(*) 초보적인 확률 이론
작성자
자연사랑
작성일
2020-02-21 12:59
조회
2924
(* 아래 글은 #83번 글에 썼던 내용 중 "초보적인 확률 이론"에 대한 것을 다시 가져온 것입니다. 한 꼭지 글이 길어지다 보니 읽기가 불편한 것 같습니다. 앞으로는 될수록 짧게 써야겠습니다. *)
초보적인 확률 이론은 다음과 같습니다.
확률 이론의 핵심은 나올 수 있는 후보들이 여럿 있다는 점입니다. (조금 더 정확하게 표현하면 '시행 trial'에서 산출될 수 있는 '확률 변수 random variables'가 단일한 값이 아니라고 말합니다.)
직관적으로 나올 수 있는 값들이 여럿일 때 평균(average)은
$$\langle X\rangle = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i$$
로 주어집니다. 여기에서 왼쪽의 대문자 $X$는 확률변수를 대표하는 문자이고, 오른쪽에서 $x_i$는 확률변수가 가질 수 있는 값들을 나타냅니다.
즉 위의 상황은 후보들이 $x_1 , x_2, x_3, \cdots, x_n$인 경우에 평균을 구하는 식입니다. 이를 '기대값(expected value)'이라고 합니다. 프랑스어로는 l'espérance mathématique(수학적 희망/기대)라 합니다.
[ 참고: http://jeff560.tripod.com/e.html]
이 말을 확률이론에 처음 도입한 사람은 다름 아니라 결정론에 대한 이야기를 읊었던 바로 그 라플라스였고, 바로 그 이야기가 서문에 있는 책, <확률의 해석학적 이론>에서였습니다.
이 용어를 쓴 것은 아니지만 이 개념을 처음 글로 적은 것은 뉴턴 당시의 네덜란드 자연철학자 크리스티안 하위헌스였습니다.
"만일 (상금으로) $a$와 $b$를 예상할 수 있고, 그 두 가능성의 기회가 똑같다면, 내가 예상할 수 있는 것(het is my soo veel weerdt)은 $\frac{a+b}{2}$만큼의 가치가 될 것이다."
하위헌스는 '기대값'이라는 용어 자체는 쓰지 않았습니다.
프랑스어 l'espérance mathématique는 1838년 드모르강이 영어로 mathematical value로 번역했습니다. 독일어로는 Erwartungswert라 번역되었는데, 여기에는 '값 Wert'가 명시적으로 포함되어 있습니다. 중국어로 期望值, 일본어로 期待値인데, 한국어는 일본쪽을 따라갔습니다. 저는 중학교쯤부터 '기대값'으로 배웠는데, 장회익 선생님은 '기대치'라는 표현을 쓰셔서 인상적이었습니다.
분야에 따라 기대값을 나타내는 기호들이 여럿 있습니다.
$$ E(X) = \langle X \rangle = \bar{X} = Erw(X)$$
등입니다.
가능한 값들[확률변수라 부릅니다]을 $x_1 , x_2 , \cdots$로 나타내고, 그 빈도 내지 확률을 각각 $p_1 , p_2 , \cdots$라고 하면, 가능한 값들의 평균(기대값이라고도 합니다)은
$$\langle X\rangle = x_1 p_1 + x_2 p_2 +\cdots = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i$$
가 됩니다.
평균이란 개념은 흔하게 사용됩니다. 만일 $x_1 , x_2 , \cdots$가 나올 수 있는 확률이 모두 똑같다면 $p_i = \frac{1}{n}$ ($i=1, 2, \cdots$)이니까
$$\langle X\rangle = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i = \sum_{i=1}^{n} x_i \frac{1}{n}= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i$$
가 됩니다. 익숙한 평균의 계산식이죠.
나올 수 있는 값들이 띄엄띄엄 떨어져 있는 게 아니라 연속적이라면, 더하기가 적분으로 바뀝니다.
$$\langle x\rangle = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i \rightarrow \int x p(x)$$
적분에서 앞의 $\int$는 꼭 $dx$ 같은 것으로 끝나게 되어 있으니 위의 식은 정확하지 않습니다. 실상 확률이론에서는 그 $dx$를 어떻게 잡은 것인가만 가지고도 엄청난 이론이 있습니다. [지금 표준적인 것은 콜모고로프 확률공간이론입니다.]
