(*) 양자장이론의 개요
(* 아래 글은 다른 곳에서 양자장이론의 동역학적 구조를 설명하기 위해 쓴 글입니다. <양자역학을 어떻게 이해할까?> 7장을 읽어가는 과정에 조금이나마 도움이 될까 싶어서 가져왔습니다. *)
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양자장이론의 동역학적 구조를 더 상세하게 설명하기 위하여, 양자장이론을 라그랑지안 밀도가 주어지는 경우에 대하여 앞의 틀을 가지고 서술하고자 한다. 이를 일컬어 라그랑지안 정식화(Lagrangian QFT, LQFT)라 한다. 논의를 더 구체적으로 하기 위해 양자전기역학(QED)이나 $\phi^{4}$ 이론을 염두에 두는 것이 현명하다. [표준적인 라그랑지안 정식화에 대한 서술로서 Roman(1969), Nakanishi & Ojima(1990), Peskin & Schroeder (1995), Duncan (2012) 등 참조.]
상대론적 양자장이론의 출발점은 명확한 질량과 스핀과 전하(또는 초전하)를 가진 입자들의 존재를 실험상으로 확인할 수 있다는 사실이다.
동역학으로서의 양자장이론이 서술하고자 하는 것은 마치 당구공 문제처럼 이 입자들이 서로 무관하게 있다가 “부딪혀서” 상호작용한 뒤에 다시 서로 떨어져 있게 되는 상황을 염두에 두고, 그 때에 충돌전의 상태가 충돌 후에 어떻게 바뀌었는가라는 문제이다. 라그랑지안 정식화에서는 고전장이론을 정의하는 라그랑지안 밀도를 특정하는 것이 대상의 특성을 규정하는 것에 대응한다.
예를 들어, $\phi ^{4}$ 이론의 라그랑지안 밀도는 $$\mathcal{L}[ \phi, \partial \phi / \partial t , \vec \nabla \phi ] = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial \phi }{\partial t} \right)^2
- \frac{1}{2} \left( \vec \nabla \phi \right)^2 - \frac{m}{2} \phi^2 - \frac{\lambda}{4} \phi^4 `$$로 주어지며, 양자전기역학에 대한 라그랑지안 밀도는 $$\mathcal{L}[\psi, \bar{\psi}, A_\mu ] =\bar{\psi}(i\gamma^\mu \partial_\mu - m)\psi - \frac{1}{4}A_\mu \partial^\mu \partial^\nu A_\nu + e \bar{\psi} \gamma^\mu \psi A_\mu$$로 주어진다.
라그랑지안 양자장이론에서는 이 고전장이론을 ‘양자화’함으로써 양자장이론을 얻을 수 있는 것으로 전제한다. 예를 들어, $\phi^4$ 이론의 경우에는 질량 $m$인 스핀 없는 입자(예를 들어, 파이중간자)를 나타내는 클라인-고르돈 마당 $\phi(x)$가 있고, 양자전기역학은 빛알을 나타내는 맥스웰 마당 $A_\mu (x)$와 전자와 양전자를 나타내는 디랙 마당 $\psi(x)$, $\bar{\psi}(x)$가 있다. 이 마당들에 대한 라그랑지안은 로렌츠 대칭성을 처음부터 가지도록 구성되며, 마당방정식은 이 라그랑지안에 대한 오일러-라그랑주 방정식이 된다.
라그랑지안 정식화의 기본전략은 다음과 같다. 상호작용을 나타내는 비선형항이 없을 때의 풀이, 즉 자유입자에 대한 고전 마당방정식의 풀이를 먼저 구한다. 상호작용은 일반적으로 비선형항으로 나타나며, 이 항을 통해 마당들이 상호작용한 결과 특정 시간에 특정 위치에 있는 입자(또는 특정 에너지, 특정 운동량을 갖는 입자)가 일정 시간 뒤에 다른 위치에서 다른 에너지, 다른 운동량을 가지고 나타나게 된다. 이렇게 에너지와 운동량으로 표현된 서로 다른 상태들 사이의 전이확률 $$\langle E', \vec{p}' | E, \vec{p}\rangle$$를 계산할 수 있다면, 결국 상태의 변화를 예측 또는 설명한 것이 된다.
