사원수에서 벡터로
작성자
자연사랑
작성일
2020-02-13 00:26
조회
5117
앞의 글에서는 복소수의 기하학적 표현으로부터 윌리엄 로원 해밀턴이 사원수라는 개념을 만들어냈다는 이야기까지 적었습니다. 실상 사원수에 대한 이야기는 꽤 알려져 있지만, 그 해밀턴이 다름 아니라 '벡터'라는 말을 처음 만들고 그 개념을 다듬어 간 사람이라는 사실은 의외로 잘 알려져 있지 않습니다.
해밀턴은 1844년 11월 11일에 왕립 아일랜드 학술원(Royal Irish Academy)에서 발표한 논문 "4원수"에서 역사상 처음으로 '벡터'와 '스칼라'라는 용어를 제안했습니다. 사원수의 허수 부분은 직각좌표계로 표시하면 세 개의 실수 $x, y, z$로 쓸 수 있는데, 이 부분을 한꺼번에 '벡터 부분 vector part' 또는 '벡터vector'라 부르고, 나머지를 '실수 부분 real part'이라 부르겠다고 말합니다.
이 내용이 지면에 실린 것은 1847년이었습니다. [Proceedings of the Royal Irish Academy. Vol. 3 (1845-1847) 1-16.]
1846년 Philosophical Magazine Vol. 29: 26-31에 실린 논문에서는 '실수 부분'이란 용어 대신 '스칼라 부분 scalar part'이라는 용어를 제안했습니다.
아무 4원수 $Q$는
$$Q = \mbox{Scal}.Q+\mbox{Vec}.Q=S.Q+V.Q= SQ+VQ$$
와 같이 스칼라 부분과 벡터 부분으로 나뉩니다. 해밀턴은 4원수의 벡터 부분을 그리스 문자로 나타냈습니다. 가령 $\alpha = x i +y j + z k$와 같은 식으로 말이죠.
이것이 바로 역사상 처음으로 '벡터'와 '스칼라'라는 용어가 도입된 대목입니다.
프랑스에서 이미 rayon vecteur라는 용어가 사용되긴 했습니다. 이것은 공간 안의 한 점 A에서 다른 점 B로 사선을 그었을 때 그 사선 AB를 가리키는 이름이었습니다. 영어로는 radius-vector로 번역되었고, 현대적인 의미와 어느 정도 연결됩니다.
Laplace. Traité de mécanique céleste (1799-1825).
Monge. "Application de l'Analyse à la Géométrie" (1807).
Cauchy. Leçons sur les Applications du Calcul Infinitésimal à la Géométrie (1826).
[참고: Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (V)]
'4원수 quaternion'라는 낯선 수학적 개념이 처음 발표된 것은 1843년 11월 13일 왕립 아일랜드 학술원에서였습니다. 해밀턴은 아들에게 보낸 편지에서 매우 분명하게 1843년 10월 16일에 이 개념을 생각해 냈음을 말하고 있습니다. 그 날 바로 왕립 학술원에 연락해서 다음 모임에서 발표를 하겠다고 말했는데, 이 내용은 "4원수 이론과 연결된 새로운 종류의 허수 양"이란 제목으로 11월 13일에 발표되었고 이듬해에 학술지에 지면으로 실렸습니다.
["On a new species of imaginary quantities connected with the theory of quaternions" Proceedings of the Royal Irish Academy. Vol. 2 (1844) 424-434.]
4원수의 벡터 부분의 곱은 다음과 같이 주어집니다.
$$\begin{align}
\alpha &= x i + y j + z k \\
\alpha' &= x' i + y' j + z' k
\end{align} $$
일 때
$$\begin{align}
\alpha \alpha' &=S.\alpha \alpha' + V.\alpha \alpha'\\
S.\alpha \alpha' &= -(xx'+yy' + zz') \\
V.\alpha \alpha' &= (yz' - zy') i + (z x' - x z') j + (x y' - y x' ) k
\end{align} $$
이것은 4원수의 기본 단위 $i, j, k$가
$$\begin{align}
&i^2 = j^2 = k^2 = -1\\
& i j = - j i = k, j k = - k j = i, k i = - i k = j
\end{align} $$
와 같은 요건을 충족시킨다는 정의와 일치합니다.
기존의 복소수가 $x + y i$처럼 2차원으로 표현된다면, 4원수는 $u + x i + y j + z k$처럼 4차원으로 표현됩니다.
해밀턴은 이승을 떠날 때까지 자신이 만들어낸 4원수의 성질을 탐구하고 이를 이용하여 기존의 이론과 논의를 다시 쓸 수 있는 언어로 발전시키려 애썼습니다.
해밀턴의 4원수 개념을 적극적으로 받아들이고 이를 더 확장하면서 미적분학과 함수 이론으로 넓힌 사람 중 하나는 피터 거쓰리 타이트(Peter Guthrie Tait 1831-1901)입니다. 타이트는 제임스 클러크 맥스웰(James Clerk Maxwell 1831-1879)과 동갑내기이고, 동향 출신으로 어릴 적부터 같은 학교를 다녔습니다. 맥스웰이 9살에 Edinburgh Academy에 입학했고, 타이트는 이듬해에 거기에 입학합니다. 에딘버러 대학도 맥스웰이 15살에, 타이트가 16살에 입학했습니다. 1848년에 타이트가 케임브리지 대학에 입학했고, 1851년에는 맥스웰도 케임브리지 대학에 입학합니다.
