상대성이론(심학제3도)의 상태 규정
(* 이 글은 <장회익의 자연철학 강의> 3장을 읽어나가는 데 도움이 될까 해서 보완을 위해 적은 것입니다. 그런 목적으로 이전에 썼던 글들이 있는데 다시 읽어보니 서술이 산만하고 여러 글로 나뉘어 있어서 읽기에 불편한 것 같습니다. 그래서 일부 내용을 가지고 오고 내용을 추가해서 새로운 글로 만들었습니다. *)
<자연철학 강의>의 제3장 "내용정리"의 소제목을 모아 보면 다음과 같습니다.
(1) 두 사다리의 상대적 기울기
(2) 상대속도로 본 4차원 시공간의 의미
(3) 아인슈타인의 두 기본명제
(4) 시간 간격의 상대성과 고유시간
(5) 4차원 속도와 4차원 운동량
(6) 4차원 상태와 상태 변화의 원리
(7) 일반상대성이론
상대성이론을 통해 심학제1도와 심학제2도를 수정하고자 할 때, 가장 중요한 핵심 개념은 시간과 공간이 어울려 4차원 시공간으로 합해진다는 점입니다. 그러나 심학제1도에서 정의된 것처럼 예측적 앎을 위해서는 여하간 '먼저'와 '나중'을 구별할 수 있어야 하고, 또 "무엇이 어떠하다"라고 말할 때 '무엇'에 해당하는 동역학적 특성과 '어떠하다'에 해당하는 새로운 상태 규정이 필요합니다.
시간과 공간이 합해져서 시공간이 된다 해도 각자의 좌표계에서 정의된 고유시간을 통해 '먼저'와 '나중'을 구분할 수 있습니다. 그리고 이를 출발점으로 삼아 새로운 상태로서 위치와 운동량 개념을 확장할 수 있습니다.
여헌 장현광 선생의 안목은 놀랍습니다.
"... 形이 없는 형과 象이 없는 상을 찾아내는 것이 바로 궁리(窮理)다. ... 이렇게 얻은 이치를 통해 지난 일들을 추구해 보면 오늘의 일로써 지난 만고의 일들을 가히 알 수 있으며, 또 앞으로 올 일들을 추구해 보면 다가올 만세의 일들도 오늘의 일을 통해 가히 알아낼 수 있다."(<장회익의 자연철학 강의> 53쪽)
장회익 선생님은 '形이 없는 형'을 대상의 특성이라 보고, 또 '象이 없는 상'을 대상의 상태로 해석해 보자고 제안했습니다. 뉴턴역학으로 대변되는 두 번째 심학십도에서는 대상의 특성을 질량과 힘으로 정하고, 그 상태는 "(위치, 운동량)"으로 규정했습니다.
그러나 그 바탕에는 3차원 공간과 1차원 시간이 분리된다는 (실상 증명되지 않은) 전제가 깔려 있었습니다. 이것을 통렬하게 짚어낸 것이 바로 아인슈타인과 그의 상대성이론입니다.
그러면 세 번째 심학십도에서는 어떤 것이 새롭게 될까요?
(A) 변화를 말하기 위해서는 '먼저'와 '나중'을 구별할 새로운 시간이 필요합니다.
(B) 대상이 무엇인지 말해 주는 '형(形) 없는 형'으로서 '특성'의 새로운 규정이 필요합니다. 즉 힘과 질량의 새로운 규정입니다.
(C) '상(象) 없는 상'으로서 대상의 상태를 새롭게 규정해 주어야 합니다.
이 세 가지 문제는 모두 (3차원 공간+1차원 시간) 대신 (4차원 시공간)으로 바뀐 탓에 생깁니다.
(1) 고유시간의 설정
먼저 시간 문제는 누구에게나 보편적으로 적용되는 시간을 부정해야 하기 때문에(실증적으로), 심각해졌습니다. 그래서 "모든 것이 상대적이다."라는 식으로 상대주의적 관점이 확장되어 버립니다.
