(*) 수식을 읽는 방법, 특히 $\sum$
작성자
자연사랑
작성일
2020-03-06 23:43
조회
3088
양자역학에 따르면,
------
여기에서 조금 낯선 기호를 도입했는데, 월든님의 지적대로 읽는 법을 덧붙이겠습니다.
먼저 $\sum$은 그리스 문자 중 '시그마'에 해당하는데, 더하기를 의미하는 라틴어 summa에서 s를 따고, 그리스어 문자 중에서 s에 대응하는 '시그마'의 대문자를 가져온 것입니다. 읽을 때에는 '시그마'라고 읽습니다.
\[\sum_{i=1}^n p_i \]
라고 쓴 것은 "$i$가 1부터 $n$까지 차례로 늘어날 때, 오른쪽에 있는 표현 중에서 $i$에 그 수를 대입하여 모두 더한 것"이란 의미입니다.
\[ \sum_{i=1}^3 p_i = p_1 + p_2 + p_3 \]
임을 알 수 있다면 성공입니다.
\[ \sum_{i=1}^{100} p_i = p_1 + p_2 + \cdots + p_{100} \]
이 될 텐데, 100개의 항을 모두 쓸 수는 없으므로, 중간에 생략된 것은 $\cdots$로 나타냅니다. 그렇게 써 놓으면 알아서 짐작하라는 의미입니다. 좀 불친절하죠.
이 $\sum$ 기호를 쓰면
\[ 1 + 2 + 3 + \cdots + 100\]
을 다음과 같이 간단하게 쓸 수 있습니다.
\[\sum_{i=1}^{100} i\]
$i$는 $\sqrt{-1}$을 의미하는 특별한 의미를 가지고 있어서 혼동이 된다면, 하나씩 늘어나면서 변하는 번호표 문자를 $i$ 대신 $n$으로 써도 무방합니다.
\[\sum_{n=1}^{100} n\]
위의 식에서 $\psi = \sum c_i \phi_i$이라고 간단하게 썼는데, 더 정확하게 쓰면
\[ \psi = \sum_{i=1}^n c_i \phi_i\]
와 같이 써야 합니다.
위에서와 마찬가지로 "$i$가 1부터 $n$까지 차례로 늘어날 때, 오른쪽에 있는 표현 중에서 $i$에 그 수를 대입하여 모두 더한 것"은
\[ c_1 \phi_1 + c_2 \phi_2 + \cdots + c_n \phi_n\]
임을 알 수 있습니다.
다음으로 $p(a_i | \psi)$는 확률이론에서 조건부 확률이라 부르는 것입니다. 읽을 때에는 "대상이 $\psi$ 상태에 있을 때, 측정값이 $a_i$가 될 확률"이라고 읽습니다.
그 다음에 나오는 것이 이제까지 도입한 적이 없는 낯선 기호입니다. $\langle \cdot | \cdot \rangle$는 $\cdot$가 있는 곳에 어떤 수학적 대상(이 경우에는 상태함수)을 넣어 곱한다는 의미입니다. 그런데 이 곱하기가 꽤 복잡하고 추상적입니다. 공식 용어로는 '내적(內積)'이라고 부릅니다.
$|\quad|$는 절대값을 의미합니다. 가령 $|3|=3$, $|-4|=4$, $| 3+ 4 i | = 5$입니다.
복소수의 절대값은
\[ |z| := \sqrt{ z z^*}\]
으로 정의합니다. 여기에서 별표는 켤레복소수를 의미합니다. 즉,
\[z = a + b i\]
일 때
\[ z^* = a - b i\]
가 되고,
\[ |z| = \sqrt{ (a+b i )(a-bi)} = \sqrt{a^2 + b^2}\]
가 됩니다. 따라서
\[ | 3 + 4 i| = \sqrt{ 3^2 + 4^2 } = \sqrt{25} = 5\]
임을 알 수 있습니다.
양자역학에서는 상태함수가 복소수가 될 수 있기 때문에 곱하기의 결과가 반드시 실수라는 보장이 없습니다. 그래서 절대값을 붙인 뒤에 제곱을 합니다. 왜냐하면 확률은 항상 0보다 크거나 같아야 하거든요. 게다가 1보다 항상 작거나 같다는 조건도 충족시켜야 합니다.