두 사람은 대학을 졸업한 이후에 떨어져 지내는 동안에도 거의 평생 편지와 엽서를 주고 받으며 돈독한 우정을 유지했습니다. 맥스웰이 케임브리지 대학에 둥지를 틀고 평생을 보낸 반면, 타이트는 모교인 에딘버러 대학에 1860년부터 자리를 잡았습니다.
[참조: The Remarkable Story of Maxwell and Tait]
타이트는 학문연구 초기부터 해밀턴의 4원수에 깊이 빠져들었고, 4원수와 관련된 8권의 저서를 집필했습니다. 타이트는 22권의 책을 쓰고 365편의 논문을 발표했는데 논문의 7할 이상이 4원수에 관한 것이었습니다. 특히 타이트는 해밀턴과 달리 4원수를 동역학 이론에 적용하기 위해 애썼고 4원수를 사용한 미적분학 이론을 체계적으로 만들어갔습니다. 특히
$$\nabla = i \frac{d}{dx} + j \frac{d}{dy} + k \frac{d}{dz}$$
라는 기호로 나타내는 미분연산자의 성질을 깊이 탐구했습니다.
이 연산자를 처음 도입한 것은 해밀턴이었는데, 해밀턴은
$$\vartriangleleft = i \frac{d}{dx} + j \frac{d}{dy} + k \frac{d}{dz}$$
와 같이 썼습니다. 이 모양이 앗시리아의 하프인 "nabla(νάβλα)"의 모양을 닮아서, 아예 미분연산자의 이름도 '나블라'라고 부릅니다. 1901년에는 '델(del)'이라는 이름이 새로 붙여집니다.
맥스웰이 해밀턴의 4원수를 배운 것도 타이트를 통해서였습니다.
흔히 맥스웰이 전기와 자기에 관한 일반 방정식을 죄다 성분으로 쓰는 바람에 지금처럼 4개의 깔끔한 모습이 아니라 20개씩이나 되는 잡다한 모습이었다고들 합니다. 이 말은 사실과 좀 다릅니다. 1865년에 발표된 논문 "A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field"에서는 20개의 물리량에 대한 20개의 방정식을 늘어놓은 것이 사실입니다. 이 20개의 방정식은 전기와 자기에 관한 모든 것을 말해 주는 일반 방정식으로 제시되었지만, 모양새가 좋지는 않았습니다. 이 논문 3부에 있는 모양을 잠시 구경하시기 바랍니다.
https://en.wikisource.org/wiki/A_Dynamical_Theory_of_the_Electromagnetic_Field/Part_III
1870년 무렵부터 타이트로부터 4원수를 배운 맥스웰은 물리량을 수학적으로 나타낼 때 4원수가 가장 적합하며, 해밀턴의 용어를 따라 다시 스칼라와 벡터로 구분합니다. 이 내용은 영국 런던수학회에서 발표했고, 이듬해에 지면으로 출간되었습니다.
James Clerk Maxwell, "On the Mathematical Classification of Physical Quantities" Proceedings of the London Mathematical Society, 3 (1871), 224-232.
여기에서 맥스웰은 소위 '해밀턴 연산자'
$$\nabla = i \frac{d}{dx} + j \frac{d}{dy} + k \frac{d}{dz}$$
의 중요성을 강조합니다.
그리고 바로 4원수를 이용하여 잡다해 보이는 전기-자기의 일반 방정식을 깔끔하게 정리하여 제시합니다. 1873년에 출판된 Treatise on Electricity and Magnetism, Vol. II에서입니다. 맥스웰은 4원수를 나타내기 위해 독일 고딕 문자를 사용했습니다. 실상 이 4원수들은 실수 부분이 없기 때문에 벡터에 해당합니다.
$$\begin{align}
\mathfrak{B}&=V\nabla\mathfrak{A} \\
\mathfrak{E}&=V\mathfrak{G}\mathfrak{B}-\dot{\mathfrak{A}}-\nabla\Psi\\
\mathfrak{F}&=V\mathfrak{C}\mathfrak{B}-e\nabla\Psi-m\nabla\Omega\\
\mathfrak{B}&=\mathfrak{H}+4\pi\mathfrak{J}\\
4\pi\mathfrak{C}&=V\nabla\mathfrak{H}\\
\mathfrak{K}&=C\mathfrak{E}\\
\mathfrak{D}&=\frac{1}{4\pi}K\mathfrak{E}\\
\mathfrak{C}&=\mathfrak{K}+\dot{\mathfrak{D}}\\
\mathfrak{B}&=\mu\mathfrak{H}\\
e&=S\nabla\mathfrak{D}\\
m&=S\nabla\mathfrak{J}\\
\mathfrak{H}&=-\nabla\Omega
\end{align}$$
여전히 복잡해 보이긴 하지만, 20개나 되는 것도 아니고 모두 성분으로 쓴 것도 아닙니다. 4원수를 도입함으로써 전기와 자기의 일반방정식이 전혀 새로운 모습을 갖추게 된 것입니다.
4원수의 가장 큰 단점은 네 성분을 모두 가지고 다니다 보니까 계산이 더 복잡해진다는 점과 특히 실수 부분에서 나타나는 $-1$이었습니다.