하지만 물리학으로서의 자연철학에서 그런 "아무 거나 오케이"는 수용되지 않습니다. 다행히 상대성이론에서도 '먼저'와 '나중'을 확실하게 구별할 수 있는 절대적이기조차 한 '시간'이 있습니다. 그것이 바로 '고유시간'입니다. 관찰자가 속해 있는 좌표계에서 정의되는 시간이라서 "함께 움직이는 좌표계(comoving frame)의 시간"이라고도 합니다. 이것이 172-174쪽의 내용입니다.
173쪽에 있는 시간-공간 도표를 이용하면 다음의 식을 얻을 수 있습니다.$$(t_0 )^2 = t^2 + (t\tan\alpha)^2 = t^2 \left( 1- \frac{v^2}{c^2}\right)$$다시 쓰면$$t_0 = t \sqrt{ 1- \frac{v^2}{c^2}}$$여기에서 $c$는 광속이고 $v$는 $v$는 두 관성계(좌표계) 사이의 상대속도입니다. [고유시간의 개념과 그 유도과정에 대한 더 상세한 내용은 "고유시간, 인과구조, 시공간 나누어 꿰매기"를 참조할 수 있습니다.]
이 $t_0$가 고유시간이고, 변화를 말하기 위해 '먼저'와 '나중'을 판가름할 바로 그 기준이 됩니다.
(2) 3-벡터와 4-벡터
(B)와 (C)를 위한 가장 중요한 출발점은 175쪽에 있는 다음 문장입니다.
"시간-공간이 4차원이라고 하는 것은 이 안에 놓인 모든 존재물들의 상태와 상태 변화의 법칙들이 4차원 물리량 곧 4차원 벡터 형태로 표현되어야 함을 의미한다."
이 말을 이해하기 위해서는 '벡터'라는 개념을 곱씹어 보아야 합니다. 단도직입으로 말하자면, 고전역학에서 위치가 $\vec{r}=(x, y, z)$의 세 숫자로 표시된다는 말은 곧 힘이 $\vec{F}=(F_x , F_y , F_z )$와 같이 세 숫자로 표시되어야 하고, 운동량은 $\vec{p}=(p_x , p_y , p_z )$와 같이 세 숫자로 표시되어야 함을 의미합니다.
물리량에는 크게 두 종류가 있습니다. 위치 규정과 무관한 것과 위치 규정을 그대로 따라가는 것입니다. 앞의 것을 '크기(scale)'와 관련된다는 의미로 '스칼라(scalar)'라 부르고, 뒤의 것을 "따라 옮겨 다님"이라는 의미로 '벡터(vector)'라 부릅니다. vector는 '나르다, 운반하다'라는 뜻의 라틴어 vehere의 어근이 변형된 vec-과 행위자를 나타내는 -tor이 합해져 만들어진 말입니다. (https://www.merriam-webster.com/dictionary/vector) vec-이란 어근은 '탈 것(vehicle)', '움직임(vection)', '대류(convection)' 등에도 남아 있습니다. 1846년에 바로 이러한 수학적 의미로 윌리엄 로원 해밀턴이 처음 제안한 용어입니다.
스칼라는 가령 질량, 온도, 길이, 시간 같은 것이고, 벡터는 가령 위치, 힘, 운동량, 속도, 가속도 같은 것입니다.
벡터는 위치와 마찬가지로 세 성분으로 나타내기 때문에 $F_i$ ($i=1, 2, 3$)나 $v_i$ ($i=1, 2, 3$)처럼 아랫첨자(무릎번호)를 붙여서 표시하곤 합니다.
3차원 공간이 아니라 4차원 시공간이 되면, 이제 거기에 맞추어 모든 물리량을 확장해야 합니다. 3차원이던 고전역학의 경우처럼 스칼라와 벡터가 새로 정의되는데, 이를 4-스칼라, 4-벡터라 부릅니다. 4차원 스칼라, 4차원 벡터란 의미죠.
결국 네 번째 성분을 찾는 것이 관건입니다. 시공간에서 시간이 네 번째 차원으로서 허수가 되듯이, 4차원 벡터에서 네 번째 성분은 복소수로 표현됩니다.