하나 짚고 갈 점이 있습니다. 띄엄띄엄 떨어진 경우(이산 확률변수)에는
$$\sum_{i=1}^{n} p_i = 1$$
입니다. 나올 수 있는 모든 가능성들을 모아서 그 확률을 다 더하면 1이 되어야 합니다.
연속 확률변수의 경우에는 '합'이 적분으로 바뀝니다. 확률이
$$P(a\le x \le b ) = \int_a ^ b f(x) dx$$
로 주어집니다. 여기에서 확률은 $f(x)$가 아니라 $f(x) dx$가 됩니다. 적분 측도 $dx$를 곱해 준 뒤에야 비로소 확률이 되기 때문에, 함수 $f(x)$를 확률밀도함수라 부릅니다.
원래 '밀도 density'라는 것이 "밀도 $\times$ 부피 = 질량"이 되게끔 정의됩니다. 길이 밀도, 즉 단위길이당 질량이 주어지는 경우라면 "길이 밀도 $\times$ 길이 = 질량"이 됩니다.
이 모양새가 확률 표현에도 비슷해 보이니까 그냥 '밀도'라는 말을 갖다 붙인 것입니다. 수학이나 자연과학에서는 이런 일이 비일비재합니다.
확률을 모두 더하면 1이 되어야 하므로
$$\int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = 1$$
이어야 합니다.
상세한 데까지 안 가기로 하고, $p(x)$를 어떤 함수의 제곱이 되게 선택합니다.
$$p(x) = |g(x)|^2 dx$$
이제 이 함수 $g(x)$를 복소수 값도 되도록 허용한다면
$$p(x) = g(x)^* g(x) dx$$
라 쓸 수 있습니다. 여기에서 어깨번호(윗첨자)로 *를 쓴 것은 복소수에서 켤레복소수를 의미합니다. 즉 $z= a+ i b$이면 $z^* = a - ib$입니다. 수학 책에서는 대개 $z^*$보다는 $\bar{z}$를 쓰는데, 물리학자들은 별표(아스테르 리스크)를 더 선호합니다.
이렇게 확률을 어떤 복소함수의 제곱으로 표현하기로 하는 것은 아주 이상한 일입니다. 역사적으로는 1929년에 막스 보른이 이 주장을 처음 도입했습니다. 슈뢰딩거의 파동역학이 1926년 발표된 뒤, 그 '파동함수'가 도대체 무엇인지 종잡을 수 없어서 신랄한 논쟁이 벌어지고 있었습니다. 막스 보른은 베르너 하이젠베르크와 파스쿠알 요르단과 더불어 '양자역학'이라는 것을 행렬이론을 써서 1925년부터 발전시키고 있었습니다.
그 역사적 맥락들이 아주 흥미롭긴 합니다만, 여하간 1926년 여름에 투고한 논문들에서 보른이 파동함수의 절대값 제곱이 확률이라고 보면 양자역학의 난점들이 다 해결된다는 것을 처음 밝힌 것입니다.
이제 기대값의 식은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
$$ \langle x\rangle =\int x g(x)^* g(x) dx$$
더 확장된 결과가 필요하기 때문에 약간 모양새를 바꿉니다.
$$ \langle x\rangle =\int g(x)^* x g(x) dx$$
확률변수가 다른 것이 되면 $x$의 자리에 그 다른 것을 넣어주면 됩니다.
19세기의 수학자들은 함수를 나타내는 데 그리스 문자를 선호했습니다. 그래서 양자역학에서는 $g(x)$ 대신 $\psi (x)$나 $\Psi (x, t)$와 같이 그리스 문자를 동원합니다.
양자역학에서는 상태함수가 위치 $x$뿐 아니라 시간 $t$의 함수이기도 하니까, 위치의 기대값이
$$ \langle x \rangle = \int \Psi^* (x, t) x \Psi (x,t)dxdt$$
가 됩니다. 이 식이 <장회익의 자연철학 강의> 213쪽에 있는 식입니다.
초보적인 확률 이론은 다음과 같습니다.