이것을 $0 \le p_i \le 1$이라고 씁니다.
-----------
#99번 글에서 소개한 내용을 더 풀어쓰면 다음과 같이 될 수 있겠습니다.
[공리 1]에서 상태가 상태함수 $\psi$로 서술될 때, 위치의 기대값이
$$\langle x \rangle = \int \psi^* x \psi dx$$
로 주어진다고 했는데, 만일 나올 수 있는 $x$의 값이 둘 중 하나(앞면 아니면 뒷면)라면, 상태함수를 더 간단하게 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
$$\psi = c_1 \phi_1 + c_2 \phi_2$$
(번거로움을 피하기 위해 $c_1$, $c_2$를 실수로 택하기로 합니다.)
수학자들은 대체로 어디에나 적용될 수 있는 일반적인 주장이나 수식을 중요하게 여기고 논문이든 책이든 다 그런 식으로 발표합니다. 그래서 $\sum c_i \phi_i$와 같은 식으로 말을 하는데, 실상 그렇게 추상적이고 일반적인 기호로 나타낸 것을 바로바로 직관적으로 이해하는 것은 아닙니다. 제가 대학 때 배운 요령은 $\sum c_i \phi_i$와 같이 일반적인 수식은 항상 $$\psi = c_1 \phi_1 + c_2 \phi_2$$와 같이 단 두 항만 가지고 생각하라는 것입니다.
여하간 바닷물이 짠지 알아보기 위해 바닷물을 다 먹어볼 필요는 없고 그냥 한 모금으로 충분한 법이니까요.
수식을 동원한 표현이 불편하고 납득이 잘 안 가는 이유가 그 일반성/추상성/보편성 때문이라면, 이것은 정확히 자연철학 특히 물리학적 자연철학에서 그토록 깊숙이 수학 언어가 침투해 있는 이유이기도 합니다.
추상적이고 보편적이기 때문에 특정의 상황에 국한되지 않고 어디에나 널리 사용될 수 있는 것이죠. 그래서 점점 더 수학 언어 없이 물리학적 자연철학을 표현하는 것이 어려워지게 된 것입니다.
수학 언어 없이 제2장에서 이야기했던 운동의 변화를 설명하고 미래를 예측하는 것이 가능했을지 상상해 보면, 이러한 언어를 만들어 낸 것이야말로 자연철학에서 가장 큰 성취라고까지 할 수 있을 것 같습니다.
그러나 수학 언어가 워낙 추상적이고 모든 것에 적용할 수 있다는 그것 때문에 거기에 익숙하지 않은 수많은 사람들이 이해를 얻기 위한 여정에서 자꾸만 좌절을 겪게 됩니다.
뉴턴의 <자연철학의 수학적 원리>는 자연철학을 수학 언어로 서술하고 설명하는 첫 단계였습니다. 수학 언어 없는 기존의 자연철학과는 근본적으로 다른, 새로운 자연철학이 시작된 것입니다. 그러나 이것을 누구나 이해하고 따라간 것은 결코 아닙니다.
뉴턴의 난해한 저서와 사유가 사람들에게 퍼지기 위해서는 정말 말 그대로 수많은 저자들이 그 책의 내용을 곱씹고 더 이해하기 쉽게 바꾸고 다듬과 확장하고 되새기고 또 다른 책들을 계속 써서 발표하는 긴 과정이 필수였습니다.
저는 <장회익의 자연철학 강의>도 그렇게 조금씩이라도 보충하고 덧붙이고 해설하는 과정을 통해 더 많은 사람들에게 이해되게 하고 싶습니다. 더 많은 분들이 아하, 하는 기쁨을 느끼게 되길 바라고 있습니다.
