(**) $\hat{k}=-i d/dx$의 간단한 유도
작성자
자연사랑
작성일
2020-02-19 15:31
조회
3520
앞에서
$$\langle k \rangle = \int \phi^*(k) k \phi(k) dk$$
라고 놓으면
$$-i\frac{d}{dx} e^{ikx} = k e^{ikx}$$
라는 사실을 이용하면
$$\langle k \rangle = \int \psi^* (x) \left(-i\frac{d}{dx}\right) \psi(x) dx$$
임을 유도할 수 있다고 적었습니다.
이것은 <장회익의 자연철학 강의> 215-216쪽의 서술이기도 합니다. 상세한 내용은 부록 제4장 보충설명 536-537쪽에 나와 있는데, 여기에서는 이 증명과정을 조금 더 간단하게 보이려고 합니다.
유도를 간단하게 하려면
$$\int_{-\infty}^{\infty} e^{i k x}dk=2\pi \delta(x)$$
임을 이용하는 것이 좋습니다.
디랙 델타 함수 $\delta(x)$는 엄밀하게는 함수가 아닌데, 다음과 같은 성질을 지니는 것으로 정의됩니다.
$$\begin{align}
\delta(x)&=0 , \quad (x\not=0) \\
\int_{-\infty}^{\infty} \delta(x) dx &= 1
\end{align}$$
일상언어로 말하면, 대부분의 정의역에서는 값이 0인데, 어느 한 점에서 피크가 아주 높고 아주 좁으며, 곡선 아래 넓이는 1인 그래프로 표현되는 함수 쯤 됩니다.
위의 정의를 사용하면
$$\int \delta(x-a)f(x) dx = f(a)$$
임을 유도할 수 있습니다.
위의 식을 유도하는 방법으로 수렴인수 $e^{-\epsilon |k|}$를 곱하는 방법이 있습니다.
$$\int_{-\infty}^{\infty} e^{i k x}dk
=\lim_{\epsilon\rightarrow 0} \int_{-\infty}^{\infty} e^{i k x} e^{-\epsilon |k|} dk =: \lim_{\epsilon\rightarrow 0} g_\epsilon (x) $$
이제
$$\begin{align} g_\epsilon (x) &= \int_{-\infty}^{0} e^{i k x} e^{-\epsilon k} dk+\int_{0}^{\infty} e^{i k x} e^{-\epsilon k} dk\\
&=\frac{1}{ix+\epsilon}+\frac{1}{-ix+\epsilon}
=\frac{2\epsilon}{ x^2+ \epsilon^2}
\end{align}$$
$g_\epsilon (x)$의 그래프 아래 넓이를 계산하면
$$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{2\epsilon}{x^2+ \epsilon^2} dx = 2 \left[ \tan^{-1}(x/\epsilon)\right]_{-\infty} ^{\infty} = 2\pi$$
이므로
$$\delta_\epsilon (x) := \frac{1}{2\pi} g_\epsilon (x) = \frac{1}{\pi}\frac{\epsilon}{x^2+\epsilon^2 }$$으로 정의한 $\delta_\epsilon (x)$는
$$\begin{align}
\lim_{\epsilon\rightarrow 0} \delta_\epsilon(x)&=0 , \quad (x\not=0) \\
\int_{-\infty}^{\infty} \delta_\epsilon(x) dx &= 1
\end{align}$$
을 충족시킵니다. 따라서
$$\lim_{\epsilon\rightarrow 0} \delta_\epsilon(x) = \delta (x)$$
임을 알 수 있습니다.
따라서
$$\int_{-\infty}^{\infty} e^{i k x}dk=\lim_{\epsilon\rightarrow 0} \delta_\epsilon(x) =2\pi \delta(x)$$
임이 증명됩니다.
이제 이 식을 이용하여
$$\langle k \rangle = \int \psi^* (x) \left(-i\frac{d}{dx}\right) \psi(x) dx$$
를 유도해 보겠습니다.
$\psi (x)$의 푸리에 변환은
$$\phi (k) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int \psi(x)e^{-ikx} dx$$
로 정의되며, 그 역변환은
$$\psi (x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int \phi(k) e^{ikx}dk$$
로 주어집니다.
