4차원의 상태 규정과 상태변화 2 (4-벡터)
작성자
자연사랑
작성일
2020-01-24 16:50
조회
4949
(2)와 (3)을 위한 가장 중요한 관점은 175쪽에 있는 다음 문장입니다.
"시간-공간이 4차원이라고 하는 것은 이 안에 놓인 모든 존재물들의 상태와 상태 변화의 법칙들이 4차원 물리량 곧 4차원 벡터 형태로 표현되어야 함을 의미한다."
이 말을 이해하기 위해서는 '벡터'라는 개념을 곱씹어 보아야 합니다. 단도직입으로 말하자면, 고전역학에서 위치가 $\vec{r}=(x, y, z)$의 세 숫자로 표시된다는 말은 곧 힘이 $\vec{F}=(F_x , F_y , F_z )$와 같이 세 숫자로 표시되어야 하고, 운동량은 $\vec{p}=(p_x , p_y , p_z )$와 같이 세 숫자로 표시되어야 함을 의미합니다.
왜 그런지 설명하기는 상당히 어렵습니다. 다만 물리량에 두 종류가 있습니다. 위치 규정과 무관한 것과 위치 규정을 그대로 따라가는 것입니다. 앞의 것을 '크기(scale)'와 관련된다는 의미로 '스칼라(scalar)'라 부르고, 뒤의 것을 "따라 옮겨 다님"이라는 의미로 '벡터(vector)'라 부릅니다. vector는 '나르다, 운반하다'라는 뜻의 라틴어 vehere의 어근이 변형된 vec-과 행위자를 나타내는 -tor이 합해져 만들어진 말입니다. ["carrier, conveyer," from vec-, alternate stem of vehere "to convey, carry"+ -tor, agent suffix] (https://www.merriam-webster.com/dictionary/vector)
vec-이란 어근은 '탈 것(vehicle)', '움직임(vection)', '대류(convection)' 등에도 남아 있습니다. 1846년에 바로 이러한 물리학적 의미로 처음 사용되기 시작했습니다.
스칼라는 가령 질량, 온도, 길이, 시간 같은 것이고, 벡터는 가령 위치, 힘, 운동량, 속도, 가속도 같은 것입니다.
벡터는 위치와 마찬가지로 세 성분으로 나타내기 때문에 $F_i$나 $v_i$처럼 아랫첨자(무릎번호)를 붙여서 표시하곤 합니다.
이것만 있는 게 아니라 첨자가 여러 개 있는 물리량도 있습니다. 이것을 '텐서tensor'라 부릅니다.
가령 변형력(스트레스)이라 부르는 양이 있는데 $A_{ij}$처럼 두 개의 무릎번호가 있고, 그 각각 세 가지가 가능하므로 모두 합해 $3\times 3=9$개의 성분으로 표시합니다. 행렬이란 것을 이용하여 나타내는 것이 편리합니다.
용수철이 나올 때 후크의 법칙이란 것이 있어서 탄성력은 변형된 길이에 비례한다는 것이 있었습니다.
$$F=-k x$$
로 나타냅니다. 그런데 실상 용수철 같은 탄성체는 훨씬 복잡합니다. 확장된 후크의 법칙은
$$\sigma_{ij}=-c_{ijk\ell} \varepsilon_{k\ell}$$
과 같이 텐서로 표현됩니다.
[https://en.wikipedia.org/wiki/Hooke's_law참조]
3차원 공간이 아니라 4차원 시공간이 되면, 이제 거기에 맞추어 모든 물리량을 확장해야 합니다. 3차원이던 고전역학의 경우처럼 스칼라와 벡터가 새로 정의되는데, 이를 4-스칼라, 4-벡터라 부릅니다. 4차원 스칼라, 4차원 벡터란 의미죠.
실상 제대로 하려면 일반상대성이론에서 하는 것처럼 가장 먼저 거리함수 텐서부터 확정을 하고 더 진행해야 합니다. 하지만 그러기에는 너무 복잡해질 터라 장회익 선생님께서는 그냥 네 번째 성분을 복소수로 나타내는 절충안을 선택하셨습니다.
