일반상대성이론 100+4년 – 제5회.일반상대성이론을 푼다는 것

2015년, 아인슈타인의 일반상대성이론이 100세가 되었다. 특수상대성이론이 100세가 된 것은 10년 앞선 2005년이다. 일반상대성이론은 과학이론의 본성이 무엇인지 잘 드러내 주는 좋은 사례이기도 하고, 시간과 공간과 우주와 물질에 대한 가장 근본적인 이론이면서도 동시에 실증적으로 권위를 인정받은 이론이기도 하다.

그만큼 역사적인 맥락이 풍부하며, 또한 문화적 영향도 다양하다. 무엇보다도 시간과 공간에 대한 철학적 논의에서 중요한 역할을 해 왔다. 녹색아카데미 과학칼럼에서는 일반상대성이론이 만들어지고 다듬어지는 역사적, 철학적 과정을 9회에 걸쳐 살펴본다.

2019년 9월 10일
글 : 김재영 (녹색아카데미)

  1. 뉴턴이여, 나를 용서하시길! (8/13)
  2. 절대공간은 존재할까?(8/20)
  3. 아인슈타인과 가우스와 비유클리드 기하학(8/27)
  4. 드디어 일반상대성이론이 만들어지다(9/3)
  5. 일반상대성이론을 푼다는 것 (9/10)
  6. 일반상대성이론의 수용, 오해, 해석 (9/17)
  7. 르메트르와 앨퍼 : 허블과 가모프에 가려진 우주론자들 (9/24)
  8. SF와 상대성이론 (10/1)
  9. 우리의 소원은 통일이론 (10/8)
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1916년 6월 29일 베를린에서 열린 왕립 프로이센 과학학술원 학술대회에 선 아인슈타인의 마음은 무거웠다. 오래 전부터 이 과학학술원의 학술대회에도 꾸준히 참석하고, 또 회보에 논문을 기고하고 여러 학자들과 교류했고, 1913년 정회원이 되고부터는 더 애정을 가지고 학술대회에 참석해 왔지만 이 날의 발표는 달랐다. 그 해 5월 11일에 자신의 일반상대성이론의 전개에 가장 중요한 역할을 했던 동료가 42살의 나이로 세상을 떠났던 것이다. 그 학술대회에서 아인슈타인이 추도사를 읽은 과학자는 카를 슈바르츠쉴트(1873-1916)였다. 

[그림 1] 칼 슈바르츠쉴트 (Karl Schwarzschild). 아인슈타인의 중력장방정식에 대한 정확한 해를 최초로 구했고, 블랙홀이 되는 임계반지름인 “슈바르츠쉴트 반지름”을 계산했다.(사진 : wikipedia)

아인슈타인은 1915년 11월 25일 프로이센 과학학술원 물리학-수학 분과에서 “중력장 방정식”이라는 제목의 논문을 발표했다. 이로서 이 세상에서 가장 아름다운 물리학 이론이라는 일반상대성이론이 세상에 비로소 모습을 드러내게 되었다. 하지만 그것은 그야말로 ‘기초’일 뿐이었다. 자연과학, 특히 물리학에서 법칙을 알아내고 이를 더 체계화하여 하나의 완성된 이론을 만들어낸다는 것은 무슨 의미일까? 결국 물리학 이론이 이론다운 모습을 갖추기 위해 가장 중요한 것은 실제 현상에 대해 문제를 풀어내는 일이다. 

1687년에 출판된 뉴턴의 ‘자연철학의 수학적 원리’는 이미 알려져 있던 행성의 운동법칙들을 비롯하여 중요한 현상들을 모두 설명할 수 있는 탁월한 이론이었다. 그러나 이것이 계몽사조의 근간이 되고, 가장 확실하고 믿을만한 지식을 내세워 결정론적 세계관을 설파하기 위해서 필요한 것은 그 이론을 통해 현상을 정확히 계산하는 능력이었다. 