실상 위의 디랙 델타 함수 이야기는 이 푸리에 역변환과 정확하게 맞아 떨어지도록 되어 있습니다. 위의 두 변환을 잘 보면
$$\begin{align}\psi (x)&=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int \phi(k) e^{ikx}dk \\
&= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int \left( \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int \psi(x')e^{-ikx'} dx'\right)e^{ikx}dk \\
&=\int \left(\frac{1}{2\pi}\int e^{ik(x-x')} dk \right)\psi(x') dx' \\
&=\int \delta(x-x') \psi(x') dx' \\
&= \psi(x)
\end{align}$$
처럼 되어 수미상관을 이룹니다. 바로 이것 때문에 번거로운 $1/\sqrt{2\pi}$ 계수를 달고 다니는 겁니다.
이제 $\psi(x)$의 푸리에 변환 식을 $x$로 미분하면
$$\frac{d}{dx}\psi (x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int \phi(k) (ik) e^{ikx}dk$$
이므로
$$-i \frac{d}{dx}\psi (x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int \phi(k) k e^{ikx}dk$$
가 됩니다.
따라서
$$\begin{align}
\langle -i \frac{d}{dx}\rangle &= \int \psi^* (x) \left(-i\frac{d}{dx}\right) \psi(x) dx \\
&=\int \left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int \phi(k') e^{ik'x}dk'\right)^* k \left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int \phi(k) e^{ikx}dk\right) dx \\
&=\int\int\int \phi^*(k') \frac{1}{2\pi}e^{-ik'x} k e^{ikx} \phi(k) dk' dk dx \\
&=\int \phi^*(k') k \left(\frac{1}{2\pi}\int e^{i(k-k')x}dx\right) \phi(k) dk' dk \\
&=\int \phi^* (k') k \delta(k-k') \phi(k) dk' dk \\
&=\int \phi^* (k) k \phi(k) dk\\
&=\langle k \rangle
\end{align}$$
를 얻습니다.
연산자 기호를 이용하면
$$ \hat{k}=-i\frac{d}{dx}$$
입니다.
마찬가지 계산을 통해
$$\langle \omega \rangle = \langle i\frac{d}{dt}\rangle$$
을 얻을 수 있으며, 연산자 기호로 표시하면
$$\hat{\omega}=i\frac{d}{dt}$$
가 됩니다.
$$\langle k \rangle = \int \phi^*(k) k \phi(k) dk$$
라고 놓으면
$$-i\frac{d}{dx} e^{ikx} = k e^{ikx}$$
라는 사실을 이용하면
$$\langle k \rangle = \int \psi^* (x) \left(-i\frac{d}{dx}\right) \psi(x) dx$$
임을 유도할 수 있다고 적었습니다.
이것은 <장회익의 자연철학 강의> 215-216쪽의 서술이기도 합니다. 상세한 내용은 부록 제4장 보충설명 536-537쪽에 나와 있는데, 여기에서는 이 증명과정을 조금 더 간단하게 보이려고 합니다.
유도를 간단하게 하려면
$$\int_{-\infty}^{\infty} e^{i k x}dk=2\pi \delta(x)$$
임을 이용하는 것이 좋습니다.
디랙 델타 함수 $\delta(x)$는 엄밀하게는 함수가 아닌데, 다음과 같은 성질을 지니는 것으로 정의됩니다.
$$\begin{align}
\delta(x)&=0 , \quad (x\not=0) \\
\int_{-\infty}^{\infty} \delta(x) dx &= 1
\end{align}$$
일상언어로 말하면, 대부분의 정의역에서는 값이 0인데, 어느 한 점에서 피크가 아주 높고 아주 좁으며, 곡선 아래 넓이는 1인 그래프로 표현되는 함수 쯤 됩니다.
위의 정의를 사용하면
$$\int \delta(x-a)f(x) dx = f(a)$$
임을 유도할 수 있습니다.