이를 상세하게 설명하기 위해 먼저 상호작용이 없는 자유입자에 대한 양자장이론의 서술을 살펴 보자. 자유입자에 대한 마당방정식은 완전한 풀이가 알려져 있으며, 이는 푸리에 변환으로 쉽게 구할 수 있다. 양자장이론에서는 국소성원리가 처음부터 개입하므로, 상태들 사이의 전이과정도 분명히 유한한 속도로 전파될 수 밖에 없는데, 이렇게 상태가 전이해 가는 과정을 기술하는 것이 바로 그린 함수(Green’s function) 또는 퍼치개(propagator)이다. 즉, 그린 함수는 서로 다른 시공간점 사이의 엇물림(상관관계, correlation)을 기술하는 엇물림함수이다. 부여하는 경계조건에 따라, 여러가지 그린함수를 얻을 수 있다.
만일 적당한 방식으로 고전장이론으로부터 양자장이론을 끌어낼 수 있다면, 이 양자마당은 잘 정의된 힐버트 공간에서 작용하는 연산자가 된다. [가장 표준적인 것은 슈윙거의 작용원리를 이용하는 것인데, 여기에서는 작용연산자를 정의하고 작용연산자의 변환이 변분 생성원의 차와 같다는 가설을 쓰는 것이다. 공변연산자 정식화에서는 자유마당의 푸리에 계수를 그래도 연산자로 바꾸는 방법을 택한다. 마당 사이의 정준 교환관계식을 가정하면, 이로부터 푸리에 계수들이 만족하는 정준 교환관계식을 얻을 수 있다.] 이 연산자로부터 어떻게 상태공간이 되는 힐버트 공간을 구성할 것인가가 다음의 과제이다.
우선 상태를 나타내는 힐버트 공간의 벡터들이 나타낼 양자수가 무엇인가를 보아야 하는데, 이에 대한 실마리는 푸앵카레 변환군에 대한 공변성에 있다. 질점양자역학에서와 마찬가지로 상태를 서술하는 방식은 그 바닥에 깔려있는 시간과 공간의 기준을 바꾸면, 적절하게 바뀌긴 하지만, 실험결과 즉 측정값이 바뀔 수는 없다. 예를 들어, 실험장치의 위치나 방향을 바꾸거나, 실험실을 균일한 속도로 달리는 기차 안에 설치하거나, 시계를 돌려 놓더라도, 실험 결과는 같아야 한다. 그러므로, 일반적으로 뇌터의 정리에 따라, 푸앵카레 변환에 대하여 불변적인 의미를 갖는 뇌터 전하는 에너지, 운동량, 각운동량, 전기전하 등이 된다. $$P^\mu = \int_{\Sigma} d\sigma_\nu (\pi^\nu \partial^\mu \varphi - \eta^{\mu\nu}\mathcal{L} ) , \quad J_{\mu\nu} , \quad q$$
뇌터 전하는 해당 변환의 발생원 역할을 하며, 특히 에너지와 운동량에 대한 마당의 변환은 곧 운동방정식에 해당한다. 즉, $$\partial_\mu \varphi (x) = i [P_\mu , \varphi(x)] , \quad \varphi (x) = e^{-iPx} \varphi(0) e^{i P x}$$은 자유마당 방정식과 일치한다.