라플라스는 ‘확률의 해석학적 이론’의 서문에서, “주어진 특정 순간에 자연을 움직이는 모든 힘과 자연을 이루는 존재들의 각각의 상황을 다 알고 있는 어떤 지성이 이 모든 정보를 다 분석할 수 있을 만큼 뛰어나다면, 이 지성은 우주의 거대한 천체들로부터 가장 작은 원자에 이르기까지 그 운동을 같은 공식으로 포괄할 수 있을 것이며, 과거와 현재와 미래의 그 어떤 것도 불확실한 것은 없을 것이다.”라고 적고 있다. 결국 ‘라플라스의 악마’라고까지 불리는 이 뛰어난 지성에게 가장 중요한 것은 방정식을 풀어내는 능력인 것이다.

[그림 2] 라플라스. Pierre-Simon Laplace, 1749~1827. (사진 : wikipedia)

일반상대성이론도 마찬가지다. 새로운 이론으로 태어났다고 하지만, 그 이론을 써서 관심을 두고 있는 현상을 정확히 풀어내지 못한다면 이론이 제대로 역할을 하지 못한다. 요즘은 이론에서 필요로 하는 방정식이 명확하게 있으면 컴퓨터를 이용하여 방정식을 풀어내는 것이 비교적 쉬운 일이 되었지만, 아인슈타인 당시만 해도 이런 것은 상상할 수 없는 일이었다. 그래서 새로운 이론을 만들어내는 것만큼이나 그 이론에 담겨 있는 방정식을 풀어내는 일이 크나큰 과제였다.

이 일을 처음 해 낸 것은 아인슈타인이 아니었다. 아인슈타인보다 6년 일찍 태어난 독일의 물리학자이자 천문학자 카를 슈바르츠쉴트였다. 슈바르츠쉴트는 16살이 되기 전에 천체역학 분야의 논문 두 편을 발표할 만큼 어릴 적부터 뛰어난 영재였고, 23살에 푸앵카레의 이론에 대한 연구로 박사학위를 받았다.

그는 28살에 괴팅겐 대학의 교수가 되면서 힐베르트와 민코프스키와 함께 연구를 하는 좋은 기회를 얻었을 뿐 아니라 괴팅겐 대학 천문관측소의 소장이 되었다. 이 천문관측소의 첫 번째 소장이 바로 가우스였으니 슈바르츠쉴트가 얼마나 인정받고 있었는지 쉽게 짐작할 수 있을 것이다. 

그러나 운명의 여신은 슈바르츠쉴트에게 가혹했다. 1914년 일차세계대전이 일어났을 무렵, 슈바르츠쉴트는 포츠담의 천문관측소 소장으로 일하고 있었다. 그는 그래야 할 의무가 없었는데도 군대에 자원입대했다. 물리학자로서 포병부대를 도울 수 있다고 생각했던 것이다. 

1915년 겨울, 눈보라가 휘몰하치는 동부전선에 투입된 슈바르츠쉴트의 손에 막 출판된 프로이센 과학학술원 회보가 쥐어졌다. 거기에는 아인슈타인이 1915년 11월 18일에 발표했던 짧은 논문이 실려 있었다. “일반상대성이론에 의한 수성 근일점 이동의 설명”이라는 제목의 이 논문은 11월 4일에 발표했던 논문 “일반상대성이론을 위하여”에서 제안한 이론을 기반으로 수성의 근일점의 세차운동을 1세기 동안 43초로 계산한 바로 그 논문이다. 

그러나 아인슈타인의 계산은 자신이 제안한 방정식을 완전히 풀어낸 결과가 아니었다. 사실 그 방정식은 비선형 연립 편미분방정식이어서 풀기가 매우 어렵다. 아인슈타인은 방정식의 풀이를 온전히 구하지 않고 그 대신 어림을 해서 가장 영향이 큰 항만 남기는 방식으로 수성의 근일점 이동을 계산했던 것이다.

