 그 중 한 위치를 Q라 부르고 화살표로 표시했습니다. 이제 각 위치에서 물체는 발견되거나 그렇지 않거나 둘 중 하나입니다. 이것을 '발견'이라 하지 말고 그냥 "있거나 없거나"라고 말해도 됩니다. 또 '위치'라고 말했지만, 우리에게 익숙한 실제 공간의 '위치'를 생각하면서 '운동량'도 비슷할 거라고 말해도 되고, 이 '위치'는 위상공간의 한 점의 위치를 말하는 거라고 해도 됩니다.
위의 우적도 지도나 지표면 지도에서 어느 한 위치를 $\xi_i$라 부른다면, 고전적 상태는 예를 들어 다음과 같이 쓸 수 있습니다. $$\Psi_C = (0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, \cdots )$$
이 말은 선택할 수 있는 선택지 중 하필 네 번째에서는 1이고 나머지에서는 0이라는 뜻입니다. 이 사람(호랑이, 물체, 입자 등등)이 움직이면 1이 되는 '좌표'가 0이 되면서 다른 곳에서 '1'이 생겨납니다. 위상공간 개념을 쓴다면, 실제의 위치는 그대로이더라도 운동량의 값이 달라지면 위상공간 상의 위치는 달라집니다. 이렇게 이동하는 것을 위상공간 안에 그리면 예를 들어 아래 그림처럼 됩니다.
(출처: https://bit.ly/3Ir7cR0 )
그런데 상태를 일일이 $$\Psi_C = (0, 0, 0, 1, 0, 0, \cdots)$$와 같이 쓰는 것은 너무 불편하고 비효율적입니다. 이것을 간단하게 나타내는 기가 막힌 방법이 바로 크로네커 델타(Kronecker delta)입니다. 독일의 수학자 레오폴트 크로네커(Leopold Kronecker 1823-1891)의 이름을 딴 것입니다. 정의는 단순합니다. $$\delta_{ij} = \begin{cases} 1 \quad ( i=j) \\ 0 \quad ( i\neq j) \end{cases} $$ 이 기호에는 두 개의 무릎번호(아랫첨자)가 있습니다. 이 번호는 1부터 차례로 나아가는 자연수입니다. 두 번호가 같을 때에는 1, 다른 때에는 0이 되는 것이 바로 크로네커 델타의 정의입니다.
이제 $$\Psi_C (j) = (\delta_{ij}(\xi_i ))$$라 하면, 이 값은 $i$가 $j$와 같을 때에만 1이고, 그 외에는 0이라는 의미가 됩니다. 가령 $\Psi_C (4)$라고 쓰면 이것은 위의 $\Psi_C = (0, 0, 0, 1, 0, 0, \cdots)$와 같습니다.
이렇게 하면 물체의 상태(더 정확하게는 '운동 상태')를 위상공간의 한 점으로 규정해 버릴 수 있습니다. 위상공간을 도입하지 않고 이야기를 풀어가려면, 우선 실제의 위치에 대한 이야기만 하고 운동량에 대한 것은 그와 마찬가지라 말하면 됩니다. 여하간 위상공간 개념을 도입하면 개념적으로 더 자연스러울 것 같습니다.
그런데 이렇게 아주 촘촘하게 위상공간 상의 각 위치에 "있거나 없거나" 하는 경우는 극히 드물 것입니다. 대부분은 뭉뚱그려서 대충 어디 부근에 있다는 식으로 말해야 할 겁니다.
[그림 출처: Penrose, R. (1990). The Emperor's New Mind]
이렇게 위상공간 상의 뭉뚱그려진 영역을 고려한다면, 위에서 말한 촘촘한 상태와는 상황이 다릅니다. 그래도 그 뭉뚱그려진 대충의 영역 중 하나에 있는 것은 틀림없죠. 그래서 이를 $$\Psi_C ^E = \sum_j a_j \Psi_C (j) = \sum_j a_j \delta_{ij}(\xi_i )$$와 같이 쓸 수 있습니다. 더 풀어쓰면 가령 $$\Psi_C ^E = (a_1 , a_2 , a_3 , a_4 , \cdots )$$와 같습니다. 이 계수 중 어떤 것은 0이고 어떤 것은 0이 아닐 텐데, $|a_j|^2$이 확률이 되도록 선택하기로 약속합니다. 예를 들어 $$ a_1 = 0 , a_2 = 0 , a_3 = 0.7071, a_4=0, a_5 = 0.7071 , a_6 = 0 , \cdots$$와 같다고 해 보죠. 이 때 상태는 $$\Psi_C ^E = (0, 0, 0.7071, 0, 0.7071, 0, 0, \cdots )$$와 같이 주어집니다. 이 말의 의미는 이렇습니다.
"물체가 정확히 어디에 있는지는 모르겠지만, 1번 '위치'(위상공간상의), 2번 '위치', 4번 '위치' 등에는 있을 가능성이 없고, 3번 '위치'에 있을 가능성이 0.5, 5번 '위치'에 있을 가능성이 0.5쯤 된다."