가령
$$\mathfrak{A}=i F + j G + k H$$
라 하면
$$\nabla\mathfrak{A}= -\left(\frac{dF}{dx}+\frac{dG}{dy}+\frac{dH}{dz}\right)
+i\left(\frac{dH}{dy}-\frac{dG}{dz}\right)
+j\left(\frac{dF}{dz}-\frac{dH}{dx}\right)
+k\left(\frac{dG}{dx}-\frac{dF}{dy}\right)$$
이므로
$$\begin{align}
S.\nabla\mathfrak{A}&= -\left(\frac{dF}{dx}+\frac{dG}{dy}+\frac{dH}{dz}\right)\\
V.\nabla\mathfrak{A}&=i\left(\frac{dH}{dy}-\frac{dG}{dz}\right)
+j\left(\frac{dF}{dz}-\frac{dH}{dx}\right)
+k\left(\frac{dG}{dx}-\frac{dF}{dy}\right)
\end{align}$$
를 얻습니다. 4원수를 고집하다 보면 $S.\nabla\frak{A}$의 표현에 $-1$이 곱해지기 때문에 여러 면에서 혼동스럽습니다.
이런 4원수 이론의 단점을 극복하기 위해 새로운 방식을 제안한 사람이 조사이어 윌러드 기브즈(Josiah Willard Gibbs 1839-1903)입니다.
기브즈는 과학의 무대가 온통 유럽이던 시절에 미국인으로 미국에 터를 잡고 있던 물리학자 내지 수학자입니다. 다르게 보면 그냥 자연철학자라고 해도 좋겠습니다.
기브즈는 아버지가 교수로 있던 예일대에서 수학을 배우고 공학 전공으로 24살에 박사학위를 받은 뒤 모교에서 튜터로 있다가 27살에 유럽으로 떠나 3년 동안 파리, 베를린, 하이델베르크 등지에서 사람들을 만나 공부를 더 하고 되돌아온 뒤, 32살이던 1871년에 예일대 수리물리학 교수가 됩니다.
기브즈가 4원수에 관심을 갖게 된 것은 1873년에 맥스웰의 <전기와 자기에 관한 논고>가 출판되면서부터였습니다. 맥스웰의 저서 전반에 걸쳐 4원수가 깊이 사용되는 것을 보고 강한 인상을 받고 나서, 타이트와 해밀턴의 저서를 더 파고들었습니다.
그런데 기브즈가 보기에 4원수를 고집하면서 스칼라 부분과 벡터 부분을 늘 함께 가지고 다니다 보니까 여러 면에서 번거롭게 느껴졌습니다. 과감하게 4원수라는 개념 자체를 버리고, 그냥 스칼라와 벡터를 나눈 뒤에, 벡터에 대해서만 이야기하면 훨씬 더 간명하다는 것을 알아챘습니다.
처음에는 4원수 대신 벡터를 가지고 대수적 연산과 미적분학(해석학)까지 전개하는 이론을 정리하여 1881년에 Elements of Vector Analysis라는 제목으로 인쇄하여 학생들을 가르치는 데 쓰기 시작했습니다. 보완된 부분을 1884년에 인쇄했습니다.
여기에서 타이트가 정리한 곱의 스칼라 부분과 곱의 벡터 부분을 지금 사용되는 기호로 고쳤습니다.
두 벡터 $\alpha=x i + y j + z k$, $\beta=x' i + y' j + z' k$에 대해
$$\alpha\beta = - (x x' + y y' + z z') + (yz'-zy')i +(zx'-xz')j+(xy'-yx')k=S\alpha\beta + V\alpha\beta$$
이 되는데, 기브즈는 $S\alpha\beta$와 $V\alpha\beta$ 대신
$$\begin{align}
\alpha\cdot\beta&=x x' + y y' + z z' \\
\alpha\times\beta&=(yz'-zy')i +(zx'-xz')j+(xy'-yx')k
\end{align}$$
와 같이 두 가지 곱을 도입했습니다. 이를 각각 내적(안쪽곱, 스칼라곱), 외적(바깥곱, 벡터곱)이라고 부릅니다. 그리고 이 둘을 더하는 경우는 없었습니다. 스칼라와 벡터를 완전히 구별하면 스칼라와 벡터를 더할 수 없기 때문입니다.
이렇게 하자, 4원수의 고질적인 $-1$의 문제가 사라지고, 복잡한 연산들이 모두 간결하게 정리되었습니다. 이를 여전히 4원수 이론이라 할 수도 있겠지만, 실상 4원수 이론에 뿌리를 두고 있긴 해도 새로운 이론으로 보는 것이 더 좋을 것 같습니다.
비슷한 시기에 영국에서도 유사한 변화가 일어났습니다. 1885년 올리버 헤비사이드(Oliver Heaviside 1850-1925)는 전기와 자기의 방정식을 훨씬 더 깔끔한 모습으로 제시합니다.
헤비사이드는 4원수 이론에 얽매이지 않고, 실수(스칼라) 부분과 벡터 부분을 완전히 분리시켜 쓰는 새로운 방법을 제시했습니다.