대상의 상태함수가
\[ \psi = \sum c_i \phi_i = c_1 \phi_1 + c_2 \phi_2 + \cdots + c_n \phi_n \]
으로 주어지고, $\phi_i $ ($i=1, \cdots, n$)가 고유값 $a_i$ ($i=1, \cdots, n$)에 대응하는 고유벡터라고 할 때, 측정의 결과로 나올 수 있는 값의 후보는 그 고유값 중 하나이고, 마침 $i$번째 고유값이 나올 확률은
\[ p(a_i | \psi) = |\langle \phi_i | \psi \rangle |^2 = |c_i|^2 \]
으로 주어집니다.
------
여기에서 조금 낯선 기호를 도입했는데, 월든님의 지적대로 읽는 법을 덧붙이겠습니다.
먼저 $\sum$은 그리스 문자 중 '시그마'에 해당하는데, 더하기를 의미하는 라틴어 summa에서 s를 따고, 그리스어 문자 중에서 s에 대응하는 '시그마'의 대문자를 가져온 것입니다. 읽을 때에는 '시그마'라고 읽습니다.
\[\sum_{i=1}^n p_i \]
라고 쓴 것은 "$i$가 1부터 $n$까지 차례로 늘어날 때, 오른쪽에 있는 표현 중에서 $i$에 그 수를 대입하여 모두 더한 것"이란 의미입니다.
\[ \sum_{i=1}^3 p_i = p_1 + p_2 + p_3 \]
임을 알 수 있다면 성공입니다.
\[ \sum_{i=1}^{100} p_i = p_1 + p_2 + \cdots + p_{100} \]
이 될 텐데, 100개의 항을 모두 쓸 수는 없으므로, 중간에 생략된 것은 $\cdots$로 나타냅니다. 그렇게 써 놓으면 알아서 짐작하라는 의미입니다. 좀 불친절하죠.
이 $\sum$ 기호를 쓰면
\[ 1 + 2 + 3 + \cdots + 100\]
을 다음과 같이 간단하게 쓸 수 있습니다.
\[\sum_{i=1}^{100} i\]
$i$는 $\sqrt{-1}$을 의미하는 특별한 의미를 가지고 있어서 혼동이 된다면, 하나씩 늘어나면서 변하는 번호표 문자를 $i$ 대신 $n$으로 써도 무방합니다.
\[\sum_{n=1}^{100} n\]
위의 식에서 $\psi = \sum c_i \phi_i$이라고 간단하게 썼는데, 더 정확하게 쓰면
\[ \psi = \sum_{i=1}^n c_i \phi_i\]
와 같이 써야 합니다.
위에서와 마찬가지로 "$i$가 1부터 $n$까지 차례로 늘어날 때, 오른쪽에 있는 표현 중에서 $i$에 그 수를 대입하여 모두 더한 것"은
\[ c_1 \phi_1 + c_2 \phi_2 + \cdots + c_n \phi_n\]
임을 알 수 있습니다.
다음으로 $p(a_i | \psi)$는 확률이론에서 조건부 확률이라 부르는 것입니다. 읽을 때에는 "대상이 $\psi$ 상태에 있을 때, 측정값이 $a_i$가 될 확률"이라고 읽습니다.
그 다음에 나오는 것이 이제까지 도입한 적이 없는 낯선 기호입니다. $\langle \cdot | \cdot \rangle$는 $\cdot$가 있는 곳에 어떤 수학적 대상(이 경우에는 상태함수)을 넣어 곱한다는 의미입니다. 그런데 이 곱하기가 꽤 복잡하고 추상적입니다. 공식 용어로는 '내적(內積)'이라고 부릅니다.
$|\quad|$는 절대값을 의미합니다. 가령 $|3|=3$, $|-4|=4$, $| 3+ 4 i | = 5$입니다.
복소수의 절대값은
\[ |z| := \sqrt{ z z^*}\]
으로 정의합니다. 여기에서 별표는 켤레복소수를 의미합니다. 즉,
\[z = a + b i\]
일 때
\[ z^* = a - b i\]
가 되고,
\[ |z| = \sqrt{ (a+b i )(a-bi)} = \sqrt{a^2 + b^2}\]
가 됩니다. 따라서
\[ | 3 + 4 i| = \sqrt{ 3^2 + 4^2 } = \sqrt{25} = 5\]
임을 알 수 있습니다.