푸앵카레 변환군의 카시미르 불변량, 즉 모든 발생원과 가환인 연산자는 $$\begin{align} P_\mu P^\mu &= M^2 \\ W_\mu W^\mu &= - s (s+1) M^2 , \quad W_\mu = \frac{1}{2} \varepsilon_{\mu\nu\rho\sigma} J^{\nu\rho} P^\sigma\end{align}$$이므로, 질량과 스핀으로 상태를 규정할 수 있다. 앞의 마당방정식에서 보면, 일반적인 상태는 $$P_\mu |0\rangle = 0 , \quad J_{\mu\nu}|0\rangle = 0$$와 같은 성질을 갖는 진공상태 $|0\rangle$에 마당연산자를 작용함으로써 ‘얻을’ 수 있다. 여기에서 상태를 ‘얻는다’는 표현은 주어진 라그랑지안 밀도로 정의된 동역학적 대상의 가능한 상태들이 이 특정의 진공상태에 마당연산자를 작용한 형태로 항상 쓸 수 있다는 뜻이다. 이렇게 얻은 상태는 일반적으로 질량 $M$과 스핀 $s$외에도, 운동량 $\vec{p}$와 편극성(helicity) $h=-W_0 / |\vec{P}|$ 및 내부대칭성으로서의 전하 $q$로 규정됨을 보일 수 있다. 요컨대, 상호작용하지 않는 단일 입자에 대한 상태벡터는 $$|\vec{p}, h ; M, s, q\rangle$$와 같은 양자수로 기술되며, 이들 관측가능량들을 나타내는 연산자 모두 마당연산자로 나타낼 수 있으므로, 결국 모든 관측가능량들은 마당연산자로 ‘환원’할 수 있다. 일반적으로 상호작용하지 않는 입자에 대한 마당연산자는 $$\hat{\varphi}(x) = \hat{\varphi}^{+} (x) + \hat{\varphi}^{-} (x)$$와 같이 양의 진동수 부분과 음의 진동수 부분으로 나누어 쓸 수 있다. 예를 들어, 클라인-고르돈 마당의 경우에는 $$\hat{\varphi} (x) = \left. \int \frac{d^3 p}{(2\pi)^3} \frac{1}{\sqrt{2\omega_p}} \left( \hat{a}_p e^{-i p\cdot x} + \hat{a}^\dagger _p e^{+i p\cdot x} \right) \right|_{p^0 = \omega_p \equiv \sqrt{\vec{p}^2 + m^2}}$$와 같이 주어진다. 혼동의 여지가 없으면 연산자를 나타내는 $\hat{\varphi}$ 대신 단순하게 $\varphi$로 써도 무방하다.
이 연산자를 진공상태에 작용시키면, 입자 또는 반입자가 생성되는데, 이렇게 만들어진 한 입자 상태(또는 한 반입자 상태), 두 입자 상태, 등등을 모두 모으면, 이것이 우리가 애초에 원하던 상태 공간이 된다. 이것이 포크(Fock) 공간이다. 즉, 입자의 수가 변하는 것까지를 고려하여 힐버트 공간을 확장한 상태 공간이 포크 공간이다.
임의의 상태를 진공상태에 마당연산자가 작용한 결과로 나타낼 수 있으므로, 상태들 사이의 전이확률 $\langle \Psi|\Psi\rangle$은 마당연산자들에 대한 진공기대값 $$\langle 0 | \varphi (x_1) \varphi (x_2) \cdots \varphi (x_n)|0\rangle \quad (n=1, 2, \cdots)$$으로 주어진다. 만일 인과성을 고려한다면, 이러한 일반적인 진공기대값 대신, 마당연산자를 시간의 순서에 따라 재배열한 시간순서곱 진공기대값 $$\langle 0 | T\varphi (x_1) \varphi (x_2) \cdots \varphi (x_n)|0\rangle \quad (n=1, 2, \cdots)$$을 구하면 된다.
이들 진공기대값들을 $n$점 엇물림함수(상관함수, correlation)라 부른다. 임의의 $n$점 엇물림함수는 원칙적으로 2점 엇물림함수의 적당한 곱으로 주어지리라 예상할 수 있다. 실제로 상호작용이 없는 마당에 대해서는 이것이 가능할 뿐더러 무한한 전개항들이 그 크기가 점점 작아지는 식으로 배열되어 있음을 증명할 수 있다. 그런데 흥미로운 점은 상호작용이 없는 경우에는 두 마당에 대한 진공기대값, 즉 2점 엇물림함수를 모두 앞에서 고전장이론의 경우에 구한 그린함수들로 나타낼 수 있다는 사실이다. 슈윙거 델타 함수의 성질을 이용하면 같은 시간의 정준 교환관계식(ETCR, equal time commutation relation) $$\begin{align} [\varphi (x), \varphi(y)] \delta (x^0 - y^0 ) &= 0 , \\ [\pi (x), \pi(y)] \delta (x^0 - y^0 ) &= 0 , \\ [\pi (x), \varphi(y)] \delta (x^0 - y^0 ) &= - i \delta^3 (\vec{x} - \vec{y}) \end{align}$$를 얻을 수 있다.