[그림 3] 태양에 대한 수성의 근일점 이동 (사진 : wikipedia)

슈바르츠쉴트는 그 논문의 계산에 틀린 점이 있음을 발견했다. 12월 22일에 아인슈타인에게 보낸 편지에서 자신의 풀이를 적어 보내면서 다음과 같이 말하고 있다. “저는 선생님의 중력이론을 검증할 수 있도록 수성의 근일점 문제를 스스로 깊이 고민했습니다. 그런데 제가 계산한 일차 어림의 결과가 선생님의 계산결과와 달라서 당황했습니다. … 그렇게 추상적인 아이디어로부터 수성 근일점 이동의 불일치 부분을 그렇게 깔끔하게 설명할 수 있다는 것은 대단히 놀라운 일입니다. 이것은 곧 선생님이 저와 우정의 전쟁을 하신다면 선생님의 이상의 땅에서 한가로이 거닐 수 있으리라는 뜻입니다.”  

이쯤 되면 선의의 경쟁이긴 하지만 일종의 선전포고 같은 느낌도 든다. 아니나 다를까, 아인슈타인이 ‘우정의 전쟁’에 답하기도 전에 1916년 1월 13일에 슈바르츠쉴트는 “아인슈타인의 이론에 따른 질점의 중력장”이란 제목의 논문을 아인슈타인에게 보내 프로이센 과학학술원 회보에 투고해 달라고 부탁했다. 

이 논문에는 중력장 방정식을 아주 특수한 경우로 국한시켜 구한 최초의 엄밀한 풀이가 담겨 있었다. 아인슈타인은 이 논문을 보고 “나는 문제의 풀이가 이렇게 간단한 방법으로 해결되리라고는 예상하지 못했었다.”라고 솔직한 심경을 밝히기도 했다. 슈바르츠쉴트는 2월 24일에 이를 더 발전시킨 논문 한 편을 더 투고했다. 그러나 1916년 5월 11일 슈바르츠쉴트는 동부전선에서 얻은 희귀한 피부병 때문에 결국 세상을 떠나고 만다.

엄밀한 풀이는 특히 이론물리학에서 대단히 중요하다. 중력장 방정식을 비롯하여 물리학에서 다루어지는 방정식은 여러 가지 물리량들 사이의 추상적이고 일반적인 관계를 나타낼 뿐이기 때문에 방정식만으로는 현상을 설명하거나 예측할 수 없다. 특히 뉴턴 방정식이나 맥스웰 방정식과 같은 가장 근본적인 방정식들은 물리량을 나타내는 함수들과 그 함수들의 도함수들이 복잡하게 얽혀 있는 이른바 미분방정식이다. 

일반상대성이론이 난해하기로 악명이 높은 까닭은 아인슈타인 중력장 방정식이 미분방정식 중에서도 더 풀기가 어려운 비선형 연립 편미분방정식이기 때문이다. 우선 편미분이라는 것은 독립변수가 하나가 아니라는 뜻이다. 시간과 공간의 좌표를 나타내는 4개의 독립변수가 있기 때문에 미분도 네 가지가 있고 이것들이 복잡하게 얽혀 있다. 

풀이로 구해야 하는 함수는 거리함수 텐서라 부르는 10개의 함수이다. 흔히 ‘쥐뮤뉴’(g𝜇𝜈)라고 부르는데, 여기에서 무릎번호 ‘뮤’(𝜇)와 ‘뉴’(𝜈)는 각각 1부터 4까지 변한다. 즉 g11부터 g44까지가 되는데, 그러면 모두 16개가 될 터이지만 다행히 g12=g21과 같이 ‘뮤’(𝜇)와 ‘뉴’(𝜈)가 반대가 되면 함수의 값이 똑같아야 하기 때문에 6개는 구할 필요가 없다. 이렇게 구해야 하는 함수가 많아지면 방정식의 개수도 늘어나기 때문에 연립방정식이 된다.