우선 시공간 좌표는 $$(X^\mu) = (x^1, x^2 , x^3 , x^4)=(x,y,z,ict)=(\vec{r}, ict)$$가 됩니다. 여기에서 그리스 문자 $\mu$(뮤)는 관례적으로 4-벡터의 성분을 나타내기 위해 사용됩니다. $\mu=1, 2, 3, 4$와 같이 네 개의 값을 가질 수 있습니다. 수학적인 이유로 윗첨자(어깨번호)를 씁니다. 임의의 4-벡터는 $$(A^\mu) = (A^1 , A^2 , A^3, A^4) = (\vec{A}, A^4)$$처럼, 이미 알려진 3-벡터와 네 번째 성분을 함께 쓰는 식으로 정해집니다.
특수상대성이론에 적합하게 4-벡터를 구성하면 다음과 같습니다. $$\begin{align}
(V^\mu)&\equiv \frac{d (X^\mu )}{d t_0}=(\gamma \vec{v}, i \gamma c)\\ (P^\mu)&\equiv m_0 (V^\mu ) =(\gamma\vec{p}, i\frac{E}{c})\\ (F^\mu)&\equiv \frac{d (P^\mu)}{dt_0}=(\gamma\vec{F}, i\gamma \frac{\vec{v}\cdot\vec{F}}{c}) \end{align}$$ 그 유도과정은 176-182쪽에 상세하게 설명되어 있습니다.
먼저 4-속도는 $$(V^\mu) = \frac{d}{d t_0} (X^\mu)$$로 정의해야 합니다. 3-속도는 위치를 시간으로 미분한 것입니다. 즉 $$\vec{v}=\frac{d \vec x}{dt}$$인데, 4차원의 경우에도 곧이곧대로 $$(V^\mu) = \frac{d (X^\mu)}{dt}$$라고 말하면 안 됩니다. 왜냐하면 이 등식의 오른쪽에서 분자에 있는 것은 4-벡터이지만 분모에 있는 것은 4-스칼라가 아니라 벡터의 네 번째 성분이므로 좌표계가 달라지면 그 모양과 의미가 죄다 바뀌어 엉망이 되기 때문입니다. 따라서 분모, 즉 미분하는 독립변수도 4-스칼라가 되어야 합니다. 그것이 바로 고유시간입니다. 따라서 $$(V^\mu) = \frac{d (X^\mu)}{d t_0}$$가 됩니다. 4-운동량은 질량과 4-속도의 곱으로 정의합니다. 그러면 $$(P^\mu)\equiv m_0 (V^\mu)=m_0\frac{d}{d t_0} (X^\mu)$$가 됩니다.
(3) 상대성이론에서 대상의 특성과 상태
대상의 특성: 정지질량과 4차원 힘
대상의 상태: 4차원 위치와 4차원 운동량
4-벡터와 3-벡터의 관계를 구하는 것이 조금 혼동될 수 있어서 유의해야 합니다.
속도는 위치를 시간으로 미분하는 것으로 정의됩니다. 그런데 4-속도는 고유시간으로 미분해야 보편적인 의미를 가질 수 있습니다. 미분의 규칙을 이용하면 $$\frac{d}{d t_0}= \frac{dt}{dt_0} \frac{d}{dt} = \gamma \frac{d}{dt}$$이기 때문에 $\gamma = 1/\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}$의 인수를 곱해야 3-속도와 연결시킬 수 있습니다. 혼동하기 쉬운데, 원래 이 $\gamma$ 인수에 나오는 속도 $u$는 물체의 속도가 아니라 좌표계의 상대속도입니다. 하지만 물체가 정지해 있는 관성계와 관찰자가 정지해 있는 관성계를 비교해서 생각해 보면, 결국 이 좌표계의 상대속도가 곧 물체의 속도와 같음을 알 수 있습니다. 따라서 $$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$$가 됩니다.
3-속도는 $$\vec{v}=\frac{d \vec{x}}{dt}$$이므로, $$ (V^\mu )=\gamma(\vec{v}, ic) = (\gamma \vec{v}, i\gamma c)$$ $$(P^\mu )=m_0 \gamma (\vec{v}, ic) = (m_0 \gamma\vec{v}, i m_0 \gamma c)$$를 얻습니다.