확률 이론의 핵심은 나올 수 있는 후보들이 여럿 있다는 점입니다. (조금 더 정확하게 표현하면 '시행 trial'에서 산출될 수 있는 '확률 변수 random variables'가 단일한 값이 아니라고 말합니다.)
직관적으로 나올 수 있는 값들이 여럿일 때 평균(average)은
$$\langle X\rangle = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i$$
로 주어집니다. 여기에서 왼쪽의 대문자 $X$는 확률변수를 대표하는 문자이고, 오른쪽에서 $x_i$는 확률변수가 가질 수 있는 값들을 나타냅니다.
즉 위의 상황은 후보들이 $x_1 , x_2, x_3, \cdots, x_n$인 경우에 평균을 구하는 식입니다. 이를 '기대값(expected value)'이라고 합니다. 프랑스어로는 l'espérance mathématique(수학적 희망/기대)라 합니다.
[ 참고: http://jeff560.tripod.com/e.html]
이 말을 확률이론에 처음 도입한 사람은 다름 아니라 결정론에 대한 이야기를 읊었던 바로 그 라플라스였고, 바로 그 이야기가 서문에 있는 책, <확률의 해석학적 이론>에서였습니다.
이 용어를 쓴 것은 아니지만 이 개념을 처음 글로 적은 것은 뉴턴 당시의 네덜란드 자연철학자 크리스티안 하위헌스였습니다.
"만일 (상금으로) $a$와 $b$를 예상할 수 있고, 그 두 가능성의 기회가 똑같다면, 내가 예상할 수 있는 것(het is my soo veel weerdt)은 $\frac{a+b}{2}$만큼의 가치가 될 것이다."
하위헌스는 '기대값'이라는 용어 자체는 쓰지 않았습니다.
프랑스어 l'espérance mathématique는 1838년 드모르강이 영어로 mathematical value로 번역했습니다. 독일어로는 Erwartungswert라 번역되었는데, 여기에는 '값 Wert'가 명시적으로 포함되어 있습니다. 중국어로 期望值, 일본어로 期待値인데, 한국어는 일본쪽을 따라갔습니다. 저는 중학교쯤부터 '기대값'으로 배웠는데, 장회익 선생님은 '기대치'라는 표현을 쓰셔서 인상적이었습니다.
분야에 따라 기대값을 나타내는 기호들이 여럿 있습니다.
$$ E(X) = \langle X \rangle = \bar{X} = Erw(X)$$
등입니다.
가능한 값들[확률변수라 부릅니다]을 $x_1 , x_2 , \cdots$로 나타내고, 그 빈도 내지 확률을 각각 $p_1 , p_2 , \cdots$라고 하면, 가능한 값들의 평균(기대값이라고도 합니다)은
$$\langle X\rangle = x_1 p_1 + x_2 p_2 +\cdots = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i$$
가 됩니다.
평균이란 개념은 흔하게 사용됩니다. 만일 $x_1 , x_2 , \cdots$가 나올 수 있는 확률이 모두 똑같다면 $p_i = \frac{1}{n}$ ($i=1, 2, \cdots$)이니까
$$\langle X\rangle = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i = \sum_{i=1}^{n} x_i \frac{1}{n}= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i$$
가 됩니다. 익숙한 평균의 계산식이죠.
나올 수 있는 값들이 띄엄띄엄 떨어져 있는 게 아니라 연속적이라면, 더하기가 적분으로 바뀝니다.
$$\langle x\rangle = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i \rightarrow \int x p(x)$$
적분에서 앞의 $\int$는 꼭 $dx$ 같은 것으로 끝나게 되어 있으니 위의 식은 정확하지 않습니다. 실상 확률이론에서는 그 $dx$를 어떻게 잡은 것인가만 가지고도 엄청난 이론이 있습니다. [지금 표준적인 것은 콜모고로프 확률공간이론입니다.]
하나 짚고 갈 점이 있습니다. 띄엄띄엄 떨어진 경우(이산 확률변수)에는
$$\sum_{i=1}^{n} p_i = 1$$
입니다. 나올 수 있는 모든 가능성들을 모아서 그 확률을 다 더하면 1이 되어야 합니다.