맥스웰은 $S.\nabla\mathfrak{A}$를 Convergence라 부르고 $V.\nabla\mathfrak{A}$를 Curl 또는 Version이라 불렀습니다. 이와 달리 헤비사이드는 벡터를 굵은 글씨체로 표시하고 맥스웰의 Convergence에 $-1$을 곱한 것을 Divergence라 불렀습니다.
$$\begin{align}
\mbox{div}\mathbf{A}&=\frac{dF}{dx}+\frac{dG}{dy}+\frac{dH}{dz}\\
\mbox{curl}\mathbf{A}&=i\left(\frac{dH}{dy}-\frac{dG}{dz}\right)
+j\left(\frac{dF}{dz}-\frac{dH}{dx}\right)
+k\left(\frac{dG}{dx}-\frac{dF}{dy}\right)
\end{align}$$
이렇게 새로운 기호를 도입하고 나면, 전기와 자기의 일반 방정식은 다음과 같이 간단한 모양이 됩니다.
$$\begin{align}
\mbox{div} \mathbf{E} &= 4\pi\rho \\
\mbox{div} \mathbf{B} &= 0 \\
\mbox{curl}\mathbf{E} + \frac{1}{c}\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t} &= 0 \\
\mbox{curl}\mathbf{B} - \frac{1}{c}\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t} &= \frac{4\pi}{c}\mathbf{J}
\end{align}$$
이를 기브즈가 도입한 두 개의 곱(안쪽곱과 바깥곱)으로 표현하면 다음과 같이 됩니다.
$$\begin{align}
\nabla\cdot \mathbf{E} &= 4\pi\rho \\
\nabla\cdot \mathbf{B} &= 0 \\
\nabla\times\mathbf{E} + \frac{1}{c}\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t} &= 0 \\
\nabla\times\mathbf{B} - \frac{1}{c}\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t} &= \frac{4\pi}{c}\mathbf{J}
\end{align}$$
굵은 글씨체를 쓸 수 없는 경우에는 벡터를 $\mathbf{E}$ 대신 $\vec{E}$와 같이 화살표로 나타내기도 하는데, 그러면 아래와 같은 모습이 됩니다.
$$\begin{align}
\nabla\cdot \vec{E} &= 4\pi\rho \\
\nabla\cdot \vec{B} &= 0 \\
\nabla\times\vec{E} + \frac{1}{c}\frac{\partial\vec{B}}{\partial t} &= 0 \\
\nabla\times\vec{B} - \frac{1}{c}\frac{\partial\vec{E}}{\partial t} &= \frac{4\pi}{c}\vec{J}
\end{align}$$
해밀턴은 1844년 11월 11일에 왕립 아일랜드 학술원(Royal Irish Academy)에서 발표한 논문 "4원수"에서 역사상 처음으로 '벡터'와 '스칼라'라는 용어를 제안했습니다. 사원수의 허수 부분은 직각좌표계로 표시하면 세 개의 실수 $x, y, z$로 쓸 수 있는데, 이 부분을 한꺼번에 '벡터 부분 vector part' 또는 '벡터vector'라 부르고, 나머지를 '실수 부분 real part'이라 부르겠다고 말합니다.
이 내용이 지면에 실린 것은 1847년이었습니다. [Proceedings of the Royal Irish Academy. Vol. 3 (1845-1847) 1-16.]
1846년 Philosophical Magazine Vol. 29: 26-31에 실린 논문에서는 '실수 부분'이란 용어 대신 '스칼라 부분 scalar part'이라는 용어를 제안했습니다.
아무 4원수 $Q$는
$$Q = \mbox{Scal}.Q+\mbox{Vec}.Q=S.Q+V.Q= SQ+VQ$$
와 같이 스칼라 부분과 벡터 부분으로 나뉩니다. 해밀턴은 4원수의 벡터 부분을 그리스 문자로 나타냈습니다. 가령 $\alpha = x i +y j + z k$와 같은 식으로 말이죠.
이것이 바로 역사상 처음으로 '벡터'와 '스칼라'라는 용어가 도입된 대목입니다.
프랑스에서 이미 rayon vecteur라는 용어가 사용되긴 했습니다. 이것은 공간 안의 한 점 A에서 다른 점 B로 사선을 그었을 때 그 사선 AB를 가리키는 이름이었습니다. 영어로는 radius-vector로 번역되었고, 현대적인 의미와 어느 정도 연결됩니다.
Laplace. Traité de mécanique céleste (1799-1825).
Monge. "Application de l'Analyse à la Géométrie" (1807).
Cauchy. Leçons sur les Applications du Calcul Infinitésimal à la Géométrie (1826).
[참고: Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (V)]
'4원수 quaternion'라는 낯선 수학적 개념이 처음 발표된 것은 1843년 11월 13일 왕립 아일랜드 학술원에서였습니다. 해밀턴은 아들에게 보낸 편지에서 매우 분명하게 1843년 10월 16일에 이 개념을 생각해 냈음을 말하고 있습니다. 그 날 바로 왕립 학술원에 연락해서 다음 모임에서 발표를 하겠다고 말했는데, 이 내용은 "4원수 이론과 연결된 새로운 종류의 허수 양"이란 제목으로 11월 13일에 발표되었고 이듬해에 학술지에 지면으로 실렸습니다.
["On a new species of imaginary quantities connected with the theory of quaternions" Proceedings of the Royal Irish Academy. Vol. 2 (1844) 424-434.]