여기에 맞추어 4-속도를 쓰면 $$(V^\mu)=(\frac{\vec{v}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}, \frac{i c}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}})=(\gamma\vec{v},i\gamma c)$$가 됩니다. 마찬가지로 $$(P^\mu)\equiv m_0 (V^\mu)=(\frac{m_0 \vec{v}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}, \frac{i m_0 c}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}})=(\gamma m_0 \vec{v}, i\gamma m_0 c)$$입니다.
여기에서 $$ E=\gamma m_0 c^2$$으로 정의하면 $(P^\mu )$의 네 번째 성분은 $$P^4 = i\frac{E}{c}$$라 쓸 수 있습니다.
4-벡터의 특별한 성질이 있습니다. 4-속도의 크기를 구하면 $$ (V^\mu )^2 = \gamma^2 ( \vec{v}^2 - c^2 ) = -c^2$$이 되어 언제나 크기가 일정합니다. 마찬가지로 4-운동량의 크기를 구하면 $$ (P^\mu )^2 = (m_0 )^2 (V^\mu )^2 = - m_0 ^2 c^2 $$으로 언제나 크기가 일정합니다.
여기에서 운동량에 대한 새로운 규정이 나옵니다. 고전역학에서는 운동량을 단순하게 질량과 속도의 곱으로 정의했습니다. 이 정의가 상대성이론에서도 그대로 적용되어야만 하는 것은 아닙니다. 위의 4-벡터에 대한 논의를 적용하면 $$ \begin{align}\vec{p}_{\mathrm{cl}} & = m_0 \vec{v} \\ \vec{p}_{\mathrm{rel}} & = \frac{m_0 \vec{v}}{\sqrt{1-\frac{\vec{v}^2}{c^2}}} \end{align}$$와 같이 새로운 상대론적 운동량 개념을 얻을 수 있습니다.
이 새로운 운동량 정의는 속도가 광속에 비해 아주 작다면 일차근사로 고전역학의 정의와 일치합니다. 머클로린 급수(Maclaurin series)를 쓰면 $$(1-x)^n \approx 1 - nx + \frac{1}{2}n(n-1) x^2 - \frac{1}{6}n(n-1)(n-2) x^3 + \cdots$$이므로 $$\frac{1}{\sqrt{1-x}}=(1-x)^{-1/2}\approx 1+\frac{1}{2}x +\frac{3}{8}x^2 + \cdots$$이기 때문에 $$\begin{align} \vec{p}_{\mathrm{cl}} &= m_0 \vec{v} \left( 1+\frac{1}{2}\frac{v^2}{c^2}+\frac{3}{8}\frac{v^4}{c^4}+\cdots\right)\\ &=m_0 \vec{v} + \frac{1}{2}m_0 \frac{v^2}{c^2}\vec{v} + \frac{3}{8}m_0 \frac{v^4}{c^4} \vec{v}+\cdots \end{align}$$를 얻습니다. 상대성이론을 적용하지 않는 고전역학의 운동량 정의는 상대론적 정의의 일차근사(어림)임을 알 수 있습니다.
만일 고전역학의 운동량 정의, 즉 질량과 속도의 곱을 유지하고자 한다면 상대론적 운동량의 정의에서 분모에 있는 제곱근 부분을 질량에 속한 것으로 생각하여 상대론적 질량 또는 운동질량이라는 개념을 만들 수 있습니다. 아인슈타인과 장회익 선생님의 선택이 그러합니다. 다만 질량은 특수상대성이론에서 불변량이어야 하고 고유시간과 마찬가지로 항상 고유하게 정의되어야 하기 때문에 요즘은 운동질량이라는 용어와 개념을 사용하지 않아야 한다는 생각이 널리 퍼져 있습니다. 저도 그 흐름을 따라가고 있는데, 이는 세미나에서 더 이야기해 볼 주제이겠습니다. 더 상세한 것은 “운동질량, 상대론적 질량, 정지질량”에 있습니다.