위의 식을 유도하는 방법으로 수렴인수 $e^{-\epsilon |k|}$를 곱하는 방법이 있습니다.
$$\int_{-\infty}^{\infty} e^{i k x}dk
=\lim_{\epsilon\rightarrow 0} \int_{-\infty}^{\infty} e^{i k x} e^{-\epsilon |k|} dk =: \lim_{\epsilon\rightarrow 0} g_\epsilon (x) $$
이제
$$\begin{align} g_\epsilon (x) &= \int_{-\infty}^{0} e^{i k x} e^{-\epsilon k} dk+\int_{0}^{\infty} e^{i k x} e^{-\epsilon k} dk\\
&=\frac{1}{ix+\epsilon}+\frac{1}{-ix+\epsilon}
=\frac{2\epsilon}{ x^2+ \epsilon^2}
\end{align}$$
$g_\epsilon (x)$의 그래프 아래 넓이를 계산하면
$$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{2\epsilon}{x^2+ \epsilon^2} dx = 2 \left[ \tan^{-1}(x/\epsilon)\right]_{-\infty} ^{\infty} = 2\pi$$
이므로
$$\delta_\epsilon (x) := \frac{1}{2\pi} g_\epsilon (x) = \frac{1}{\pi}\frac{\epsilon}{x^2+\epsilon^2 }$$으로 정의한 $\delta_\epsilon (x)$는
$$\begin{align}
\lim_{\epsilon\rightarrow 0} \delta_\epsilon(x)&=0 , \quad (x\not=0) \\
\int_{-\infty}^{\infty} \delta_\epsilon(x) dx &= 1
\end{align}$$
을 충족시킵니다. 따라서
$$\lim_{\epsilon\rightarrow 0} \delta_\epsilon(x) = \delta (x)$$
임을 알 수 있습니다.
따라서
$$\int_{-\infty}^{\infty} e^{i k x}dk=\lim_{\epsilon\rightarrow 0} \delta_\epsilon(x) =2\pi \delta(x)$$
임이 증명됩니다.
이제 이 식을 이용하여
$$\langle k \rangle = \int \psi^* (x) \left(-i\frac{d}{dx}\right) \psi(x) dx$$
를 유도해 보겠습니다.
$\psi (x)$의 푸리에 변환은
$$\phi (k) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int \psi(x)e^{-ikx} dx$$
로 정의되며, 그 역변환은
$$\psi (x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int \phi(k) e^{ikx}dk$$
로 주어집니다.
실상 위의 디랙 델타 함수 이야기는 이 푸리에 역변환과 정확하게 맞아 떨어지도록 되어 있습니다. 위의 두 변환을 잘 보면
$$\begin{align}\psi (x)&=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int \phi(k) e^{ikx}dk \\
&= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int \left( \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int \psi(x')e^{-ikx'} dx'\right)e^{ikx}dk \\
&=\int \left(\frac{1}{2\pi}\int e^{ik(x-x')} dk \right)\psi(x') dx' \\
&=\int \delta(x-x') \psi(x') dx' \\
&= \psi(x)
\end{align}$$
처럼 되어 수미상관을 이룹니다. 바로 이것 때문에 번거로운 $1/\sqrt{2\pi}$ 계수를 달고 다니는 겁니다.
이제 $\psi(x)$의 푸리에 변환 식을 $x$로 미분하면
$$\frac{d}{dx}\psi (x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int \phi(k) (ik) e^{ikx}dk$$
이므로
$$-i \frac{d}{dx}\psi (x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int \phi(k) k e^{ikx}dk$$
가 됩니다.
따라서
$$\begin{align}
\langle -i \frac{d}{dx}\rangle &= \int \psi^* (x) \left(-i\frac{d}{dx}\right) \psi(x) dx \\
&=\int \left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int \phi(k') e^{ik'x}dk'\right)^* k \left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int \phi(k) e^{ikx}dk\right) dx \\
&=\int\int\int \phi^*(k') \frac{1}{2\pi}e^{-ik'x} k e^{ikx} \phi(k) dk' dk dx \\
&=\int \phi^*(k') k \left(\frac{1}{2\pi}\int e^{i(k-k')x}dx\right) \phi(k) dk' dk \\
&=\int \phi^* (k') k \delta(k-k') \phi(k) dk' dk \\
&=\int \phi^* (k) k \phi(k) dk\\
&=\langle k \rangle
\end{align}$$
를 얻습니다.
연산자 기호를 이용하면
$$ \hat{k}=-i\frac{d}{dx}$$
입니다.
마찬가지 계산을 통해
$$\langle \omega \rangle = \langle i\frac{d}{dt}\rangle$$
을 얻을 수 있으며, 연산자 기호로 표시하면
$$\hat{\omega}=i\frac{d}{dt}$$
가 됩니다.
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