요컨대, 상호작용이 없는 경우에는 대상계에 대하여 모든 것을 정확히 알 수 있다. 즉, 가능한 모든 상태를 망라할 수 있고, 그 상태들 사이의 변환도 정확히 알 수 있다. 이렇게 보면, 양자장이론은 너무 뻔한 동역학이 아닌가 하고 생각하기 쉬운데, 실질적으로 상호작용하지 않는 입자에 대한 기술은 기껏해야 운동학적(kinematic) 서술일 뿐이다.
결국 상호작용이 있는 경우를 풀어야만, 양자장이론이 제대로 동역학으로서 기능하기 시작하는 것이 된다. 그런데, 상호작용이 있게 되면, 이제까지 상호작용이 없는 경우에 구축해 놓은 모든 것에 의심이 가기 시작한다. 우선, 상호작용을 나타내는 항 덕분에 장방정식이 비선형 방정식이 되므로 이 방정식은 일반적으로 풀 수 없다. 특별한 경우에 홀로알(soliton) 풀이를 구할 수 있지만, 이는 특수해에 지나지 않으므로, 이로부터 일반적인 풀이를 얻어낼 수 없다. 그린함수들도 상호작용이 있는 경우에 그 풀이가 알려져 있는 것이 없다. 무엇보다도 비선형 상호작용 때문에 마당에 대한 푸리에 해석을 할 수 없게 된다. 상호작용이 없는 자유마당의 경우에 마당연산자를 $$\hat{\varphi}(x) = \hat{\varphi}^{+} (x) + \hat{\varphi}^{-} (x) $$와 같이 양의 진동수 부분과 음의 진동수 부분으로 나누어 쓸 수 있었던 것은 해당 마당방정식이 선형이었기 때문인데, 상호작용이 있어서 마당방정식이 비선형이 되면 이러한 푸리에 분해는 허용되지 않는다. 게다가 $$P_\mu |0\rangle = 0 , \quad J_{\mu\nu}|0\rangle = 0$$와 같은 성질을 갖는 진공상태 $|0\rangle$가 존재하는지도 의문이다. 따라서, 상호작용이 있는 경우의 포크 공간을 구성하는 것은 대단히 어려울 뿐더러 불가능하기까지 한 것으로 보인다.
이런 것들은 우선은 상호작용 때문에 생기는 테크니컬한 문제로 보인다. 이에 대한 물리학자들의 접근은 실용적인 계산을 위해서 상호작용이 있더라도 전체적인 구조가 본질적으로 달라지지 않는다고 가정하는 것이다. 상호작용 때문에 생기는 어떤 복잡한 것들도 어림으로(perturbative)라면 빼놓지 않고 모두 계산할 수 있다는 것이 공변건드림 정식화(covariant perturbation theory)의 가정이다.