4원수의 벡터 부분의 곱은 다음과 같이 주어집니다.
$$\begin{align}
\alpha &= x i + y j + z k \\
\alpha' &= x' i + y' j + z' k
\end{align} $$
일 때
$$\begin{align}
\alpha \alpha' &=S.\alpha \alpha' + V.\alpha \alpha'\\
S.\alpha \alpha' &= -(xx'+yy' + zz') \\
V.\alpha \alpha' &= (yz' - zy') i + (z x' - x z') j + (x y' - y x' ) k
\end{align} $$
이것은 4원수의 기본 단위 $i, j, k$가
$$\begin{align}
&i^2 = j^2 = k^2 = -1\\
& i j = - j i = k, j k = - k j = i, k i = - i k = j
\end{align} $$
와 같은 요건을 충족시킨다는 정의와 일치합니다.
기존의 복소수가 $x + y i$처럼 2차원으로 표현된다면, 4원수는 $u + x i + y j + z k$처럼 4차원으로 표현됩니다.
해밀턴은 이승을 떠날 때까지 자신이 만들어낸 4원수의 성질을 탐구하고 이를 이용하여 기존의 이론과 논의를 다시 쓸 수 있는 언어로 발전시키려 애썼습니다.
해밀턴의 4원수 개념을 적극적으로 받아들이고 이를 더 확장하면서 미적분학과 함수 이론으로 넓힌 사람 중 하나는 피터 거쓰리 타이트(Peter Guthrie Tait 1831-1901)입니다. 타이트는 제임스 클러크 맥스웰(James Clerk Maxwell 1831-1879)과 동갑내기이고, 동향 출신으로 어릴 적부터 같은 학교를 다녔습니다. 맥스웰이 9살에 Edinburgh Academy에 입학했고, 타이트는 이듬해에 거기에 입학합니다. 에딘버러 대학도 맥스웰이 15살에, 타이트가 16살에 입학했습니다. 1848년에 타이트가 케임브리지 대학에 입학했고, 1851년에는 맥스웰도 케임브리지 대학에 입학합니다.
두 사람은 대학을 졸업한 이후에 떨어져 지내는 동안에도 거의 평생 편지와 엽서를 주고 받으며 돈독한 우정을 유지했습니다. 맥스웰이 케임브리지 대학에 둥지를 틀고 평생을 보낸 반면, 타이트는 모교인 에딘버러 대학에 1860년부터 자리를 잡았습니다.
[참조: The Remarkable Story of Maxwell and Tait]
타이트는 학문연구 초기부터 해밀턴의 4원수에 깊이 빠져들었고, 4원수와 관련된 8권의 저서를 집필했습니다. 타이트는 22권의 책을 쓰고 365편의 논문을 발표했는데 논문의 7할 이상이 4원수에 관한 것이었습니다. 특히 타이트는 해밀턴과 달리 4원수를 동역학 이론에 적용하기 위해 애썼고 4원수를 사용한 미적분학 이론을 체계적으로 만들어갔습니다. 특히
$$\nabla = i \frac{d}{dx} + j \frac{d}{dy} + k \frac{d}{dz}$$
라는 기호로 나타내는 미분연산자의 성질을 깊이 탐구했습니다.
이 연산자를 처음 도입한 것은 해밀턴이었는데, 해밀턴은
$$\vartriangleleft = i \frac{d}{dx} + j \frac{d}{dy} + k \frac{d}{dz}$$
와 같이 썼습니다. 이 모양이 앗시리아의 하프인 "nabla(νάβλα)"의 모양을 닮아서, 아예 미분연산자의 이름도 '나블라'라고 부릅니다. 1901년에는 '델(del)'이라는 이름이 새로 붙여집니다.
맥스웰이 해밀턴의 4원수를 배운 것도 타이트를 통해서였습니다.
흔히 맥스웰이 전기와 자기에 관한 일반 방정식을 죄다 성분으로 쓰는 바람에 지금처럼 4개의 깔끔한 모습이 아니라 20개씩이나 되는 잡다한 모습이었다고들 합니다. 이 말은 사실과 좀 다릅니다. 1865년에 발표된 논문 "A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field"에서는 20개의 물리량에 대한 20개의 방정식을 늘어놓은 것이 사실입니다. 이 20개의 방정식은 전기와 자기에 관한 모든 것을 말해 주는 일반 방정식으로 제시되었지만, 모양새가 좋지는 않았습니다. 이 논문 3부에 있는 모양을 잠시 구경하시기 바랍니다.
https://en.wikisource.org/wiki/A_Dynamical_Theory_of_the_Electromagnetic_Field/Part_III
1870년 무렵부터 타이트로부터 4원수를 배운 맥스웰은 물리량을 수학적으로 나타낼 때 4원수가 가장 적합하며, 해밀턴의 용어를 따라 다시 스칼라와 벡터로 구분합니다. 이 내용은 영국 런던수학회에서 발표했고, 이듬해에 지면으로 출간되었습니다.
James Clerk Maxwell, "On the Mathematical Classification of Physical Quantities" Proceedings of the London Mathematical Society, 3 (1871), 224-232.
여기에서 맥스웰은 소위 '해밀턴 연산자'
$$\nabla = i \frac{d}{dx} + j \frac{d}{dy} + k \frac{d}{dz}$$
의 중요성을 강조합니다.