하지만 일반상대성이론의 난해함의 핵심은 바로 비선형이란 점에 있다. 흔히 볼 수 있는 미분방정식들은 구해야 하는 함수만 들어 있을 뿐이고 그 함수의 제곱이라든가 그 함수에 다시 삼각함수를 적용한 꼴이라든가 하는 것이 없기 때문에, ‘선형’(직선과 닮은 일차함수)이라고 한다. 

선형 미분방정식은 어떻게든 몇 개의 풀이를 찾아내면 일반적인 모든 풀이를 찾아내는 방법이 널리 알려져 있다. 그러나 비선형 미분방정식은 풀이 몇 개를 찾아낸다한들 일반적인 다른 풀이들을 또 찾아내는 것은 요원한 일이 된다. 게다가 카오스 이론이라고도 불리는 비선형 동역학에서처럼 풀이의 전체적인 변화의 양상도 예측불허인 경우가 많다.

그렇기 때문에 슈바르츠쉴트의 엄밀한 풀이가 가지는 의미는 매우 크다. 아인슈타인은 1916년 3월 20일에 “일반상대성이론의 기초”라는 제목의 논문을 ‘물리학 연보’에 투고했다. 이 논문은 22개의 절로 이루어져 있고, 이 절들을 묶어 4부로 되어 있다. 1부는 상대성 가설에 대해 일반적인 수준에서 상세히 설명하고 이를 이용하여 중력 현상을 밝힐 수 있음을 말하고 있다. 

2부는 이를 위한 수학적 도구들을 핵심적으로 요약하고 있다. 3부에는 본격적으로 중력장 방정식과 중력장 안에서 물체의 운동을 서술하는 측지선 방정식 등 일반상대성이론의 본론이 나온다. 마지막 4부는 이 일반적인 이론을 여러 현상들에 적용하여 설명하고 있는데, 바로 마지막 절에서 슈바르츠쉴트의 엄밀한 풀이를 인용하고 사용하고 있다. 

그 전까지 수성의 근일점 이동이라든가 태양 주위에서 별빛이 휜다든가 중력 때문에 시간이 느리게 흐른다거나 하리라는 예측을 계산하긴 했지만, 이 계산들은 모두 엄밀한 풀이를 기초로 한 것이 아니라 여러 가지 조건을 갖다 붙여 일차 어림으로 한 것이어서 그 정밀성에 의심을 품을만했다. 

수성의 근일점 이동 중에서 뉴턴 이론으로 설명할 수 없는 값이 100년 동안 45±5″(지금의 더 정밀한 값은 42.98±0.04″)인데, 1초의 각이란 3600분의 1도이고 100년 동안 이렇게 미세한 차이가 난다는 것을 관측한 기술도 놀랍지만, 이것을 거의 정확히 계산하기 위해서는 아주 엄밀한 풀이가 필요하다는 것은 자명하다.

그런데 태양에서 멀리 떨어져 있는 곳에서라면 중력도 그만큼 약하기 때문에 소수점 아래 몇 개의 숫자만 다를 뿐 엄밀한 풀이나 일차 어림이나 비슷하다고 할 수 있다. 슈바르츠쉴트의 엄밀한 풀이가 더 찬란하게 빛을 발하는 곳은 바로 중력이 매우 강해서 일차 어림을 할 수 없는 경우이다.

슈바르츠쉴트의 풀이가 출판된 이후 드로스테 (1916-17), 라이스터 (1916), 노르트슈트룀 (1918),  코틀러 (1918) 등 다른 엄밀한 풀이들이 속속 발견되었다. 이것은 1940년대까지도 비슷한 상황이었지만, 실상 이러한 엄밀한 풀이들은 그다지 주목을 받지 못했다. 이러한 엄밀한 풀이를 적용해야 할 만큼 중력이 강한 물리적 현상이 없었기 때문이다.