양자역학에서는 상태함수가 복소수가 될 수 있기 때문에 곱하기의 결과가 반드시 실수라는 보장이 없습니다. 그래서 절대값을 붙인 뒤에 제곱을 합니다. 왜냐하면 확률은 항상 0보다 크거나 같아야 하거든요. 게다가 1보다 항상 작거나 같다는 조건도 충족시켜야 합니다.
이것을 $0 \le p_i \le 1$이라고 씁니다.
-----------
#99번 글에서 소개한 내용을 더 풀어쓰면 다음과 같이 될 수 있겠습니다.
[공리 1]에서 상태가 상태함수 $\psi$로 서술될 때, 위치의 기대값이
$$\langle x \rangle = \int \psi^* x \psi dx$$
로 주어진다고 했는데, 만일 나올 수 있는 $x$의 값이 둘 중 하나(앞면 아니면 뒷면)라면, 상태함수를 더 간단하게 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
$$\psi = c_1 \phi_1 + c_2 \phi_2$$
(번거로움을 피하기 위해 $c_1$, $c_2$를 실수로 택하기로 합니다.)
수학자들은 대체로 어디에나 적용될 수 있는 일반적인 주장이나 수식을 중요하게 여기고 논문이든 책이든 다 그런 식으로 발표합니다. 그래서 $\sum c_i \phi_i$와 같은 식으로 말을 하는데, 실상 그렇게 추상적이고 일반적인 기호로 나타낸 것을 바로바로 직관적으로 이해하는 것은 아닙니다. 제가 대학 때 배운 요령은 $\sum c_i \phi_i$와 같이 일반적인 수식은 항상 $$\psi = c_1 \phi_1 + c_2 \phi_2$$와 같이 단 두 항만 가지고 생각하라는 것입니다.
여하간 바닷물이 짠지 알아보기 위해 바닷물을 다 먹어볼 필요는 없고 그냥 한 모금으로 충분한 법이니까요.
수식을 동원한 표현이 불편하고 납득이 잘 안 가는 이유가 그 일반성/추상성/보편성 때문이라면, 이것은 정확히 자연철학 특히 물리학적 자연철학에서 그토록 깊숙이 수학 언어가 침투해 있는 이유이기도 합니다.
추상적이고 보편적이기 때문에 특정의 상황에 국한되지 않고 어디에나 널리 사용될 수 있는 것이죠. 그래서 점점 더 수학 언어 없이 물리학적 자연철학을 표현하는 것이 어려워지게 된 것입니다.
수학 언어 없이 제2장에서 이야기했던 운동의 변화를 설명하고 미래를 예측하는 것이 가능했을지 상상해 보면, 이러한 언어를 만들어 낸 것이야말로 자연철학에서 가장 큰 성취라고까지 할 수 있을 것 같습니다.
그러나 수학 언어가 워낙 추상적이고 모든 것에 적용할 수 있다는 그것 때문에 거기에 익숙하지 않은 수많은 사람들이 이해를 얻기 위한 여정에서 자꾸만 좌절을 겪게 됩니다.
뉴턴의 <자연철학의 수학적 원리>는 자연철학을 수학 언어로 서술하고 설명하는 첫 단계였습니다. 수학 언어 없는 기존의 자연철학과는 근본적으로 다른, 새로운 자연철학이 시작된 것입니다. 그러나 이것을 누구나 이해하고 따라간 것은 결코 아닙니다.
뉴턴의 난해한 저서와 사유가 사람들에게 퍼지기 위해서는 정말 말 그대로 수많은 저자들이 그 책의 내용을 곱씹고 더 이해하기 쉽게 바꾸고 다듬과 확장하고 되새기고 또 다른 책들을 계속 써서 발표하는 긴 과정이 필수였습니다.
저는 <장회익의 자연철학 강의>도 그렇게 조금씩이라도 보충하고 덧붙이고 해설하는 과정을 통해 더 많은 사람들에게 이해되게 하고 싶습니다. 더 많은 분들이 아하, 하는 기쁨을 느끼게 되길 바라고 있습니다.