그리고 바로 4원수를 이용하여 잡다해 보이는 전기-자기의 일반 방정식을 깔끔하게 정리하여 제시합니다. 1873년에 출판된 Treatise on Electricity and Magnetism, Vol. II에서입니다. 맥스웰은 4원수를 나타내기 위해 독일 고딕 문자를 사용했습니다. 실상 이 4원수들은 실수 부분이 없기 때문에 벡터에 해당합니다.
$$\begin{align}
\mathfrak{B}&=V\nabla\mathfrak{A} \\
\mathfrak{E}&=V\mathfrak{G}\mathfrak{B}-\dot{\mathfrak{A}}-\nabla\Psi\\
\mathfrak{F}&=V\mathfrak{C}\mathfrak{B}-e\nabla\Psi-m\nabla\Omega\\
\mathfrak{B}&=\mathfrak{H}+4\pi\mathfrak{J}\\
4\pi\mathfrak{C}&=V\nabla\mathfrak{H}\\
\mathfrak{K}&=C\mathfrak{E}\\
\mathfrak{D}&=\frac{1}{4\pi}K\mathfrak{E}\\
\mathfrak{C}&=\mathfrak{K}+\dot{\mathfrak{D}}\\
\mathfrak{B}&=\mu\mathfrak{H}\\
e&=S\nabla\mathfrak{D}\\
m&=S\nabla\mathfrak{J}\\
\mathfrak{H}&=-\nabla\Omega
\end{align}$$
여전히 복잡해 보이긴 하지만, 20개나 되는 것도 아니고 모두 성분으로 쓴 것도 아닙니다. 4원수를 도입함으로써 전기와 자기의 일반방정식이 전혀 새로운 모습을 갖추게 된 것입니다.
4원수의 가장 큰 단점은 네 성분을 모두 가지고 다니다 보니까 계산이 더 복잡해진다는 점과 특히 실수 부분에서 나타나는 $-1$이었습니다.
가령
$$\mathfrak{A}=i F + j G + k H$$
라 하면
$$\nabla\mathfrak{A}= -\left(\frac{dF}{dx}+\frac{dG}{dy}+\frac{dH}{dz}\right)
+i\left(\frac{dH}{dy}-\frac{dG}{dz}\right)
+j\left(\frac{dF}{dz}-\frac{dH}{dx}\right)
+k\left(\frac{dG}{dx}-\frac{dF}{dy}\right)$$
이므로
$$\begin{align}
S.\nabla\mathfrak{A}&= -\left(\frac{dF}{dx}+\frac{dG}{dy}+\frac{dH}{dz}\right)\\
V.\nabla\mathfrak{A}&=i\left(\frac{dH}{dy}-\frac{dG}{dz}\right)
+j\left(\frac{dF}{dz}-\frac{dH}{dx}\right)
+k\left(\frac{dG}{dx}-\frac{dF}{dy}\right)
\end{align}$$
를 얻습니다. 4원수를 고집하다 보면 $S.\nabla\frak{A}$의 표현에 $-1$이 곱해지기 때문에 여러 면에서 혼동스럽습니다.
이런 4원수 이론의 단점을 극복하기 위해 새로운 방식을 제안한 사람이 조사이어 윌러드 기브즈(Josiah Willard Gibbs 1839-1903)입니다.
기브즈는 과학의 무대가 온통 유럽이던 시절에 미국인으로 미국에 터를 잡고 있던 물리학자 내지 수학자입니다. 다르게 보면 그냥 자연철학자라고 해도 좋겠습니다.
기브즈는 아버지가 교수로 있던 예일대에서 수학을 배우고 공학 전공으로 24살에 박사학위를 받은 뒤 모교에서 튜터로 있다가 27살에 유럽으로 떠나 3년 동안 파리, 베를린, 하이델베르크 등지에서 사람들을 만나 공부를 더 하고 되돌아온 뒤, 32살이던 1871년에 예일대 수리물리학 교수가 됩니다.
기브즈가 4원수에 관심을 갖게 된 것은 1873년에 맥스웰의 <전기와 자기에 관한 논고>가 출판되면서부터였습니다. 맥스웰의 저서 전반에 걸쳐 4원수가 깊이 사용되는 것을 보고 강한 인상을 받고 나서, 타이트와 해밀턴의 저서를 더 파고들었습니다.
그런데 기브즈가 보기에 4원수를 고집하면서 스칼라 부분과 벡터 부분을 늘 함께 가지고 다니다 보니까 여러 면에서 번거롭게 느껴졌습니다. 과감하게 4원수라는 개념 자체를 버리고, 그냥 스칼라와 벡터를 나눈 뒤에, 벡터에 대해서만 이야기하면 훨씬 더 간명하다는 것을 알아챘습니다.
처음에는 4원수 대신 벡터를 가지고 대수적 연산과 미적분학(해석학)까지 전개하는 이론을 정리하여 1881년에 Elements of Vector Analysis라는 제목으로 인쇄하여 학생들을 가르치는 데 쓰기 시작했습니다. 보완된 부분을 1884년에 인쇄했습니다.
여기에서 타이트가 정리한 곱의 스칼라 부분과 곱의 벡터 부분을 지금 사용되는 기호로 고쳤습니다.