상호작용이 있는 경우에 $n$점 엇물림함수($n$-point correlation functions)를 구하기 위해서는, 통계물리와 비슷하게 $n$점 엇물림함수의 생성범함수(generating functional)를 먼저 구한 뒤에 이를 건드림 방법으로 구하는 것이다. 대상계의 라그랑지안 밀도가 $\mathcal{L}$로 주어질 때, 허상적인 샘 $J(x)$를 결합시켜서 이로부터 진공대진공 진폭을 구할 수 있다. $$\begin{align} Z[J] & = \int \mathcal{D}\phi \exp\left[i \int (\mathcal{L} + J\phi )\right] \\ G^{(n)} (x_1 , x_2, \cdots , x_n) & \equiv \langle 0 | T\phi (x_1) \phi (x_2) \cdots \phi (x_n)|0\rangle \\ & = \left. \frac{\delta}{i \delta J(x_1 )} \frac{\delta}{i \delta J(x_2 )} \cdots \frac{\delta}{i \delta J(x_n )} Z[J] \right|_{J=0} \end{align}$$
이렇게 구한 $n$점 엇물림함수란 다름 아니라 통계역학에서 자주 사용되는 응답 함수(response functions)이다. 즉, 외부에서 자극 $J$를 주었을 때, 대상이 어떻게 응답할 것인지를 말해 주는 함수이다. 여기에서 생성범함수는 소위 ‘공변건드림 이론의 마술의 공식’(magic formula of covariant perturbation theory) $$ \frac{Z[J]}{Z[0]} = \langle \Omega_0 | T \exp\left( i S_0 + \int \mathcal{L}_I d^4 x\right) |\Omega_0\rangle = \text{sum of connected Feynman diagrams}$$로부터 계산할 수 있다. 파인만 그림이란 이렇게 건드림으로 계산하는 과정에서 모든 것을 빼놓지 않고 중복없이 계산하게끔 하는 일종의 재무제표인 셈이다.
예를 들어 양자전기역학에서는 $$\begin{align} S'_F (x_1 - x_2 )&=\langle \bar{\psi}(x_1) \psi(x_2)\rangle , \\ D'_{\mu\nu}(x-y) &=\langle A_\mu (x) A_\nu (y)\rangle , \\ \Gamma_\mu (x_1 , x_2, y) & =\langle \bar{\psi}(x_1 ) \psi (x_2) A_\mu (y)\rangle \end{align}$$만 알면 일반적으로 산란단면적 등 모든 물리적으로 관심이 되는 양을 계산할 수 있다. 이것은 각각 전자의 퍼치개, 빛알(光子)의 퍼치개, 꼭지점 함수를 구하는 것에 해당하며, 이 세 가지 마당곱 기대값으로부터 전자-빛의 모든 현상에 대한 이론을 세울 수 있다.
1940년대 말에 크라머스(Kramers, 1947-8), 베테(Bethe, 1947), 루이스(Lewis, 1948), 슈윙거(1948), 도모나가(1946), 파인만(1948) 등의 공동 노력으로 만들어진 되틀맞춤 이론(renormalization theory)에서 그전까지 공변 건드림(섭동) 이론(covariant perturbation theory)의 고차항에서 나타나던 무한대(발산)의 문제를 잘 해결하는 동시에 전자기적 과정의 어떤 고차보정을 성공적으로 예측했다. 1949년에 양자전기역학(QED)의 S-행렬의 되틀맞춤가능함이 일반적인 수준에서 증명되었고(Dyson), 겹치기 발산(overlapping divergence)의 문제나 각 차수마다의 되틀맞춤 과정의 수렴성이 1950, 60년대에 걸쳐 차례로 증명되었다(Ward, Salam, Weinberg, Mills & Yang, ’t Hooft, Veltman, B. Lee).
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[자료] 유튜브 대담영상 "자연철학이야기" 녹취록 & 카툰 링크 모음 (2)
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<양자역학을 어떻게 이해할까?> 강독모임 계획 안내 (1)
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『양자역학을 어떻게 이해할까?』 정오표 (10)
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(*) 양자장이론의 개요 (7)
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양자장이론의 간단한 소개
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양자지우개 (베이질 제임스 힐리)
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안개상자와 입자의 궤적
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윌러의 뒤늦은 선택 실험
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소위 양자지우개 실험
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양자역학의 짧은 역사 (마르셀루 글레이세르)
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양자장이론 일반에 대해 되틀맞춤을 증명한다거나 하는 것은 불가능하거나 불필요한 일이겠고, 각각의 개별적인 양자장이론에 대해 되틀맞춤과 관련된 논의와 증명이 있습니다.
양자전기역학(Quantum Electrodynamics, QED)에 대한 되틀맞춤가능 증명으로는 좀 오래되긴 했지만, 1988년에 나온 단행본이 널리 알려져 있습니다.