대신 일반상대성이론이 가장 각광을 받은 영역은 우주론이었다. 아인슈타인은 1917년에 이미 일반상대성이론이 우주의 탄생과 변화를 가장 일반적인 수준에서 기술할 수 있음을 주장했고, 프리드만 (1922, 1924), 디지터 (1932), 톨만 (1934), 로버트슨 (1929, 1935, 1936), 월커(1936) 등을 통해 우주론에 적용할 수 있는 시공간 풀이가 상세하게 밝혀졌다. 

1957년 미국 채플힐의 노스캐롤라이나 대학에서 열린 학술대회 “물리학에서 중력의 역할”은 일반상대성이론의 역사에서 중요한 이정표 역할을 했는데, 당시만 해도 일반상대성이론은 현실과는 큰 관련이 없는 수학적인 이론으로 여겨졌다. 사람들은 아인슈타인의 이론이 실질적 예측을 할 수 있을지에 대해 회의적이었다.

1950년대 말에 미국 프린스턴 대학의 존 아치볼드 윌러의 연구그룹과 영국의 허만 본디가 이끄는 런던 그룹이 중심이 되어 일반상대성이론의 중흥이 시작된 것은 준성과 X선 발광성의 발견 덕분이었다. 1963년 네덜란드의 천문학자 마르텐 쉬미트(Maarten Schmidt. 1929~)는 빨강치우침이 0.16에 가까운 놀라운 천체를 발견했다.(그림 4) 항성처럼 빛이나 전파를 내지만 항성은 아닌 이 천체는 준성(QSO, quasi stellar object) 또는 퀘이사(quasar)라는 이름을 얻었는데, 매우 무거운 활동성 은하핵으로 여겨지고 있다.

[그림 4] 허블망원경이 찍은 퀘이사 3C 273. 오른쪽 사진은 주변 광을 제거하여 퀘이사를 관측하기 쉽게 처리한 이미지(coronagraph). (사진 : wikipedia)

준성이나 X선 발광성 표면의 중력은 대단히 강하기 때문에 일반상대성이론이 반드시 동원되어야 할 뿐 아니라 일차 어림이 아닌 엄밀한 풀이가 꼭 필요했다. 이후 천문학상의 관측에 대하여 일반상대성이론을 사용하여 설명하려는 노력이 계속되면서, 중력붕괴, 특이성, 블랙홀의 시공간 구조 등에 대한 연구가 활발하게 이루어지게 되었다.


< 일반상대성이론의 기초 >의 목차

A. 상대성의 가설에 대한 원리적 고찰
1. 특수상대성이론에 대한 논평
2. 상대성 가설을 확장해야 할 이유
3. 시공간 연속체. 일반적인 자연법칙을 나타내는 방정식의 일반공변성 요건
4. 중력장의 해석학적 표현

B. 일반공변 방정식을 구성하기 위한 수학적 보조도구
5. 공변 4-벡터와 역공변 4-벡터
6. 2계 이상의 텐서
7. 텐서들의 곱
8. 기본텐서 g𝜇𝜈
9. 측지선 방정식 또는 질점의 운동
10. 미분에 의한 텐서
12. 리만-크리스토펠 텐서

C.  중력장이론
13. 중력장 안에서 질정의 운동방정식
14. 물질이 없을 때 중력의 마당방정식
15. 중력장의 해밀턴 함수
16. 중력장 방정식의 일반적 의미
17. 일반적인 경우의 보존법칙
18. 마당장정식의 결과에 따른 질점의 에너지 운동량 법칙 

D. ‘물질적’ 사건
19. 오일러 방정식
20. 진공에 대한 전자기장 맥스웰 방정식
21. 일차 근사로서의 뉴턴 이론
22. 중력 시간지연, 빛의 휘어짐, 수성 근일점 이동