두 벡터 $\alpha=x i + y j + z k$, $\beta=x' i + y' j + z' k$에 대해
$$\alpha\beta = - (x x' + y y' + z z') + (yz'-zy')i +(zx'-xz')j+(xy'-yx')k=S\alpha\beta + V\alpha\beta$$
이 되는데, 기브즈는 $S\alpha\beta$와 $V\alpha\beta$ 대신
$$\begin{align}
\alpha\cdot\beta&=x x' + y y' + z z' \\
\alpha\times\beta&=(yz'-zy')i +(zx'-xz')j+(xy'-yx')k
\end{align}$$
와 같이 두 가지 곱을 도입했습니다. 이를 각각 내적(안쪽곱, 스칼라곱), 외적(바깥곱, 벡터곱)이라고 부릅니다. 그리고 이 둘을 더하는 경우는 없었습니다. 스칼라와 벡터를 완전히 구별하면 스칼라와 벡터를 더할 수 없기 때문입니다.
이렇게 하자, 4원수의 고질적인 $-1$의 문제가 사라지고, 복잡한 연산들이 모두 간결하게 정리되었습니다. 이를 여전히 4원수 이론이라 할 수도 있겠지만, 실상 4원수 이론에 뿌리를 두고 있긴 해도 새로운 이론으로 보는 것이 더 좋을 것 같습니다.
비슷한 시기에 영국에서도 유사한 변화가 일어났습니다. 1885년 올리버 헤비사이드(Oliver Heaviside 1850-1925)는 전기와 자기의 방정식을 훨씬 더 깔끔한 모습으로 제시합니다.
헤비사이드는 4원수 이론에 얽매이지 않고, 실수(스칼라) 부분과 벡터 부분을 완전히 분리시켜 쓰는 새로운 방법을 제시했습니다.
맥스웰은 $S.\nabla\mathfrak{A}$를 Convergence라 부르고 $V.\nabla\mathfrak{A}$를 Curl 또는 Version이라 불렀습니다. 이와 달리 헤비사이드는 벡터를 굵은 글씨체로 표시하고 맥스웰의 Convergence에 $-1$을 곱한 것을 Divergence라 불렀습니다.
$$\begin{align}
\mbox{div}\mathbf{A}&=\frac{dF}{dx}+\frac{dG}{dy}+\frac{dH}{dz}\\
\mbox{curl}\mathbf{A}&=i\left(\frac{dH}{dy}-\frac{dG}{dz}\right)
+j\left(\frac{dF}{dz}-\frac{dH}{dx}\right)
+k\left(\frac{dG}{dx}-\frac{dF}{dy}\right)
\end{align}$$
이렇게 새로운 기호를 도입하고 나면, 전기와 자기의 일반 방정식은 다음과 같이 간단한 모양이 됩니다.
$$\begin{align}
\mbox{div} \mathbf{E} &= 4\pi\rho \\
\mbox{div} \mathbf{B} &= 0 \\
\mbox{curl}\mathbf{E} + \frac{1}{c}\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t} &= 0 \\
\mbox{curl}\mathbf{B} - \frac{1}{c}\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t} &= \frac{4\pi}{c}\mathbf{J}
\end{align}$$
이를 기브즈가 도입한 두 개의 곱(안쪽곱과 바깥곱)으로 표현하면 다음과 같이 됩니다.
$$\begin{align}
\nabla\cdot \mathbf{E} &= 4\pi\rho \\
\nabla\cdot \mathbf{B} &= 0 \\
\nabla\times\mathbf{E} + \frac{1}{c}\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t} &= 0 \\
\nabla\times\mathbf{B} - \frac{1}{c}\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t} &= \frac{4\pi}{c}\mathbf{J}
\end{align}$$
굵은 글씨체를 쓸 수 없는 경우에는 벡터를 $\mathbf{E}$ 대신 $\vec{E}$와 같이 화살표로 나타내기도 하는데, 그러면 아래와 같은 모습이 됩니다.
$$\begin{align}
\nabla\cdot \vec{E} &= 4\pi\rho \\
\nabla\cdot \vec{B} &= 0 \\
\nabla\times\vec{E} + \frac{1}{c}\frac{\partial\vec{B}}{\partial t} &= 0 \\
\nabla\times\vec{B} - \frac{1}{c}\frac{\partial\vec{E}}{\partial t} &= \frac{4\pi}{c}\vec{J}
\end{align}$$
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시지프스 | 2023.08.19 | 2 | 618 |
여기 "자연철학 세미나" 게시판에 올린 글을 가지고 대여섯 쪽 분량의 글을 만들 계획이었는데, 모아 보니 15쪽이 넘어 버리네요. ㅠㅠ 의외로 이 게시판에 올린 글의 분량이 너무 많은 듯 합니다. 앞으로 자제해야 할 것 같습니다. 죄송합니다.
시인처럼님이 질문을 해 주신 김에 예일대 라마무르티 샹카의 인터넷 강의를 소개합니다.
예일대에서 20년 가까이 계속되어 온 인터넷 강의(MOOC)입니다. <장회익의 자연철학 강의>와는 접근 방식이나 목표에서 상당한 차이가 있긴 하지만, 그래도 물리학 강의 중에서 장회익 선생님의 접근에 가장 가까운 편입니다. 샹카 자신도 물리학의 근본적인 관점에 대해 큰 관심을 가지고 있기 때문일 듯 싶습니다.
PHYS 200: Fundamentals of Physics I (Lecture 14)
위 링크는 상대성이론에서 시공간에 대한 새로운 관점과 접근방법을 소개하고 있는 14번째 강의입니다. 시공간 도표와 상대속도의 올바른 공식뿐 아니라 4차원 벡터에 대해 상세하게 강의하고 있고, 또 고유시간이 왜 필요한지 어떻게 정의되는지 설명하고 있습니다.