(4) 상태변화의 법칙
조금 미묘한 문제이지만, 특수상대성이론을 다룬 아인슈타인의 1905년 논문 "움직이는 물체의 전기동역학"은 두 부분으로 나뉩니다. 제1부의 제목은 '운동학 부분 Kinematischer Teil'이고 바로 대상의 특성과 상태를 어떻게 규정할 것인지 상세하게 다룹니다. 여기까지는 실질적인 변화가 없는 것이기 때문에 운동방정식 또는 상태변화의 원리가 등장하지 않습니다. 대신 동시 개념이나 시간간격과 갈이의 상대적인 차이를 꼼꼼하게 다룹니다. 이런 점에서 여기까지만으로는 특수상대성이론이 제 발로 선 독립적인 동역학이 아니라고 할 수 있습니다.
1905년 논문의 제2부 제목은 "전기동역학 부분 Elektrodynamischer Teil"입니다. 제1부에서 다룬 새로운 운동학적 개념들을 가지고 전기동역학을 재구성하는 것이죠. 제2부 10절에서 "느리게 가속하는 전자의 동역학"이란 제목으로 상대론적 질점역학을 살짝 다룹니다.
즉 특수상대성이론의 운동학적 고찰에서 얻은 4차원 시공간 개념을 전기-자기에 적용하면 상대론적 전기역학이 되고 이 4차원 시공간 개념을 질점 즉 질량만 있는 점에 적용하면 상대론적 질점역학이 됩니다.
4-벡터를 그대로 적용하면 뉴턴 방정식의 4차원 버전은 $$\frac{d P^\mu}{dt_0 } = F^\mu \quad (\mu=1, 2, 3, 4)$$가 되리라 추측할 수 있습니다. 이 중 공간성분만 생각해 보면, 고유시간 대신 시간 좌표를 그대로 써서 $$\frac{d}{dt}\left(\frac{m\vec{v}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\right)=\vec{F}$$가 됩니다. 원래의 뉴턴 방정식 $$\frac{d}{dt} ({m\vec{v}})= \vec{F}$$와 비교해 보면, 차이가 더 두드러집니다.
공간이 1차원인 경우로 국한시켜 위의 식을 풀면 $$ \vec{F}=\gamma^3 m\frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{m \vec{a}}{(1-{v^2}/{c^2})^{3/2}}$$를 얻을 수 있습니다. [상세한 유도과정은 "(**) 상대성이론의 운동방정식과 운동에너지"를 참조할 수 있습니다.] 이런 식으로 상대론적 질점역학은 비상대론적 뉴턴역학과 상당한 차이를 보입니다. 그러나 이렇게 물리학 안에서 테크니컬하게 달라지는 것은 자연철학에서 굳이 관심을 두지 않아도 좋을 것입니다.
단지 상태변화의 법칙이 고전역학의 경우와 근본적으로 달라지며, 이것은 시간과 공간을 합하여 4차원 시공간이 되기 때문입니다.
이러한 고찰에서 얻을 수 있는 중요한 결과는 에너지가 운동량과 더불어 4차원 운동량을 이룬다는 통찰입니다. 이것은 시간이 공간과 더불어 4차원 시공간을 이루는 것과 맞물립니다. 장회익 선생님은 심학제4도에서 양자역학에 대한 새로운 공리체계를 구성하는 과정에서 이러한 통찰을 중요한 계기로 삼고 있습니다.
그리고 심학제3도를 통해 운동에너지가 $$E_{K, cl}=\frac{1}{2}m v^2$$가 아니라 $$E_K = m c^2 (\gamma - 1) = m c^2 \left(\frac{1}{\sqrt{1-v^2 / c^2}}-1\right)$$로 주어져야 한다는 새로운 결과를 얻습니다. 바로 이것을 통해 태양과 같은 별에서 나오는 에너지의 근원이 핵융합임을 설명할 수 있게 되었고, 인류를 비극으로 몰아간 핵폭탄과 핵발전의 기본원리인 핵분열도 결국 이 근원적 고찰의 결과라 할 수 있겠습니다.
장현광이 대표하는 성리학적 자연철학에서 "왜 대지는 떨어지지 않는가?"라고 물었던 것을 아이작 뉴턴이 대표하는 고전역학에서 신비스러운 원격작용으로서의 보편중력으로 설명했는데, 이것이 4차원 시공간의 개념을 통해 일반상대성이론의 중력장이라는 새로운 개념으로 발전하게 된 것도 곱씹어 생각해 볼 자연철학의 성과라 하겠습니다.
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