연속 확률변수의 경우에는 '합'이 적분으로 바뀝니다. 확률이
$$P(a\le x \le b ) = \int_a ^ b f(x) dx$$
로 주어집니다. 여기에서 확률은 $f(x)$가 아니라 $f(x) dx$가 됩니다. 적분 측도 $dx$를 곱해 준 뒤에야 비로소 확률이 되기 때문에, 함수 $f(x)$를 확률밀도함수라 부릅니다.
원래 '밀도 density'라는 것이 "밀도 $\times$ 부피 = 질량"이 되게끔 정의됩니다. 길이 밀도, 즉 단위길이당 질량이 주어지는 경우라면 "길이 밀도 $\times$ 길이 = 질량"이 됩니다.
이 모양새가 확률 표현에도 비슷해 보이니까 그냥 '밀도'라는 말을 갖다 붙인 것입니다. 수학이나 자연과학에서는 이런 일이 비일비재합니다.
확률을 모두 더하면 1이 되어야 하므로
$$\int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = 1$$
이어야 합니다.
상세한 데까지 안 가기로 하고, $p(x)$를 어떤 함수의 제곱이 되게 선택합니다.
$$p(x) = |g(x)|^2 dx$$
이제 이 함수 $g(x)$를 복소수 값도 되도록 허용한다면
$$p(x) = g(x)^* g(x) dx$$
라 쓸 수 있습니다. 여기에서 어깨번호(윗첨자)로 *를 쓴 것은 복소수에서 켤레복소수를 의미합니다. 즉 $z= a+ i b$이면 $z^* = a - ib$입니다. 수학 책에서는 대개 $z^*$보다는 $\bar{z}$를 쓰는데, 물리학자들은 별표(아스테르 리스크)를 더 선호합니다.
이렇게 확률을 어떤 복소함수의 제곱으로 표현하기로 하는 것은 아주 이상한 일입니다. 역사적으로는 1929년에 막스 보른이 이 주장을 처음 도입했습니다. 슈뢰딩거의 파동역학이 1926년 발표된 뒤, 그 '파동함수'가 도대체 무엇인지 종잡을 수 없어서 신랄한 논쟁이 벌어지고 있었습니다. 막스 보른은 베르너 하이젠베르크와 파스쿠알 요르단과 더불어 '양자역학'이라는 것을 행렬이론을 써서 1925년부터 발전시키고 있었습니다.
그 역사적 맥락들이 아주 흥미롭긴 합니다만, 여하간 1926년 여름에 투고한 논문들에서 보른이 파동함수의 절대값 제곱이 확률이라고 보면 양자역학의 난점들이 다 해결된다는 것을 처음 밝힌 것입니다.
이제 기대값의 식은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
$$ \langle x\rangle =\int x g(x)^* g(x) dx$$
더 확장된 결과가 필요하기 때문에 약간 모양새를 바꿉니다.
$$ \langle x\rangle =\int g(x)^* x g(x) dx$$
확률변수가 다른 것이 되면 $x$의 자리에 그 다른 것을 넣어주면 됩니다.
19세기의 수학자들은 함수를 나타내는 데 그리스 문자를 선호했습니다. 그래서 양자역학에서는 $g(x)$ 대신 $\psi (x)$나 $\Psi (x, t)$와 같이 그리스 문자를 동원합니다.
양자역학에서는 상태함수가 위치 $x$뿐 아니라 시간 $t$의 함수이기도 하니까, 위치의 기대값이
$$ \langle x \rangle = \int \Psi^* (x, t) x \Psi (x,t)dxdt$$
가 됩니다. 이 식이 <장회익의 자연철학 강의> 213쪽에 있는 식입니다.
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기대치 -> 기대값 -> 기댓값 이렇게 용어가 바뀌어 가는 듯 합니다. (사이시옷이 발음상으로는 맞겠지만, 표기로 쓰이니까 시각적으로 어색합니다. 특히 예전에 배운 용어들이 사이시옷으로 표기가 바뀌는 경우엔 보기에 어색합니다.)
아, 그러고 보니 지금 표준 용어는 '기대값'이 아니라 '기댓값'이네요. '고유값'도 '고윳값'이라고 써야 하는 것 같습니다. 확실히 좀 어색하다는 말씀에 동의합니다. ^^