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글 제목 앞에 있는 (*) 표시의 의미:
코로나 바이러스(COVID-19) 때문에 모임을 갖지 못하게 되는 바람에 제가 너무 심할 정도로 글을 많이 올렸습니다. 저는 <장회익의 자연철학 강의>를 대치하는 게 아니라 보충하는 내용을 올리는 것이고, 이전에 이야기가 나온 것처럼 아무래도 '수학적인' 또는 '물리학적인' 맥락들을 따로 다른 책을 찾아볼 필요 없도록 그 내용을 올리는 것에 초점을 맞추었습니다.
역효과는 오히려 제가 올린 글들을 읽지 않으시는 것 같다는 점입니다. 혹시라도 도움이 될까 싶어서 본문 속에서 수식이 좀 등장해서 읽기가 불편할 수 있는 글은 제목 앞에 모두 (*) 표시를 붙였습니다. 그러니까 (*) 표시 없는 글만 읽어도 <장회익의 자연철학 강의>를 읽어나가는 데 도움이 될 수 있으리라 생각합니다.
후와~ 초특급 친절!
아닙니다. 시인처럼님의 요청에 발맞추어 <장회익의 자연철학 강의>를 읽어나갈 때 필요한 수학과 물리학의 고급 내용을 따로 다른 책을 찾아볼 필요 없도록 하려고 생각했는데, 글을 올리다 보니 가속이 붙어서 그만 적당한 선에서 자제하지 못하고 올리는 글마다 너무 불친절하게 되어 죄송합니다.
월든님의 글을 읽고는 아차, 싶었습니다. 읽히지 않는 글을 올리는 것은 너무 외롭고 가혹한 일인 것 같습니다. ㅠㅠ
수학과 관련하여 프랑스에서 만든 다큐멘터리 영상을 하나 소개합니다.
제목은 "" rel="noopener" target="_blank">왜 나는 수학이 싫어졌을까? (Comment j'ai détesté les maths)" (2013)입니다. 제목을 클릭하면 한국어 자막이 있는 영상을 볼 수 있습니다. 나름 재미도 있고 생각해 볼 거리가 많습니다.
감독은 올리비에 페이용(Olivier Peyon)이고, 세드릭 빌라니(Cédric Villani)라는 유명한 수학자가 나레이션을 맡았습니다.
좀 엉뚱하긴 하지만, 이전에 제가 재밌게 보았던 영화 한 편 소개합니다. 제목은 Gifted이고 2017년에 개봉했습니다. 한국어 제목은 "" target="_blank" rel="noopener">어메이징 메리"가 되었는데, 영화는 꽤 길지만, 유튜브에 영화 소개용으로 짧게 편집한 것이 올라와 있네요.
아.....다시 태어나면 그 땐 진짜 수학 좀 잘 해보고 싶다.....
지금도 늦지 않았습니다. 지난 1월에 관련된 강의가 있었습니다.
" 전대호: 수학+인문학 - 이토록 아름다운 수학이라면
최영기 (2019) 이토록 아름다운 수학이라면 - 내 인생의 X값을 찾아줄 감동의 수학 강의
물론 수학을 배우는 것은 무척 힘든 일이고 여러 모로 몸과 마음이 고생할 것은 분명하지만, 고생한 보람은 틀림없이 있으리라는 생각도 듭니다. 여하튼 <장회익의 자연철학 강의>를 읽을 수 있는 정도까지만이라도 되면 좋을 텐데 하는 생각이 들긴 하지만, 안타깝게도 그것도 쉽지는 않습니다. 제가 힘 닿는 데까지 열심히 보충을 해 보겠습니다.
@.@ 설명해주셔서 고맙습니다!! 눈이 뜨이는 거 같아요. 근데 너무 고생시켜 드리는 거 같아서... ㅠ.ㅠ
눈이 뜨인다는 표현을 하시니, 너무나 기쁩니다. 전혀 고생 아닙니다. neomay3님에게만 답하기보다는 <장회익의 자연철학 강의>를 열심히 읽고 이 게시판에 들어오시는 분들에게 제가 드리고 싶은 이야기를 위의 글 끝부분에 수정해서 적었습니다.
네~ 고맙습니다~!! *^^*