Joel S. Feldman , Thomas R. Hurd , Lon Rosen , Jill D. Wright (1988) QED. A Proof of Renormalizability https://doi.org/10.1007/3-540-50213-0
되틀맞춤군(RG, renormalization group)의 기법은 입자물리학뿐 아니라 특히 통계물리학에서 매우 중요한 역할을 했습니다. 1970년대의 코굿 윌슨이 주된 작업을 했고, 지금은 잘 정립되어 있는 기법입니다. '분야'라고 말하기는 어렵고 대개는 '기법(technic)' 정도로 여깁니다. 종종 되틀맞춤군 이론이란 표현도 보이긴 합니다. 관련된 글로 "척도 없는 연결망은 드문 걸까 흔한 걸까? (김범준)"의 일독을 권하고 싶습니다.
조금 맥락은 다르지만 양자장이론에서 사용되는 되틀맞춤군의 기법은 기상예측과 기후예측에서 중요한 역할을 한다고 합니다. 가령 아래의 책에서 부제가 "구름과 비의 양자 세계"라는 점이 흥미롭습니다. 주제목은 "스스로 짜인 고비성과 대기흐름의 예측가능성"입니다.
Amujuri Mary Selvam (2017). Self-organized Criticality and Predictability in Atmospheric Flows: The Quantum World of Clouds and Rain. Springer (https://amzn.to/3Ozc0rH)
2021년 노벨물리학상이 이 문제와 연관됩니다. 업적이 각각 "for groundbreaking contributions to our understanding of complex physical systems"인데, 다 세부적으로는 "for the physical modelling of Earth’s climate, quantifying variability and reliably predicting global warming"과 "for the discovery of the interplay of disorder and fluctuations in physical systems from atomic to planetary scales"가 기재되어 있습니다.
https://www.nobelprize.org/prizes/physics/2021/summary/
감사합니다 !! "... 상호작용이 있더라도 전체적인 구조가 본질적으로 달라지지 않는다." 그리고 "척도 없는 연결망은 드문 걸까 흔한 걸까? (김범준)" 도 좋습니다 !
잘 이해는 못했지만 그래도 일단 끝까지 읽어보았습니다. 덕분에 장회익 선생님 책에 나오는 여러가지 연산자와 수식들이 나온 맥락을 볼 수 있었습니다. 상호작용에 따른 비선형성과 발산, 무한대 문제 등을 잘 해결해낸, 수학과 물리학의 성공적 콜라보처럼 보입니다.
세미나에서 되틀맞춤 이론이 수학적으로 증명되지 않았다는 이야기가 잠시 나왔습니다. 하지만 수학적으로도 양자장이론과 관련된 난해한 문제들이 차근차근 풀렸습니다. 특히 계산에서 늘 나타나는 무한대의 문제가 심각했는데, 되틀맞춤(재규격화) 기법이 자리를 잡아가면서 이 또한 해결되어갔습니다.
종종 되틀맞춤이 아직 증명되지 않았다는 표현들이 있는데, 그렇지는 않습니다. 초기에는 수학자들이 불만스러운 수준이지만 되틀맞춤(renormalization)과 조절(regularization) 기법이 체계적으로 발전했습니다. 이후 프리먼 다이슨 같은 수학자들이 끼어들면서 수학자들도 만족할만한 수준으로 많은 것이 증명되고 확립되었습니다.
작년에 출간된 책을 하나 소개합니다.
Michel Talagrand (2022). What Is a Quantum Field Theory?: A First Introduction for Mathematicians. Cambridge University Press. https://doi.org/10.1017/9781108225144
그렇지 않아도 재규격화 기법이 현대 물리학에서 중요한 역할을 하고 있다는 이야기를 들었는데, 증명 얘기가 나와서 궁금하긴 했는데 설명 감사합니다.
제가 잘못 알고 있었네요 ㅠㅠ renomalization group 이라는 분야가 있더군요. scale up, down 한다는데, 그런가보다 해야죠 ^^ ㅠㅠ