우선 시공간 좌표는
$$(X^\mu) = (x^1, x^2 , x^3 , x^4)=(x,y,z,ict)=(\vec{r}, ict)$$
가 되고, 임의의 4-벡터는
$$(A^\mu) = (A^1 , A^2 , A^3, A^4) = (\vec{A}, A^4)$$
처럼, 이미 알려진 3-벡터와 네 번째 성분을 함께 쓰는 식으로 정해집니다.
특수상대성이론에 적합하게 4-벡터를 구성하면 다음과 같은 결과를 얻습니다.
$$\begin{align}
(V^\mu)&=(\gamma \vec{v}, i \gamma c)\\
(P^\mu)&=(\vec{p}, i\frac{E}{c})\\
(F^\mu)&=(\vec{F}, i\gamma \frac{\vec{v}\cdot\vec{F}}{c})
\end{align}$$
그 유도과정은 176-182쪽에 상세하게 설명되어 있습니다.
먼저 4-속도에서 속도가 위치를 시간으로 미분하는 것이 아니라 고유시간으로 미분해야 보편적인 의미를 가질 수 있기 때문에 $\gamma = 1/\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}$의 인수를 곱해야 합니다. 혼동이 잘 되는 점은 이 $\gamma$ 인수에 나오는 속도 $u$는 물체의 속도가 아니라 좌표계의 상대속도라는 점입니다. 그런데 물체가 정지해 있는 관성계와 관찰자가 정지해 있는 관성계를 비교해서 생각해 보면, 결국 이 좌표계의 상대속도가 곧 물체의 속도와 같게 됩니다. 따라서
$$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$$
가 됩니다.
여기에 맞추어 4-속도를 쓰면
$$(V^\mu)=(\frac{\vec{v}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}, \frac{i c}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}})=(\gamma\vec{v},i\gamma c)$$
가 됩니다. 마찬가지로
$$(P^\mu)=(\frac{m_0 \vec{v}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}, \frac{i m_0 c}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}})=(\gamma m_0 \vec{v}, i\gamma m_0 c)$$
입니다.
이제 정리해 보면 뉴턴역학과 달리 상대성이론에서는 다음과 같은 새로운 규정을 얻습니다.
(2) 대상의 특성: 정지질량과 4차원 힘
대상의 상태: 4차원 위치와 4차원 운동량
조금 미묘한 문제이지만, 특수상대성이론을 다룬 아인슈타인의 1905년 논문 "움직이는 물체의 전기동역학"은 두 부분으로 나뉩니다. 제1부의 제목은 '운동학 부분 Kinematischer Teil'이고 바로 대상의 특성과 상태를 어떻게 규정할 것인지 상세하게 다룹니다. 여기까지는 실질적인 변화가 없는 것이기 때문에 운동방정식 또는 상태변화의 원리가 등장하지 않습니다.
그래서 실상 특수상대성이론은 제 발로 선 독립적인 동역학이 아닙니다.
1905년 논문의 제2부 제목은 "전기동역학 부분 Elektrodynamischer Teil"입니다. 제1부에서 다룬 새로운 운동학적 개념들을 가지고 전기동역학을 재구성하는 것이죠. 제2부 10절에서 "느리게 가속하는 전자의 동역학"이란 제목으로 상대론적 질점역학을 살짝 다루는데, 좀 이상합니다.
1905년 11월에 가서야 질량이 속도에 따라 변할 수 있다는 관념을 제시하면서 제대로 이야기를 펼치기 시작합니다.
(3) 상태변화의 법칙
4-벡터를 그대로 적용하면 뉴턴 방정식의 4차원 버전은
$$\frac{d P^\mu}{dt_0 } = F^\mu$$
로 쓸 수 있습니다. 이 중 공간성분만 생각해 보면, 고유시간 대신 시간 좌표를 그대로 써서
$$\frac{d}{dt}\left(\frac{m\vec{v}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\right)=\vec{F}$$
가 됩니다. 원래의 뉴턴 방정식
$$\frac{d}{dt}({m\vec{v}})=\vec{F}$$
와 비교해 보면, 차이가 더 두드러집니다.
공간이 1차원인 경우로 국한시켜 위의 식을 풀면
$$ \vec{F}=\gamma^3 m\frac{dv}{dt} = \frac{m a}{(1-{v^2}/{c^2})^{3/2}}$$
를 얻을 수 있습니다.