이렇게 뭉뚱그려진 상태를 '앙상블(ensemble)'이라 부릅니다. 이 용어는 미국의 물리학자 조사이어 윌러드 깁즈(Josiah Willard Gibbs 1839-1903)가 '통계역학'을 만들면서 처음 도입한 것입니다. 프랑스어로 ensemble은 수학에서 말하는 '집합(集合)'을 가리키는 용어입니다. 독일어로는 멩게(Menge)를 쓰고 영어로는 set을 씁니다. 기브즈는1866년에 프랑스 파리로 가서 소르본 대학과 콜레쥬 드 프랑스에서 조제프 류비유(Joseph Liouville)와 미셸 샬(Michel Chasles) 등의 수학 강의를 들었고, 또 독일 베를린으로 가서 칼 바이어슈트라스(Karl Weierstrass), 레오폴트 크로네커(Leopold Kronecker), 하인리히 마그누스(Heinrich Gustav Magnus) 등의 강의를 들었습니다. 깁즈가 프랑스어를 그대로 가져와서 ''앙상블'이라는 용어를 통계역학에 도입하게 된 계기는 알려져 있지 않습니다. (프랑스어에서 일상어 ensemble은 en même temps의 의미로서 '동시에, 한꺼번에'라는 의미입니다.) 집합이론의 효시가 된 그레고어 칸토어의 유명한 논문 "Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre (초한 집합이론의 기초를 위한 기고)"이 1895년에 출간되었으니까 깁즈가 독일어권의 집합이론을 잘 몰랐을 가능성이 높아 보입니다.
앞의 계수 $a_j$는 여러 가능성들에 대한 지식을 말해 줍니다. 그래서 이를 인식적(epistemic)이라 부릅니다. 마침 내가 어디에 있는지 모르기 때문에 그렇게 위치들에 비중을 다루게 할당해야 하지만, 물체는 분명히 어딘가에 놓여 있을 겁니다.
이제 전령을 보내거나 측정장치를 놓거나 바닥에 먹물을 뿌려놓든가 해서 그 물체가 어디에 있는지 확인하려 한다면 어떻게 될까요? 그런 것을 통칭하여 '변별체'라 부를 수 있을 겁니다. 예를 들어 네 번째 위치에 놓아둔 '변별체'에 흔적이 남았다면, 바로 그 '위치'에서 $${\Psi'}_C ^E = (0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, \cdots )$$와 같이 특정 위치를 점유한 상태임이 확인됩니다. 그러니 그 상태로 전환되었다고 말하는 것이 자연스럽습니다. 만일 흔적이 남지 않았다면, 네 번째 위치를 제외한 나머지 '위치'에 대해서만 계수가 0이 아닌 새로운 상태임을 알 수 있고, 그러한 새 상태로 전환되었다고 말하는 것이 자연스럽습니다. 다만 유의할 점이 있습니다. 이렇게 인식적 상태가 전환된다는 건 정말로 세계 속에서 무슨 일이 일어나는 게 아닙니다. 단지 이렇게 상태에 대해 말하고 있는 주체(인식주체)의 지식이 변한 것에 불과합니다.
이것이 고전적 의미의 측정입니다. 상태라는 말을 '사건을 야기할 성향' 또는 '변별체에 흔적을 남길 성향'이라고 정의하면 $\Psi_C = \delta_{ij}(\xi_i)$의 의미는 다음과 같이 말할 수 있게 됩니다.
"대상이 '위치' $\xi_i$에 놓여 있는 변별체에 흔적을 남길 성향은 $i\neq j$일 때에는 0이고, $i=j$일 때에는 1이다."
가령 $$\Psi_C = (0, 0, 0, 1, 0, 0, \cdots)$$라는 상태는 첫 번째 '위치'에 있는 변별체에 흔적을 남길 성향은 0이고, 두 번째 '위치'에 있는 변별체에 흔적을 남길 성향은 0이고, 네 번째 '위치'에 있는 변별체에 흔적을 남길 성향은 1이고, 나머지 '위치'에 있는 변별체에 흔적을 남길 성향은 0인 상태를 의미합니다.
촘촘한 상태(fine-grained state)와 달리 뭉뚱그려진 상태(coarse-grained state)에서는 장회익 선생님께서 인식적 상태함수 또는 상태인식함수라 이름붙인 새로운 상태가 가능합니다. 그것이 $$\Psi_C ^E = \sum_j a_{j} \delta_{ij}(\xi_i )$$입니다.
나중에 양자역학으로 가면 $$\Psi_Q = \sum_j c_{j} \delta_{ij}(\xi_i )$$라는 새로운 상태 규정이 등장합니다. 상태인식함수와 달리 이 양자역학적 상태함수는 존재적(ontic) 성격을 지닙니다.
여기에 적은 것은 <양자역학을 어떻게 이해할까?>를 제 방식으로 읽은 것이어서, 장회익 선생님께서 제안하고 설명하신 것과 같은 것인지 더 토론하고 이야기를 나누어야 할 것 같습니다. 또 위상공간을 처음부터 소개하고 그 틀 안에서 상태를 규정한다면, 서술이 더 매끄럽지 않을까 하는 저의 제안을 어떻게 생각하시는지 궁금합니다.
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로저 펜로즈가 1990년에 낸 책 <임금님의 새 마음> 중에 해밀턴 역학과 위상공간을 소개하는 부분의 서술이 비교적 알기 쉽게 되어 있습니다. 그 부분만 잘라서 위에 첨부파일로 덧붙였습니다. 참고하시기 바랍니다.
고전역학에서 위상공간이라는 개념과 도구가 어떻게 사용되는지 아래의 글에서 친절하게 소개되어 있습니다. 용수철 끝에 매달린 물체의 조화진동부터 판데르폴 진동, 결정론적 혼돈, 특히 야릇한 끌개(strange attractor) 등의 개념을 시각자료를 이용하여 설명하고 있습니다.
Tim Anderson (2020) A Visual Introduction to Classical Mechanics in Phase Space. Medium