영어이긴 하지만 자막도 있고 강의를 알아듣기가 생각보다 쉽고 편안합니다. 무엇보다도 이 강의는 물리학을 전공하는 학생들을 대상으로 한 것이 아니라 전공과 무관하게 물리학에서 말하는 것이 무엇인지 배우고 싶어 하는 학생들을 대상을 한 것이라, 정말 말 그대로 아주 시시콜콜한 점까지 다 설명합니다. 매우 친절한 강의죠. 그러면서도 전체적인 구조를 볼 수 있는 통찰 같은 것이 있어서 '자연철학'의 관점에서 유용합니다.
이 강의내용을 녹취하여 책으로 낸 것이 위에서 소개한 "물리학의 기초"입니다.
1권: 역학, 상대성이론, 열역학 https://amzn.to/2SFtowR
2권: 전자기학, 광학, 양자역학 https://amzn.to/3bzf1mn
고맙습니다~!! (발등에 불떨어진 일인. ^^;)
지금은 발등의 불을 끄느라 정신이 없는데, 시간 내서 푸리에 변환에 대해서도 정리를 해서 올리겠습니다. 장회익 선생님의 접근에서는 독특하게도 힐버트 공간 형식이론을 사용하지 않는 듯이 보이지만, 사실 잘 따지고 보면 힐버트 공간 형식이론에서 벗어나 있지는 않다고 볼 수 있어서, 힐버트 공간에 대해서도 이야기를 풀어볼까 계획하고 있습니다.
모두의 발등에서 불이 타고 있는 건가요? ㅋㅋㅋ (지구의 발등에도. 썰렁. ㅠ.ㅠ)
불이 타고 있으면 썰렁하기 힘들죠. ^^
형님, 글하고는 조금 상관 없는 질문 하나요.
자연대학과 공대 1학년이 볼만한 (교양) 물리학과 (교양) 수학 교재 추천 좀 해주실라요? 아무래도 제 업무상 더이상 물리학하고 수학을 피해다니기가 어렵네요~ ㅠㅠ. 15년전에 헌책방에서 이것저것 사둔 책들은 있는데 막상 조금 볼라고 하면 뭐가 나한테 잘 맞는 건지도 모르겠고...
상관 있습니다. ^^ 시인처럼님이 보려고 하는 것이라면 예일대에 있는 라마무르티 샹카가 쓴 "물리학의 기초"를 추천하고 싶습니다. 1권: https://amzn.to/2SFtowR 2권: https://amzn.to/3bzf1mn 아무래도 요즘 미국 대학에서 가장 인기 좋은 책 중 하나입니다. 영어라는 게 단점입니다.
샹카는 양자역학 교과서와 응집물질물리학 교과서로도 유명합니다. 이 책은 예일대에서 초급물리학 강의를 한 것을 Open Yale Course에서 녹취하여 만든 것인데, 다른 일반물리학 교과서보다 더 명료하고 뛰어납니다.
위 글에서 소개한 미국의 물리학자 조사이어 윌러드 기브즈가 뼛속까지 예일대 사람입니다. 기브즈의 아버지도 예일대 교수였고, 기브즈도 예일대를 졸업하여 예일대에서 학위를 받고 평생 예일대 교수로 있었습니다. 라마무르티 샹카는 2019년에 기브즈 물리학 석좌교수(Josiah Willard Gibbs Professor of Physics)로 지명되었습니다. 굳이 상관을 찾아 보았습니다.
영어라도 괜찮다면 https://amzn.to/3bvqMu6 이 책이 무난합니다. 무엇보다도 전자책은 0달러입니다. 미국 대학의 학생들은 대부분 이 책을 종이책으로 사기 때문에 종이책은 집에 두고 전자책을 아이패드나 스마트폰으로 읽으라는 것 같습니다.
한국어로 된 책은 영어 책 번역이 대부분인데, 번역이 너무 엉터리이고 성의가 없어서 대부분 추천하기 어렵습니다. 아예 한글로 쓴 책들이 그나마 좀 나은데, 여러 가지 중 강호제 (2017) 우리말로 풀어 쓴 물리학 강의: 이론서가 괜찮은 편입니다. 다만 저자와 친분이 깊기 때문에 객관적인 평가라고 할 수는 없습니다. 이 저자의 특기할 점은 물리학과 출신이지만 이후 북한과학사를 전공했고 지금 독일에서 살면서 종종 북한과학기술사 관련 학술회의나 강연으로 한국에 온다는 게... 책은 이전에 검토한 적이 있는데 수험서를 겨냥한 것이긴 하지만 잘 요약되어 있고 유용할 수도 있습니다. 이 책 한 권 선물하겠습니다.
혹시 물리학을 제대로 공부해 보려는 계획이라면 KMOOC의 "현대인을 위한 물리의 이해"(인하대 차동우 교수)를 권하고 싶습니다.
조금 더 무난한 강의로 "현대물리학과 인간 사고의 변혁"(이화여대 김찬주 교수)을 권합니다. 여러 모로 탁월한 강의입니다. 이화여대에서는 이 강의 안 듣고 졸업하면 안 된다고 할 정도로 인기가 많은 강의입니다.
우왕~ 고맙습니당~.