4차원 운동방정식의 시간 성분은 조금 더 고민이 필요합니다.
(계속)
"시간-공간이 4차원이라고 하는 것은 이 안에 놓인 모든 존재물들의 상태와 상태 변화의 법칙들이 4차원 물리량 곧 4차원 벡터 형태로 표현되어야 함을 의미한다."
이 말을 이해하기 위해서는 '벡터'라는 개념을 곱씹어 보아야 합니다. 단도직입으로 말하자면, 고전역학에서 위치가 $\vec{r}=(x, y, z)$의 세 숫자로 표시된다는 말은 곧 힘이 $\vec{F}=(F_x , F_y , F_z )$와 같이 세 숫자로 표시되어야 하고, 운동량은 $\vec{p}=(p_x , p_y , p_z )$와 같이 세 숫자로 표시되어야 함을 의미합니다.
왜 그런지 설명하기는 상당히 어렵습니다. 다만 물리량에 두 종류가 있습니다. 위치 규정과 무관한 것과 위치 규정을 그대로 따라가는 것입니다. 앞의 것을 '크기(scale)'와 관련된다는 의미로 '스칼라(scalar)'라 부르고, 뒤의 것을 "따라 옮겨 다님"이라는 의미로 '벡터(vector)'라 부릅니다. vector는 '나르다, 운반하다'라는 뜻의 라틴어 vehere의 어근이 변형된 vec-과 행위자를 나타내는 -tor이 합해져 만들어진 말입니다. ["carrier, conveyer," from vec-, alternate stem of vehere "to convey, carry"+ -tor, agent suffix] (https://www.merriam-webster.com/dictionary/vector)
vec-이란 어근은 '탈 것(vehicle)', '움직임(vection)', '대류(convection)' 등에도 남아 있습니다. 1846년에 바로 이러한 물리학적 의미로 처음 사용되기 시작했습니다.
스칼라는 가령 질량, 온도, 길이, 시간 같은 것이고, 벡터는 가령 위치, 힘, 운동량, 속도, 가속도 같은 것입니다.
벡터는 위치와 마찬가지로 세 성분으로 나타내기 때문에 $F_i$나 $v_i$처럼 아랫첨자(무릎번호)를 붙여서 표시하곤 합니다.
이것만 있는 게 아니라 첨자가 여러 개 있는 물리량도 있습니다. 이것을 '텐서tensor'라 부릅니다.
가령 변형력(스트레스)이라 부르는 양이 있는데 $A_{ij}$처럼 두 개의 무릎번호가 있고, 그 각각 세 가지가 가능하므로 모두 합해 $3\times 3=9$개의 성분으로 표시합니다. 행렬이란 것을 이용하여 나타내는 것이 편리합니다.
용수철이 나올 때 후크의 법칙이란 것이 있어서 탄성력은 변형된 길이에 비례한다는 것이 있었습니다.
$$F=-k x$$
로 나타냅니다. 그런데 실상 용수철 같은 탄성체는 훨씬 복잡합니다. 확장된 후크의 법칙은
$$\sigma_{ij}=-c_{ijk\ell} \varepsilon_{k\ell}$$
과 같이 텐서로 표현됩니다.
[https://en.wikipedia.org/wiki/Hooke's_law참조]
3차원 공간이 아니라 4차원 시공간이 되면, 이제 거기에 맞추어 모든 물리량을 확장해야 합니다. 3차원이던 고전역학의 경우처럼 스칼라와 벡터가 새로 정의되는데, 이를 4-스칼라, 4-벡터라 부릅니다. 4차원 스칼라, 4차원 벡터란 의미죠.
실상 제대로 하려면 일반상대성이론에서 하는 것처럼 가장 먼저 거리함수 텐서부터 확정을 하고 더 진행해야 합니다. 하지만 그러기에는 너무 복잡해질 터라 장회익 선생님께서는 그냥 네 번째 성분을 복소수로 나타내는 절충안을 선택하셨습니다.
우선 시공간 좌표는
$$(X^\mu) = (x^1, x^2 , x^3 , x^4)=(x,y,z,ict)=(\vec{r}, ict)$$
가 되고, 임의의 4-벡터는
$$(A^\mu) = (A^1 , A^2 , A^3, A^4) = (\vec{A}, A^4)$$
처럼, 이미 알려진 3-벡터와 네 번째 성분을 함께 쓰는 식으로 정해집니다.
특수상대성이론에 적합하게 4-벡터를 구성하면 다음과 같은 결과를 얻습니다.
$$\begin{align}
(V^\mu)&=(\gamma \vec{v}, i \gamma c)\\
(P^\mu)&=(\vec{p}, i\frac{E}{c})\\
(F^\mu)&=(\vec{F}, i\gamma \frac{\vec{v}\cdot\vec{F}}{c})
\end{align}$$
그 유도과정은 176-182쪽에 상세하게 설명되어 있습니다.
먼저 4-속도에서 속도가 위치를 시간으로 미분하는 것이 아니라 고유시간으로 미분해야 보편적인 의미를 가질 수 있기 때문에 $\gamma = 1/\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}$의 인수를 곱해야 합니다. 혼동이 잘 되는 점은 이 $\gamma$ 인수에 나오는 속도 $u$는 물체의 속도가 아니라 좌표계의 상대속도라는 점입니다. 그런데 물체가 정지해 있는 관성계와 관찰자가 정지해 있는 관성계를 비교해서 생각해 보면, 결국 이 좌표계의 상대속도가 곧 물체의 속도와 같게 됩니다. 따라서
$$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$$
가 됩니다.
여기에 맞추어 4-속도를 쓰면
$$(V^\mu)=(\frac{\vec{v}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}, \frac{i c}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}})=(\gamma\vec{v},i\gamma c)$$
가 됩니다. 마찬가지로
$$(P^\mu)=(\frac{m_0 \vec{v}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}, \frac{i m_0 c}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}})=(\gamma m_0 \vec{v}, i\gamma m_0 c)$$
입니다.
이제 정리해 보면 뉴턴역학과 달리 상대성이론에서는 다음과 같은 새로운 규정을 얻습니다.
(2) 대상의 특성: 정지질량과 4차원 힘
대상의 상태: 4차원 위치와 4차원 운동량
조금 미묘한 문제이지만, 특수상대성이론을 다룬 아인슈타인의 1905년 논문 "움직이는 물체의 전기동역학"은 두 부분으로 나뉩니다. 제1부의 제목은 '운동학 부분 Kinematischer Teil'이고 바로 대상의 특성과 상태를 어떻게 규정할 것인지 상세하게 다룹니다. 여기까지는 실질적인 변화가 없는 것이기 때문에 운동방정식 또는 상태변화의 원리가 등장하지 않습니다.
그래서 실상 특수상대성이론은 제 발로 선 독립적인 동역학이 아닙니다.
1905년 논문의 제2부 제목은 "전기동역학 부분 Elektrodynamischer Teil"입니다. 제1부에서 다룬 새로운 운동학적 개념들을 가지고 전기동역학을 재구성하는 것이죠. 제2부 10절에서 "느리게 가속하는 전자의 동역학"이란 제목으로 상대론적 질점역학을 살짝 다루는데, 좀 이상합니다.
1905년 11월에 가서야 질량이 속도에 따라 변할 수 있다는 관념을 제시하면서 제대로 이야기를 펼치기 시작합니다.
(3) 상태변화의 법칙
4-벡터를 그대로 적용하면 뉴턴 방정식의 4차원 버전은
$$\frac{d P^\mu}{dt_0 } = F^\mu$$
로 쓸 수 있습니다. 이 중 공간성분만 생각해 보면, 고유시간 대신 시간 좌표를 그대로 써서
$$\frac{d}{dt}\left(\frac{m\vec{v}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\right)=\vec{F}$$
가 됩니다. 원래의 뉴턴 방정식
$$\frac{d}{dt}({m\vec{v}})=\vec{F}$$
와 비교해 보면, 차이가 더 두드러집니다.
공간이 1차원인 경우로 국한시켜 위의 식을 풀면
$$ \vec{F}=\gamma^3 m\frac{dv}{dt} = \frac{m a}{(1-{v^2}/{c^2})^{3/2}}$$
를 얻을 수 있습니다.
4차원 운동방정식의 시간 성분은 조금 더 고민이 필요합니다.
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